第28卷第4期
湖北师范学院学报(自然科学版)
Journal ofH ube iNor m a lUn i versity (N at u ra l Sc i ence)
Vol 128No 14, 2008
每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和
左可正
(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北黄石 435002)
摘要:研究了秩幂等矩阵的性质及两个秩幂等矩阵的线性组合的结构, 利用矩阵的广义逆, 矩阵的若当标准形与矩阵的有理标准形, 得出了秩幂等矩阵的一些新的特征, 并证明了每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和。
关键词:秩幂等矩阵; 若当标准形; M oore-P enrose 逆; 群逆
中图分类号:O152. 12 文献标识码:A 文章编号:100922714(2008) 0420019203
1 引言及预备引理
矩阵的群逆在代数、微分方程、物理学、测量学等方面有广泛的应用, 很多作者对群逆及其应用作了深刻的研究
[1~3]
. 在矩阵论中, 研究某类特殊的矩阵的线性组合的结构是一项非常有意义的工作。
如N aka mura 在[4]中证明了每个H er m itian 矩阵是四个直交幂等阵的线性组合, H art w ig 和Putcka 在[5]中证明了矩阵A 是一些幂等矩阵的和的充要条件是tr A 为整数且r A \r (A), Baksalary 和Benitez
在[6]中给出了三个幂等矩阵的线性组合还是幂等矩阵的所有分类, R abanovich 在[7]中证明了每个矩阵都是三个幂等矩阵的线性组合。本文在它们的基础上, 先给出了指数不超过1的矩阵A (r (A) =r(A ) ) 的一些新的特征。然后利用若当标准形与有理标准形证明了每个矩阵都是两个秩幂等矩阵之和。
本节以下介绍必要的符号和预备引理。
本文恒用
m @n
2
表示复数域上的所有m @n 矩阵组成的集合, 符号r (A ), tr (A ), A , R (A ), N
m @n
+
(A ) 分别表示矩阵A 的秩, 迹, Moore-Penrose 逆, 值域与核。当A I
k +1
2
时, 符号A , ind (A) 分别表
k
#
示A 的群逆与指数。(满足A XA =A , XAX =X 和AX =XA 的n 阶方阵X 称为A 的群逆, 满足r (A) =r(A ) 的最小正整数k 称为A 的指数) 。如果r(A ) =r (A ), 称n 阶方阵A 为一个秩幂等矩阵。
[1]n @n
引理1如果A I , 那么下列各命题彼此等价:
1) A 是秩幂等矩阵; 2) ind (A) [1;
3)A 的群逆A 存在且唯一。
[8]n @n
引理2如果A I , 那么下列各命题彼此等价:
1) ind (A) [1;
2) R (A) H N (A ) ={0}; 3) =R (A) ÝN (A ) ;
收稿日期:2007) 01) 02基金项目:湖北师范学院资助项目
作者简介:左可正(1962) ), 男, 湖北大冶人, 副教授, 研究方向为矩阵分析1
n
#
4) 存在可逆方阵T 与D, 使得A =T 5) 存在可逆方阵K 使得A =A K ;
2
-1
D O O
T , 其中r(D ) =r (A ) ;
6)A 的特征值0的几何重数与代数重数相等。
证明:1), 3), 4), 5), 6) 之间的等价性由文[8]给出。下面只证2) Z 3) 。3) ]2) 是显然的; 若R (A) H N (A) ={0}, 那么d i m (R(A ) +N (A ) ) =d i m R (A ) +d i m N (A ) =n, 从而.
引理3 设A I
+
n @n
n
=R (A ) ÝN (A )
, 那么A =A Z A A =A A.
#
+
+
+
+
+
+
+
+
+
#
+
#+++
证由群逆的定义及A =A ]AA =A A. 反之如果A A =A A , 由AA A =A 及A AA =A , 得出A 就是A 的群逆, 所以A =A .
2 主要结果及证明
本节先给出秩幂等矩阵的两个新的特征, 然后证明任一个n 阶方阵都可表为两个秩幂等矩阵之和。
定理1 设A I
n @n
, A 的Jordan 分解为
A =T
-1
JT =T
-1
C O O N
T
其中C 对应着A 的非零特征值, N 对应着A 的零特征值。那么下面各命题彼此等价:
1)A 是秩幂等矩阵;
2)A 是可逆的或N 的幂零指数为1; 3)A 是可逆的或J =J . 证:由引理2中的6), 可得出1) Z 2) .
C O
/1) ]3) 0设r (A ) =r(A ) , 如果A 不可逆, 那么N =0, 通过直接验算可得出J ==
O O
2
#
-1
#
+
J .
/3) ]1) 0如果A 可逆, 当然有r(A ) =r (A ) . 如果A 不可逆, 那么由J =J 可推出N =N , 那么由引理3可知NN =N N.
N =NN N =N N =N #NN =N (N) =, =N 而N 是幂零矩阵, 故得N =0, 这样r(A ) =r (A ). 定理2 如果A I
n @n
2
+
2
+
+
3
+
2
k +1
+
+
2
#
+
#
+
+
(N) (k 为任意正整数),
+k
, 那么A 可表为两个秩幂等矩阵之和。
-1
证:考虑A 的若当标准形。设A =T 阶幂零矩阵。那么,
JT =T
-1
C O O N
T , J 是A 的若当标准形, 其中C 可逆, N 是s
A =T
-1
C O O N -I s
T +T
-1
O O O I s
T
上式中第一个矩阵是可逆的, 而第二个矩阵是幂等的, 故A 表成了两个秩幂等矩阵之和。注:定理2对特征为0的一般域P 上的n 阶方阵也是成立的。证明如下:设A I P
n @n
, 考虑A 的有理标准形, 设A 的有理标准形式为:
A 1
A 2
w
A s
#
01
其中A i =
, 00
,
0010
, , , , ,
000, 1
-a n i -a n i -
-a n i -, -a 1
00, 0
00, 0
, , , ,
, 000
, 111
12
(i =1, 2, , , s).
i) 当a n i =0时, 有 A i =(Ai -K
) +K, K =
此时A i -K 是可逆的, 而K 是幂等矩阵。
ii) 当a n i X 0时, 有A i =A i +0, 而A i 可逆, 0是幂等矩阵, 总之每个A i (i =1, 2, , , s) 都能表成一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之和, 这样
A 1
A 2
w
A s
可表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之和, 从而A 可表为两个秩幂等矩阵之和。参考文献:
[1]Ben-Isra l A , Greville T N E . Gene ra lized i nverse :Theory and Applica tions[M ].New York :second ed . Spr i nger-Verlag , 2003.
[2]Ben-Isra lA . The M oore of the M oore-P enrose i nverse[J].E lectro n . J . L i nea r A l gebra , 2002, 9:150~157. [3]W e iY , W ang G . The perturbati on t heory f or t he D razin i nverse and its appli catio ns[J]1L i near A l gebra App, l 1997,
258:179~1861
[4]Nakamura Y. EveryH er m iti an m atri x is a li near co mb i nati on of four projectio ns[J].L i near A l gebra App, l 1984, 61:133
~139.
[5]H a rt w i g R E , Putcha M S . W hen is a m atr i x , a su m of idempotents[J].L i near andM u ltilinear A l gebra , 1990, 26:279
~286.
[6]Baksa l ary O M , Benite z J . l de m potency of li near co mb i nati ons of three i de m poten tm atr ices , t wo ofwh ich are co mmuti ng
[J]1Linear A l gebra App , l 2007, 424:320~337.
[7]R abanovich V . Every ma trix is a li nea r co m bi natio n of three i de m potents[J].L i near A l gebra App, l 2004, 390:137~
143.
[8]谢 涛, 左可正. 秩幂等矩阵的特征[J].黄石理工学院学报, 2007, 5:58~59.
Every ma tr i x is a s um of t wo rank -i de mpoten t ma tr ices
Z UO Ke 2zheng
(College ofM athe matics and Statistics , H ubeiN or m a lU niversity , H uangsh i 435002, China)
Abstr ac t :Th i s paper researches so m e properti es of rank-idempotent m atr i x , and the li near co m b i na ti ons ' structures of t w o rank-i de m poten tm atrices . By us i ng the generalized inverse of m atri x , the Jordan canon i ca l form of m atri x and the rati onal canon i ca l for m of ma trix , we ge t so m e new charac ters of rank-i dempotentm a tri x , and prove tha t everym atri x is a su m of t w o rank-i de m poten tm atrices .
K ey word s :rank-i de m potent m atri x ; Jordan s ' cano n i ca l for m; M oore-Penrose i nverse ; group i nverse
第28卷第4期
湖北师范学院学报(自然科学版)
Journal ofH ube iNor m a lUn i versity (N at u ra l Sc i ence)
Vol 128No 14, 2008
每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和
左可正
(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北黄石 435002)
摘要:研究了秩幂等矩阵的性质及两个秩幂等矩阵的线性组合的结构, 利用矩阵的广义逆, 矩阵的若当标准形与矩阵的有理标准形, 得出了秩幂等矩阵的一些新的特征, 并证明了每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和。
关键词:秩幂等矩阵; 若当标准形; M oore-P enrose 逆; 群逆
中图分类号:O152. 12 文献标识码:A 文章编号:100922714(2008) 0420019203
1 引言及预备引理
矩阵的群逆在代数、微分方程、物理学、测量学等方面有广泛的应用, 很多作者对群逆及其应用作了深刻的研究
[1~3]
. 在矩阵论中, 研究某类特殊的矩阵的线性组合的结构是一项非常有意义的工作。
如N aka mura 在[4]中证明了每个H er m itian 矩阵是四个直交幂等阵的线性组合, H art w ig 和Putcka 在[5]中证明了矩阵A 是一些幂等矩阵的和的充要条件是tr A 为整数且r A \r (A), Baksalary 和Benitez
在[6]中给出了三个幂等矩阵的线性组合还是幂等矩阵的所有分类, R abanovich 在[7]中证明了每个矩阵都是三个幂等矩阵的线性组合。本文在它们的基础上, 先给出了指数不超过1的矩阵A (r (A) =r(A ) ) 的一些新的特征。然后利用若当标准形与有理标准形证明了每个矩阵都是两个秩幂等矩阵之和。
本节以下介绍必要的符号和预备引理。
本文恒用
m @n
2
表示复数域上的所有m @n 矩阵组成的集合, 符号r (A ), tr (A ), A , R (A ), N
m @n
+
(A ) 分别表示矩阵A 的秩, 迹, Moore-Penrose 逆, 值域与核。当A I
k +1
2
时, 符号A , ind (A) 分别表
k
#
示A 的群逆与指数。(满足A XA =A , XAX =X 和AX =XA 的n 阶方阵X 称为A 的群逆, 满足r (A) =r(A ) 的最小正整数k 称为A 的指数) 。如果r(A ) =r (A ), 称n 阶方阵A 为一个秩幂等矩阵。
[1]n @n
引理1如果A I , 那么下列各命题彼此等价:
1) A 是秩幂等矩阵; 2) ind (A) [1;
3)A 的群逆A 存在且唯一。
[8]n @n
引理2如果A I , 那么下列各命题彼此等价:
1) ind (A) [1;
2) R (A) H N (A ) ={0}; 3) =R (A) ÝN (A ) ;
收稿日期:2007) 01) 02基金项目:湖北师范学院资助项目
作者简介:左可正(1962) ), 男, 湖北大冶人, 副教授, 研究方向为矩阵分析1
n
#
4) 存在可逆方阵T 与D, 使得A =T 5) 存在可逆方阵K 使得A =A K ;
2
-1
D O O
T , 其中r(D ) =r (A ) ;
6)A 的特征值0的几何重数与代数重数相等。
证明:1), 3), 4), 5), 6) 之间的等价性由文[8]给出。下面只证2) Z 3) 。3) ]2) 是显然的; 若R (A) H N (A) ={0}, 那么d i m (R(A ) +N (A ) ) =d i m R (A ) +d i m N (A ) =n, 从而.
引理3 设A I
+
n @n
n
=R (A ) ÝN (A )
, 那么A =A Z A A =A A.
#
+
+
+
+
+
+
+
+
+
#
+
#+++
证由群逆的定义及A =A ]AA =A A. 反之如果A A =A A , 由AA A =A 及A AA =A , 得出A 就是A 的群逆, 所以A =A .
2 主要结果及证明
本节先给出秩幂等矩阵的两个新的特征, 然后证明任一个n 阶方阵都可表为两个秩幂等矩阵之和。
定理1 设A I
n @n
, A 的Jordan 分解为
A =T
-1
JT =T
-1
C O O N
T
其中C 对应着A 的非零特征值, N 对应着A 的零特征值。那么下面各命题彼此等价:
1)A 是秩幂等矩阵;
2)A 是可逆的或N 的幂零指数为1; 3)A 是可逆的或J =J . 证:由引理2中的6), 可得出1) Z 2) .
C O
/1) ]3) 0设r (A ) =r(A ) , 如果A 不可逆, 那么N =0, 通过直接验算可得出J ==
O O
2
#
-1
#
+
J .
/3) ]1) 0如果A 可逆, 当然有r(A ) =r (A ) . 如果A 不可逆, 那么由J =J 可推出N =N , 那么由引理3可知NN =N N.
N =NN N =N N =N #NN =N (N) =, =N 而N 是幂零矩阵, 故得N =0, 这样r(A ) =r (A ). 定理2 如果A I
n @n
2
+
2
+
+
3
+
2
k +1
+
+
2
#
+
#
+
+
(N) (k 为任意正整数),
+k
, 那么A 可表为两个秩幂等矩阵之和。
-1
证:考虑A 的若当标准形。设A =T 阶幂零矩阵。那么,
JT =T
-1
C O O N
T , J 是A 的若当标准形, 其中C 可逆, N 是s
A =T
-1
C O O N -I s
T +T
-1
O O O I s
T
上式中第一个矩阵是可逆的, 而第二个矩阵是幂等的, 故A 表成了两个秩幂等矩阵之和。注:定理2对特征为0的一般域P 上的n 阶方阵也是成立的。证明如下:设A I P
n @n
, 考虑A 的有理标准形, 设A 的有理标准形式为:
A 1
A 2
w
A s
#
01
其中A i =
, 00
,
0010
, , , , ,
000, 1
-a n i -a n i -
-a n i -, -a 1
00, 0
00, 0
, , , ,
, 000
, 111
12
(i =1, 2, , , s).
i) 当a n i =0时, 有 A i =(Ai -K
) +K, K =
此时A i -K 是可逆的, 而K 是幂等矩阵。
ii) 当a n i X 0时, 有A i =A i +0, 而A i 可逆, 0是幂等矩阵, 总之每个A i (i =1, 2, , , s) 都能表成一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之和, 这样
A 1
A 2
w
A s
可表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之和, 从而A 可表为两个秩幂等矩阵之和。参考文献:
[1]Ben-Isra l A , Greville T N E . Gene ra lized i nverse :Theory and Applica tions[M ].New York :second ed . Spr i nger-Verlag , 2003.
[2]Ben-Isra lA . The M oore of the M oore-P enrose i nverse[J].E lectro n . J . L i nea r A l gebra , 2002, 9:150~157. [3]W e iY , W ang G . The perturbati on t heory f or t he D razin i nverse and its appli catio ns[J]1L i near A l gebra App, l 1997,
258:179~1861
[4]Nakamura Y. EveryH er m iti an m atri x is a li near co mb i nati on of four projectio ns[J].L i near A l gebra App, l 1984, 61:133
~139.
[5]H a rt w i g R E , Putcha M S . W hen is a m atr i x , a su m of idempotents[J].L i near andM u ltilinear A l gebra , 1990, 26:279
~286.
[6]Baksa l ary O M , Benite z J . l de m potency of li near co mb i nati ons of three i de m poten tm atr ices , t wo ofwh ich are co mmuti ng
[J]1Linear A l gebra App , l 2007, 424:320~337.
[7]R abanovich V . Every ma trix is a li nea r co m bi natio n of three i de m potents[J].L i near A l gebra App, l 2004, 390:137~
143.
[8]谢 涛, 左可正. 秩幂等矩阵的特征[J].黄石理工学院学报, 2007, 5:58~59.
Every ma tr i x is a s um of t wo rank -i de mpoten t ma tr ices
Z UO Ke 2zheng
(College ofM athe matics and Statistics , H ubeiN or m a lU niversity , H uangsh i 435002, China)
Abstr ac t :Th i s paper researches so m e properti es of rank-idempotent m atr i x , and the li near co m b i na ti ons ' structures of t w o rank-i de m poten tm atrices . By us i ng the generalized inverse of m atri x , the Jordan canon i ca l form of m atri x and the rati onal canon i ca l for m of ma trix , we ge t so m e new charac ters of rank-i dempotentm a tri x , and prove tha t everym atri x is a su m of t w o rank-i de m poten tm atrices .
K ey word s :rank-i de m potent m atri x ; Jordan s ' cano n i ca l for m; M oore-Penrose i nverse ; group i nverse