《乘法公式（2）：完全平方公式》教学设计
一、教材分析：
本节内容是沪教版初一年级第一学期第九章《整式》第12节。之前，教材已经为此铺垫了多项式的乘法的知识，用字母表示：(a +b )(c +d )=ac +ad +bc +bd 。而完全平方公式是多项式乘法的另一种特殊情况（前一节已经学习了平方差公式），即两个完全相同的二项式的乘法。教材的大体思路是通过对于利用多项式相乘法则和图形解释推得完全平方公式，进而运用完全平方公式。根据《上海市中小学数学课程标准》，需要学生掌握两数和（差）的平方公式及其简单运用。通过学习完全平方公式，可以简化多项式乘法的运算。另外，从前后章节的联系来看，完全平方公式对以后学生学习因式分解，解一元二次方程等知识都具有举足轻重的作用。
从数学思想的角度，这节内容的教学应该让学生体会到数形结合以及化归的思想。
二、学习者分析：
根据本校学生的特点，应着重基础性知识的掌握。初一学生的抽象思维能力、逻辑思维能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。但从初一年级学生的心理角度，探求新知识的欲望和热情较高，师生互动良好。因此，可以充分发挥学生的积极性，主观能动性和探求知识的好奇心，从而达到这节课的教学目标。
三、教学策略制定：
本节课，我采用新旧知识冲撞的方式引起学生探究的兴趣，并以此为契机，让学生理解完全平方公式的推导过程，完成从特殊到一般的知识认知规律，并锻炼学生观察，猜测，验证，归纳总结的知识探究步骤和能力。然后主要通过教师为主导，学生为主体的形式，用讲练法，让学生理解完全平方公式以其直接运用完成再由一般到特殊的应用能力。
四、教学目标：
1. 完全平方公式的推导及其应用。
2. 完全平方公式的几何解释。
3. 视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
五、教学重点：
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，公式应用。
六、教学难点：
1. 与平方差公式的结构比较
2. 公式的灵活应用
七、教学过程：
（一）复习：
复习多项式乘以多项式的法则和平方差公式：(a +b )(m +n )=am +an +bm +bn 、(a +b )(a -b ) =a 2-b 2
那么如果把式子改作(2x +y )(2x +y )该怎么计算呢？
（二）引入：
可以利用多项式乘以多项式得出：(2x +y )(2x +y ) =4x 2+4xy +y 2
根据幂的意义，即(2x +y ) 2=(2x +y )(2x +y ) =4x 2+4xy +y 2
请你再试着计算(m -3n ) 2、(-2x -3y ) 2、(-2x +3y ) 2。
(m -3n )2=m 2-6mn +9n 2、(-2x 2-3y ) 2=4x 4+12x 2y +9y 2、(-2x +3y ) 2=4x 2-12xy +9y 2
问题：1. 结果是几项式？
2. 式子的左边有何特点？相乘后，其结果中的每一个项和原来的项相比有什么联系？从系数和符号考虑有何特点？
答：1. 三项式
2. 式子左边是两个相同的二项式相乘。相乘后的结果，每个单项式都要平方，如-2x 的平方为4x 2，同时3y 的平方为9y 2，符号一定为“+”。而中间的二项式是原来两个单项式的乘积的两倍，如-2x 与3y 的乘积的两倍即为-12xy 。同号得“+”，异号得“-”。
（三）完全平方公式：
你是否可以用字母A 和B 表示这个规律？
(A +B )2=A 2+2AB +B 2
2那么两数不同号呢？第二项符号就为“－”，即(A -B )=A 2-2AB +B 2
这个公式我们称为完全平方公式！平方差公式与完全平方公式也叫做乘法公式！
我们还可以利用口诀来帮助记忆完全平方公式的结构特点：“首平方，末平方，首尾两倍放中央。”
你能否类比于平方差公式，用一个图形来证明完全平方公式呢？
图1中，大正方形面积为(a +b )，可分为四个部分，a 2、b 2、ab 、ab ，即：2(a +b )2=a 2+2ab +b 2
2图2中，小正方形面积为(a -b )，可由大正方形面积a 2减去其余三个部分
ab 、ab 、b 2，
即(a -b )=a 2-2ab +b 2
大家都对完全平方公式有了初步的理解，那么请大家想一想我们为什么要学习公式呢？（方便运算） 2
（四）例题：
例1、判断下列各式的计算是否正确：
（1）(m +n ) 2=m 2+n 2
（2）(m +2n ) 2=m 2+2mn +n 2
（3）(m -2n ) 2=m 2-4mn -4n 2
（4）(7-n ) 2=49-n 2
例2：计算：（教师巡视、学生板演、错误分析、规范格式）
1（1）(x +3y ) 2 （2）(m -n ) 2 （3）(-2a 2+5b ) 2 2
134（4）(-3a -2b n ) 2 （5）(-mn +2) 2 （6）(-m -n ) 2 243
例3、计算：（1）1022
（2）9992
解：（1）1022=(100+2)=1002+2⨯100⨯2+4=10000+400+4=10404 2
⎛1⎫练习： （1）98 （2） 14⎪ ⎝2⎭22
（五）拓展：计算：(a +2b +3c ) 2
(a +2b +3c )22222=⎡⎣(a +2b )+3c ⎤⎦=(a +2b )+6⋅(a +2b )c +9c =a +4ab +4b +6ac +12bc +9c 22
练习：（1）(a -3b +2c ) （3）(a n +b -1) 2
（六）课堂小结：
1、 叙述完全平方公式；说出它的结构特征；
2、 如何将变式转化成标准形式的完全平方；
3、 如何判断中间项符号的正确性；
（七）作业布置 2
练习册：习题9.12 1~4
八、教学思考：
学生的易错点除了容易和平方差公式混淆之外，还容易将(a +b )计算得到a 2+b 2，那就是和之前学的乘法法则中的积的乘方（(ab )=a 2b 2）混淆了。所22
以个人认为除了要让学生学习到新的知识之外，还要注意前面所学知识对后学知识的影响，更重要的是学生对“算理”的认识。只有充分认识到为什么这么算之后，才能对所学知识有深刻的理解，才能降低错误率。这个设计中，对算理的解释还不是很清晰，今后教学上还要再思索一番。
《乘法公式（2）：完全平方公式》教学设计
一、教材分析：
本节内容是沪教版初一年级第一学期第九章《整式》第12节。之前，教材已经为此铺垫了多项式的乘法的知识，用字母表示：(a +b )(c +d )=ac +ad +bc +bd 。而完全平方公式是多项式乘法的另一种特殊情况（前一节已经学习了平方差公式），即两个完全相同的二项式的乘法。教材的大体思路是通过对于利用多项式相乘法则和图形解释推得完全平方公式，进而运用完全平方公式。根据《上海市中小学数学课程标准》，需要学生掌握两数和（差）的平方公式及其简单运用。通过学习完全平方公式，可以简化多项式乘法的运算。另外，从前后章节的联系来看，完全平方公式对以后学生学习因式分解，解一元二次方程等知识都具有举足轻重的作用。
从数学思想的角度，这节内容的教学应该让学生体会到数形结合以及化归的思想。
二、学习者分析：
根据本校学生的特点，应着重基础性知识的掌握。初一学生的抽象思维能力、逻辑思维能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。但从初一年级学生的心理角度，探求新知识的欲望和热情较高，师生互动良好。因此，可以充分发挥学生的积极性，主观能动性和探求知识的好奇心，从而达到这节课的教学目标。
三、教学策略制定：
本节课，我采用新旧知识冲撞的方式引起学生探究的兴趣，并以此为契机，让学生理解完全平方公式的推导过程，完成从特殊到一般的知识认知规律，并锻炼学生观察，猜测，验证，归纳总结的知识探究步骤和能力。然后主要通过教师为主导，学生为主体的形式，用讲练法，让学生理解完全平方公式以其直接运用完成再由一般到特殊的应用能力。
四、教学目标：
1. 完全平方公式的推导及其应用。
2. 完全平方公式的几何解释。
3. 视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
五、教学重点：
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，公式应用。
六、教学难点：
1. 与平方差公式的结构比较
2. 公式的灵活应用
七、教学过程：
（一）复习：
复习多项式乘以多项式的法则和平方差公式：(a +b )(m +n )=am +an +bm +bn 、(a +b )(a -b ) =a 2-b 2
那么如果把式子改作(2x +y )(2x +y )该怎么计算呢？
（二）引入：
可以利用多项式乘以多项式得出：(2x +y )(2x +y ) =4x 2+4xy +y 2
根据幂的意义，即(2x +y ) 2=(2x +y )(2x +y ) =4x 2+4xy +y 2
请你再试着计算(m -3n ) 2、(-2x -3y ) 2、(-2x +3y ) 2。
(m -3n )2=m 2-6mn +9n 2、(-2x 2-3y ) 2=4x 4+12x 2y +9y 2、(-2x +3y ) 2=4x 2-12xy +9y 2
问题：1. 结果是几项式？
2. 式子的左边有何特点？相乘后，其结果中的每一个项和原来的项相比有什么联系？从系数和符号考虑有何特点？
答：1. 三项式
2. 式子左边是两个相同的二项式相乘。相乘后的结果，每个单项式都要平方，如-2x 的平方为4x 2，同时3y 的平方为9y 2，符号一定为“+”。而中间的二项式是原来两个单项式的乘积的两倍，如-2x 与3y 的乘积的两倍即为-12xy 。同号得“+”，异号得“-”。
（三）完全平方公式：
你是否可以用字母A 和B 表示这个规律？
(A +B )2=A 2+2AB +B 2
2那么两数不同号呢？第二项符号就为“－”，即(A -B )=A 2-2AB +B 2
这个公式我们称为完全平方公式！平方差公式与完全平方公式也叫做乘法公式！
我们还可以利用口诀来帮助记忆完全平方公式的结构特点：“首平方，末平方，首尾两倍放中央。”
你能否类比于平方差公式，用一个图形来证明完全平方公式呢？
图1中，大正方形面积为(a +b )，可分为四个部分，a 2、b 2、ab 、ab ，即：2(a +b )2=a 2+2ab +b 2
2图2中，小正方形面积为(a -b )，可由大正方形面积a 2减去其余三个部分
ab 、ab 、b 2，
即(a -b )=a 2-2ab +b 2
大家都对完全平方公式有了初步的理解，那么请大家想一想我们为什么要学习公式呢？（方便运算） 2
（四）例题：
例1、判断下列各式的计算是否正确：
（1）(m +n ) 2=m 2+n 2
（2）(m +2n ) 2=m 2+2mn +n 2
（3）(m -2n ) 2=m 2-4mn -4n 2
（4）(7-n ) 2=49-n 2
例2：计算：（教师巡视、学生板演、错误分析、规范格式）
1（1）(x +3y ) 2 （2）(m -n ) 2 （3）(-2a 2+5b ) 2 2
134（4）(-3a -2b n ) 2 （5）(-mn +2) 2 （6）(-m -n ) 2 243
例3、计算：（1）1022
（2）9992
解：（1）1022=(100+2)=1002+2⨯100⨯2+4=10000+400+4=10404 2
⎛1⎫练习： （1）98 （2） 14⎪ ⎝2⎭22
（五）拓展：计算：(a +2b +3c ) 2
(a +2b +3c )22222=⎡⎣(a +2b )+3c ⎤⎦=(a +2b )+6⋅(a +2b )c +9c =a +4ab +4b +6ac +12bc +9c 22
练习：（1）(a -3b +2c ) （3）(a n +b -1) 2
（六）课堂小结：
1、 叙述完全平方公式；说出它的结构特征；
2、 如何将变式转化成标准形式的完全平方；
3、 如何判断中间项符号的正确性；
（七）作业布置 2
练习册：习题9.12 1~4
八、教学思考：
学生的易错点除了容易和平方差公式混淆之外，还容易将(a +b )计算得到a 2+b 2，那就是和之前学的乘法法则中的积的乘方（(ab )=a 2b 2）混淆了。所22
以个人认为除了要让学生学习到新的知识之外，还要注意前面所学知识对后学知识的影响，更重要的是学生对“算理”的认识。只有充分认识到为什么这么算之后，才能对所学知识有深刻的理解，才能降低错误率。这个设计中，对算理的解释还不是很清晰，今后教学上还要再思索一番。