华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）
（闭卷时间 120 分钟）
院/系年级 __专业姓名学号
1、设X是概率空间(Ω,F,P)EX存在，
且
C 是
F的子σ－域，定义E()如下：（1）_______________ ；
（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为
λ
的 Poisson 过程，则 N (t)具有_____、
_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P({N (t + h)− N (t) = 0})＝ ________，P({N (t + h)− N (t) =1})＝_____________；
3、设{W (t),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；
4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。
二、证明分析题（共 12 分，选做一题）
1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变量，并且具有
指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中是
λ
是正常数。设
λ
另一个正常数，定义：Z = λ λe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫AZdP，
∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函
数：P({X ≤ a})，a>0；
2、设X0～U (0,1)，Xn+1～U (1−Xn,1)，n≥1，域流{Fn,n≥ 0}满足：
Fn =σ(Xk,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2n ⋅
∏
n
k=1
X
1 X−k−1 k ， n ≥1，
试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅！
三、计算证明题（共 60 分）
1、（12 分）假设 X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记
忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；
P(A)
2、（10 分，选做一题）
（1）设 X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且 X,Y 相互独立；∀c >0，设 fX X
+Y
() X +Y = c 时 X 的条件概率密度，试求之并由此求
⎧1
E(X X +Y = c)；
,0 ≤ y ≤ x ≤1;
（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ，试求fY X y x)及
⎪⎩ 0,其它；
P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P
({X +Y ≤1})；
2
2
3、（4 分，选做一题）（1）设
X,Y
独立同U [0,1]分布，试基
于微元法由条件密度求
E(XX
（2）设(X,Y)～U (D)，
⎣
D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡X )2X ⎤
⎦
(Y −
；
4、（10 分）设 X1, X2,, Xn 独立同
U
[0,1]Y = min{X1, X2,,
求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；
Xn}
5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，S0 = 0，
Sn 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）
PN (s) n；
(
=kN (t) = n
)（s
k
6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准 Brown 运动，试由 并求
E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦ ，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦ 。
d ⎡⎣S(t)⎤⎦ = μS(t)dt +σS(t)dW (t)，
四、应用分析题（共 12 分）
设股价遵循几何布朗运动dS(t)= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，利率为常数r 。定义风险的市场价格为：Θ = μ−以及 状态价格密度过程
σ
r
为：ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝ r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭ ⎫⎬；a）证明：
dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ；b）设 X 表示投资者采用组合过程Δ(t)
时其资产组合的价值（自融资组合），即有：
dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t)，证明：ζ(t) X (t)是鞅；
c）试从对冲欧式看涨期权空头的角度（或用组合资产复制期权）导出股价遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的 B—S 方程，并推导风险中性测度下的定价公式。【以上三小题选做 a）、 b）或 c）】
华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》A 卷参考答案一、
填空题
1、（1）E(XC)为
，
C-
（2）∀A∈C∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dPC ⎤⎦； 2、独立、平稳，1−λh+o(h)，λh+o(h)；
1
2
3、 N (0,t)，{W (t),t ≥ 0}，{W2 (t)−t,t ≥ 0}，⎧⎨eσW(t)−2σ t ,t ≥ 0⎬⎫；
⎩ ⎭
4、 ⎪⎨⎧dX (t) = −g ⎡⎣X (t),Y (t)⎦⎤dt +Y (t)dW (t),t∈[0,T];，随机微分方程
处
⎪⎩
X (T) =ξ; 理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无
法预知将来某时刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！二、证明分析题（选做一题）
1、（1）Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe−(λ−λ)X dP = ∫R λλe−(λ−λ)xdPX ⎣⎡PX (⋅)− X的
概率分布⎦X～f (x)∫R λλe−(λ−λ)x f (x)dx = ∫0+∞λe−λxdx =1；
（2∀a>0，P({X ≤ ) = ∫{X ≤a} ZdP = ∫X
−
λ −λ X e −(
a , ∞]) λ (( −
)
1dP =
∫(
−∞,a]
λ λe−(λ−λ)xdPX = ∫(−∞,a]λλe−(λ−λ)x f (x) dx = ∫0 aλe−λxdx =1；
2、由于 Xn+1～U (1− Xn,1)，1− Xn+1～U (0, Xn )
，1
− Xn+1 ～U
(0,1)，
X n
E(n ≤ 2n
E(Yn+1 Fn) = E⎛⎜Yn ⋅2⋅1− n+1 Fn 2Yn ⋅E1− Xn+1 Fn ⎞⎟1− X n+1 独立于Fn
⎝ Xn ⎠ ⎝ Xn ⎠ Xn
⎛1− Xn+1 ⎞ Yn,a.s.，即有：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅（过
2Yn ⋅E⎜
⎟= ⎝ X n
⎠ 程）！三、 计
算证明题
1、（1）由几何分布的
E(X −cX >c)= EX =
1
c X >c ，
E(XX >c)= E(X −c X >c)+ E(c X >c)=
1
，
+c ；λλ
（2）E(XX >c)= PE(⎣⎡{XIX{>X >cc}}⎦⎤ ) = ∫−+∞∞ xI{x>e c−}λfcX (x)dx =
∫
c+∞
λexe−λc−λxdx =λ1 +c；
2、（1）易见，(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y >0;，令⎧⎨U = X +Y ，从
⎪⎩ 0,其他; ⎩ V = X
而由⎧⎨u = x + u,v) (x, y) = −1，从而
⎩ v = x ∂(x, y) ∂(u,v(X +Y, X ) = (U,V )～g(u,v) = ∂(x, y) ⋅ f (v,u −v) = ⎧ ⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u >v >0 ; ，则
∂(u,v)
⎪⎩ 0,其他; ⎧ u
有U = X +Y～fU (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ⎨⎪∫0 λμe−(λ−μ)v−μudv,u >0 ; =
⎪⎩ 0,其他;
⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e−μu − e−λu ⎤⎦,u >0; ；从而，λ−μ ⎣
⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;
⎧ e−(λ−μ)v
VU=u ～f() = ⎪⎨(λ−μ)1−e−(λ−μ)u ,0
E(VU = u)=−+∞∞vfVU (v
⎪⎩ 0,其他;
=∫0uv( )1−e−e(λ−−λμ−)μv dv 1 1−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μu⎦⎤e−(λ−μ)u ，也即有
λ−μ ( )u =λ−μ⋅ 1−e ( )u
1
1−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μc⎤⎦e−(λ−μ) c 。
)c λ−μ
E(XX +Y = c)=⋅ 1 e (
−
（2）令 X～fX (x)，即有： fX (x) = ∫−+∞∞ f (x, y)dy = ∫0x
即：
1
x dy,0 ≤ x ≤1，
X～U [0,1]；令X =x ～fY X ()，即有：0
1
f (x, y)
=
fY X (y x) = = ,0 ≤ y ≤ x ，即：Y X
fX (x) x
x
～U [0,x],0
∀x∈(0,1)，P(X 2 +Y 2 ≤1 X = x) = P− 1− x2 ≤ Y ≤ 1− x2 X = x
(
) =
P0 ≤Y ≤ 1− x2 X = x=∫0 1−x2 fY X (y x)dy =∫0x∧ 1−x2 1x dy =1∧ 1−x x2 ；
()
P
({X +Y ≤1})=∫
2
2
−+∞∞
P(X 2 +Y 2 ≤1 X = x) fX (x)dx =∫01 P(X 2 +Y 2 ≤1 X =
x)dx
2 +1 。
= ∫01 ⎡⎢⎢⎣ 1∧ 1−x x2 ⎥⎥⎦⎤dx = ln
( )
3、（1）由概率微元法，易知，∀x∈(0,1)，
(1− x)dx
P(x
1 2
dxX
⎧2(1− x),0
Y
XX
～fXXY (x) = ⎨
⎩
0,其他;
1
E(XX
−+∞∞
xfXX
1
（2）易知，
x
∀x∈(0,1)，YX=x ～U [0, x]，从而，E(Y X = x) = ，
2
D(YX = x) = 12 x2
3，
x2
，
E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ⎣⎡E(Y X = x)⎤⎦2 =
E ⎡⎣ (Y − X 2 X = x⎤⎦ = E ⎡⎣(Y − x) 2X = x⎤ = E(Y 2 X = x)− 2xE(Y X =
X
x)+ x2 = x32 ；故有：E(Y X ) 2 ,a E ⎣ X
= 3 2 ,a.s.。
⎡(Y − X )2 X ⎦⎤
.s.
4、易见，∀y 1,P({Y ≤ y}) =1；
n
∀y∈[0,1],P({Y ≤ y}) =1− P({Y >y}) =1−∏P({Xi >y}) =1−(1− y)n ；从而，
i=1 n−1
⎧ ⎪n(1− y) , y∈[0,1];。不妨设若
Y～fY (y)，则有 fY (y= ⎨
⎪⎩ 0,其他;
g(Y) = E(X1 ) E ⎡⎣X1 σ(Y)⎤⎦ ，由条件数学期望的定义：∀A∈σ(Y)，
∫
A
X1dP = ∫A E ⎡⎣X1 σ(Y)⎦⎤dP = ∫A g(Y)dP；取 A ={Y ≥ y} =Y−1([y,+∞))，
y∈[0,1]；即有：
∫
A X1dP = ∫{Y≥y} X1dP = ∫Ω X1
I
{Y≥y}dP =
∫
Ω
X1
I
{X1≥y}{X2≥y} ⋅⋅⋅{Xn≥y}dP = E ⎣
II
⎡X1
I
{X1≥y}{X2≥y}
I
⋅⋅⋅
I
{Xn≥y}⎤
⎦
= E ⎡⎣ X1I{X1≥y} ⎤⎦ E ⎣⎡I{X2≥y} ⎤⎦⋅⋅⋅E ⎡⎣I{Xn≥y}⎤⎦ = E ⎡⎣X1I{X1≥y} ⎦⎤ P({X 2 ≥ y})⋅⋅⋅P({Xn ≥ y}) =
∫
y1
xdx⋅(1− y)n−1 = (1− y)n2 (1+ y) ；
∫g(Y)dP = ∫
A
Y−1([y,+∞))
g(Y)dP积分变换定理∫[y,+∞) g(y)dPY (这里，PY (⋅)为的概率分布
Y
)
=∫[y,+∞) g(y) fY (y)dy = ∫y+∞ g(y) fY (y)dy；从而，∀y∈[0,1]，
(1− y)n (1+ y) = ∫y+∞ g(y) fY (y)dy ；两边关于 y 求导即有：
2
(1− y)n n(1− y)n−1 (1+ y)
2
2
2 n
E X 1 Y = g Y =( ) ( )
n−1
(n+1) y +(n−1)
− = −g(y)⋅n(1− y) ，g(y) = ；从而， 2n
(n+)Y +(n−1) ,a.s.。
)
5、（1）P(N (s)= k N (t)= n = P({N (s)= k, N (t)− N (s)= n−k}) =P({N
(t)= n})
P
({N (s)= k})P({N (t)− N (s)= n−k}) P({N (s)= k})P({N (t −s)= n−k})
=
P
({N (t)= n}) P({N (t)= n})
λsk e −λt ⎡⎣λ(t −s)⎤⎦n−k e−λ(t−s)
k ! =
k
n− k
−λ
n k !
(λt)n
= Cnk ⎛⎜ st ⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝ 1 − st ⎞⎟⎠ ，也即：
⎝
e t n!
N
(s)N(t)=n ～B⎛⎜⎝ n, s t ⎞⎟⎠；
（2）由于(S1,S2 ⋅⋅⋅,Sn ) N(t)=n d X(1), X(2) ⋅⋅⋅, X(n) )，其中 X(i) 为独立同
U (0,t)分布的 X1, X 2 ⋅⋅⋅, Sk
N(t)=n
Xn 第i个顺序统计量；从而， ⎣⎡SkN (t) = n⎦⎤ = EX(k)
(k) ，即有： E
() 。以下由概率
微元法
（又称微元密度法）来求 X(k) 的分布！
k−1 n−k
∀x∈(0,t)，P
({x
(k) ≤ x + dx
}) = C
nk−1
Cn1−k+1 ⎜⎛ xt ⎞⎟⎠ ⋅1t dx⋅⎝⎛⎜1− x
t ⎟⎞⎠ + o(dx)；从
⎝
k−1 n−k
而，X(k)～fX() (x) = Cnk−1Cn1−k+1 ⎜⎛ xt ⎠⎟⎞ ⋅1t ⋅⎝⎜⎛1− xt ⎠⎟⎞ ,x∈(0,t)；因
k
此，E ⎡⎣X(k) ⎤⎦ =
⎝
t
∫
−+∞∞
xfX(k) )dx ∫0nk−1Cn1−k⎠⎞⎟n−k dx由Beta函数与Γama函数的性质nkt+1
。
6、令 f (x)= ln x， f / (x) = 1x ， f // (x) = − x 12 ，由 Ito-Doeblin 公式，
11
d ⎡⎣lnS(t)⎤⎦= S1(t) dS(t)− 12 S21 (t) ⎡⎣dS(t)⎦⎤2 =μdt +σdW (t)− 2σ2dt =⎛⎜⎝μ− 2σ2 ⎞dt +σdW (t) ⎟⎠
；两边同时积分，即有：∫0t d ⎡⎣ln S(u)⎤⎦ = ∫0t ⎛⎜⎝μ− 1 2σ2 ⎟⎞⎠du +
∫σdW (u)
0t
，即：ln S(t)−ln S(0) = ⎛⎜μ−
1
2σ
2
⎞t +σW (t)，也即： ⎟⎠
⎝
⎛
1 2⎞ ⎜μ− σ ⎟dt+σdW(t)
S(t) = S(0)e⎝
2
⎠
。
令 f (x)= xn ，f / (x)= nxn−1，f // (x)= n(n−1)xn−2 ，由 Ito-Doeblin 公式，
n
n−1
1
n−2
2
n−1
1
n−2
d ⎣⎡W (t⎦⎤= nW (t)dW (t)+2 n(n−1)W
)
(t)⎡⎣dW (t)⎦⎤ = nW (t)dW (t)+2 n(n−1)W(t)dt ，
n−1
两边积分后有W (t) = ∫
n
t 0nW
(u)dW (u)+
1
tn2
2 n(n−1)∫0 W −(u)du ；
两边取期望后有
11
E ⎡⎣W n (t)⎤⎦ = E ⎡⎢2 n(n−1)∫0tW n−2 (u)du⎤⎦⎥= 2 n(n−1)∫0t E ⎡⎣W n−2
(u)⎦⎤du （ITO 积
；E ⎡⎣W 4 (t)⎦⎤= ∫0t E ⎡⎣W 2 ⎣ 分是鞅，期望为零）
6
(u)⎦⎤du = ∫0t udu = 3t2 ，
6
E ⎣⎡W 6 (t)⎦⎤=
15
∫
t
15
E ⎣⎡W 4 (u)⎤⎦du =∫0t 3u2du =15t3 。
四、 应用分析题
a）令 f (t,x) = e−⎛⎜⎝r+12Θ⎠⎟⎞t−Θx ，则 ft (t,x) = −⎛⎜⎝ r + 12 Θ2 ⎟⎠ ⎞ f (t,x)，
2
fx (t,x)=−Θf (t,x)， fxx (t, x)=Θ2 f (t,x)，由 Ito-Doeblin 公式， 1
dζ(t)= d ⎣⎡ f (t,W (t))⎦⎤= ft (t,W (t))dt + fx (t,W (t))dW (t)+ 2 fxx (t,W
(t))⎡⎣dW (t)⎦⎤2
1)= ⎢⎣ ⎡ ft (t,W (t))+ 2 fxx (t,W (t)⎤⎥⎦ dt + fx (t,W (t))dW (t) = −rζ(t)dt −Θζ(t)dW (t)；
b）由 Ito 乘积法则，d ⎡⎣ζ(t) X (t)⎤⎦ =ζ(t)dX (t)+ X (t)dζ(t)+ dζ(t)dX (t)
= ⋅⋅⋅ = ⎡⎣−rζ(t) X (t)+ζ(t)rX (t)+ζ(t)Δ(t)(μ− r)S(t)−Θζ(t)Δ(t)σS(t)⎤⎦dt +(⋅⋅⋅)dW (t)=(⋅⋅⋅)dW (t)，这里，dW (t)dt = dtdt = 0，dW (t)dW (t)= dt ；无漂移项，故ζ(t) X (t)是鞅（过程）！ c）考虑在时刻T 到
期支付（到期收益）为(S(T)− K)+ 的欧式看涨期权，敲定价格（执行价格）K 是某非负常数，Black、
Scholes和Merton论证了看涨期权在任何时刻的价值依赖于时间（离到期日T 余下的时间T −t）和该时刻的股价及K 等；如果t时的股价为S(t)= x ，用c(t, x)表示看涨期权在时刻t的价值，c(t, x)本身不具随机性。但期权的价值是随机地，它是在
S(t)取代哑变量x后，得到的随机过程
c(t,x)，从而得到一个用未
来股价表示的未来期权价值的公式。由 Ito-Doeblin 公式，
1
d ⎡⎣c(t,S(t))⎤⎦ = ct (t,S(t))dt +cx (t,S(t))dS(t)+ 2 cxx (t,S(t))dS(t)dS(t) =
⎡
2 2
⎤
⎢c t (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+σ S (t)cxx (t,S(t))⎥dt +σS(t)cx (t,S(t))dW (t)
⎣⎦
，d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ = −re−rtc(t,S(t))dt +e−rtd ⎡⎣c(t,S(t))⎤⎦ =
e−rt ⎡⎢−rc(t,S(t))+ct (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+σ2S 2 (t)cxx (t,S(t))⎥⎤dt +
⎣⎦
e−rtσS(t)cx (t,S(t))dW (t) X (0)投
资于股票与货币市场账户，使得在每个时刻t∈[0,T]，资产组 合价值 X (t)与c(t,S(t))
并且 X (0)= c(0,S(0))，积分后即有：
∀t∈[0,T],e−rt X (t)− X (0)= e−rtc(t,S(t))−c(0,S(0))。
如果 X (0)= c(0,S(0))，比较d ⎡⎣e−rt X (t)⎤⎦ 和d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ ，可知，d ⎡⎣e−rt X (t)⎤⎦ = d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ ⇔ Δ(t)⎡⎣(μ− r)S(t)dt +σS(t)dW (t)⎤⎦ =
⎡ 1
2 2
⎤
⎢−rc(t,S(t))+ct (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+ 2σ S (t)cxx (t,S(t))⎥⎦ dt +σS(t)cx (t,S(t))dW (t)
⎣
；令Δ(t)σS(t)dW (t)=σS(t)cx (t,S(t))dW (t)，即有：
∀t∈[0,T],Δ(t)= cx (t,S(t))，称为 前的每个时刻t ，期权空头对冲组合中持有股票的份额等于该时刻期权价值关于股价的偏导数，cx (t,S(t))常称为期权的 delta；再令dt 项相等，即有：∀t∈[0,T]，
(μ−r)S(t)cx
122
，即有：rc(t,S(t)) = ct (t,S(t))+ rS(t)cx (t,S(t))+
1
σ2S 2 (t)cxx (t,S(t)) ；总 2
之，即所求函数c(t,x)满足如下的 Black－Scholes 方程：
1 2x2cx (t, x) = rc(t,x),t∈[0,T],x ≥ 0 ，以及终值条件：
ct (t,x)+ rxcx (t,x)+ σ 2
c(T,x) = (x − K)+ 。
回到衍生证券为欧式看涨期权的情形！假设波动率σ和利率μ为常数，则期权的到期收益为V (T)=(S(T)− K)+，从而，
V (t)= c(t,S(t))= E ⎡⎣e−r(T−t) (S(T)− K)+Ft ⎤⎦
；由于D(t)= e−rt ，
dS(t)=μS(t)dt +σS(t)dW (t)，d ⎡⎣D(t)S(t)⎤⎦=σD(t)S(t)⎡⎣Θ(t)dt +dW
(t)⎤⎦
=σD(t)S(t)dW (t)，这里Θ(t)= μ−
r
；由S(t)所遵循的随机微分方 σ
程可解出
S(t)= S(0)exp⎧⎨σW (t)+⎡⎢μ− 12σ2 ⎥⎤⎦t⎫⎬⎭= S(0)exp⎧⎩⎨σW (t)+⎡⎢⎣r − 1 2σ2 ⎤⎥⎦t⎫⎬⎭
⎩
⎣
S(T)= S(W (T)−W (t)⎦⎤+⎡⎣⎢r − 12 σ2 ⎥⎦⎤(T −t)⎫⎬⎭= S(t)e−σ
τY+⎛⎜⎝r −1 2σ2⎞⎟⎠τ
， 这
W (T)−W (t) P
2
，τ=T −t 是“离到期日尚余时间”；
里，Y =
～N (0,1 ) T −t
因此，S(T)是Ft －可测随机变量S(t)与独立于Ft 的随机变量
−⎜r − σ ⎟τ
⎛ 1 2⎞
e
⎝ 2 ⎠
的乘积，故有，
K ⎞⎟+ ⎤⎥ 2 1 −+∞∞ −rτ⎛xe−σ
c(t,x)= E ⎡⎢e−rτ⎛⎝ ⎜xe−σ τY+⎛⎜⎝r−1σ2⎟⎠⎞τ
τy+⎝⎜⎛r−12σ2⎞⎟⎠τ
− K ⎞⎟+ e−12 y2 dy
⎜
2
− ⎟ =
∫ e ⎜
⎢⎣ ⎠ ⎥⎦ π ⎜⎝ ⎟⎠
⎛⎜ −σ τy+⎛⎜⎝r−12σ2⎞⎟⎠τ − K ⎞⎟⎟ + >0 ⇔ y
K 1
，注意到⎜xe 1 2 y
⎝ ⎠
⎡ln x +⎛⎜⎝ r − 12 σ2 ⎞⎟⎠τ⎤⎥⎦ ；
+
因此，c(t,x) τ,x)e−rτ⎛⎜⎜ xe−σ τy+⎛⎝⎜r−12σ⎞⎟⎠τ − K ⎟⎟⎞
2
e 2 dy =
2π −∞
⎝ ⎠
d−(τ,x)
xe
11
−2 y2−σ τy−2στ2 dy −(τ,x
) Ke−12 y2−rτdy = 1
∫
2π −∞ 2π −∞ 2π − ∞
2
d−(τ,x) −y+σ τ
()
dy x e
−e−rτKΦ(d− (τ,x))= xΦd− (τ,x)+σ τ−e−rτKΦ(d− (τ,x)) ， Φ(⋅) －标准
()
正
态分布函数。
华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）
（闭卷时间 120 分钟）
院/系年级 __专业姓名学号
1、设X是概率空间(Ω,F,P)EX存在，
且
C 是
F的子σ－域，定义E()如下：（1）_______________ ；
（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为
λ
的 Poisson 过程，则 N (t)具有_____、
_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P({N (t + h)− N (t) = 0})＝ ________，P({N (t + h)− N (t) =1})＝_____________；
3、设{W (t),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；
4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。
二、证明分析题（共 12 分，选做一题）
1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变量，并且具有
指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中是
λ
是正常数。设
λ
另一个正常数，定义：Z = λ λe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫AZdP，
∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函
数：P({X ≤ a})，a>0；
2、设X0～U (0,1)，Xn+1～U (1−Xn,1)，n≥1，域流{Fn,n≥ 0}满足：
Fn =σ(Xk,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2n ⋅
∏
n
k=1
X
1 X−k−1 k ， n ≥1，
试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅！
三、计算证明题（共 60 分）
1、（12 分）假设 X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记
忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；
P(A)
2、（10 分，选做一题）
（1）设 X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且 X,Y 相互独立；∀c >0，设 fX X
+Y
() X +Y = c 时 X 的条件概率密度，试求之并由此求
⎧1
E(X X +Y = c)；
,0 ≤ y ≤ x ≤1;
（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ，试求fY X y x)及
⎪⎩ 0,其它；
P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P
({X +Y ≤1})；
2
2
3、（4 分，选做一题）（1）设
X,Y
独立同U [0,1]分布，试基
于微元法由条件密度求
E(XX
（2）设(X,Y)～U (D)，
⎣
D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡X )2X ⎤
⎦
(Y −
；
4、（10 分）设 X1, X2,, Xn 独立同
U
[0,1]Y = min{X1, X2,,
求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；
Xn}
5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，S0 = 0，
Sn 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）
PN (s) n；
(
=kN (t) = n
)（s
k
6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准 Brown 运动，试由 并求
E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦ ，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦ 。
d ⎡⎣S(t)⎤⎦ = μS(t)dt +σS(t)dW (t)，
四、应用分析题（共 12 分）
设股价遵循几何布朗运动dS(t)= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，利率为常数r 。定义风险的市场价格为：Θ = μ−以及 状态价格密度过程
σ
r
为：ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝ r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭ ⎫⎬；a）证明：
dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ；b）设 X 表示投资者采用组合过程Δ(t)
时其资产组合的价值（自融资组合），即有：
dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t)，证明：ζ(t) X (t)是鞅；
c）试从对冲欧式看涨期权空头的角度（或用组合资产复制期权）导出股价遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的 B—S 方程，并推导风险中性测度下的定价公式。【以上三小题选做 a）、 b）或 c）】
华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》A 卷参考答案一、
填空题
1、（1）E(XC)为
，
C-
（2）∀A∈C∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dPC ⎤⎦； 2、独立、平稳，1−λh+o(h)，λh+o(h)；
1
2
3、 N (0,t)，{W (t),t ≥ 0}，{W2 (t)−t,t ≥ 0}，⎧⎨eσW(t)−2σ t ,t ≥ 0⎬⎫；
⎩ ⎭
4、 ⎪⎨⎧dX (t) = −g ⎡⎣X (t),Y (t)⎦⎤dt +Y (t)dW (t),t∈[0,T];，随机微分方程
处
⎪⎩
X (T) =ξ; 理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无
法预知将来某时刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！二、证明分析题（选做一题）
1、（1）Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe−(λ−λ)X dP = ∫R λλe−(λ−λ)xdPX ⎣⎡PX (⋅)− X的
概率分布⎦X～f (x)∫R λλe−(λ−λ)x f (x)dx = ∫0+∞λe−λxdx =1；
（2∀a>0，P({X ≤ ) = ∫{X ≤a} ZdP = ∫X
−
λ −λ X e −(
a , ∞]) λ (( −
)
1dP =
∫(
−∞,a]
λ λe−(λ−λ)xdPX = ∫(−∞,a]λλe−(λ−λ)x f (x) dx = ∫0 aλe−λxdx =1；
2、由于 Xn+1～U (1− Xn,1)，1− Xn+1～U (0, Xn )
，1
− Xn+1 ～U
(0,1)，
X n
E(n ≤ 2n
E(Yn+1 Fn) = E⎛⎜Yn ⋅2⋅1− n+1 Fn 2Yn ⋅E1− Xn+1 Fn ⎞⎟1− X n+1 独立于Fn
⎝ Xn ⎠ ⎝ Xn ⎠ Xn
⎛1− Xn+1 ⎞ Yn,a.s.，即有：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅（过
2Yn ⋅E⎜
⎟= ⎝ X n
⎠ 程）！三、 计
算证明题
1、（1）由几何分布的
E(X −cX >c)= EX =
1
c X >c ，
E(XX >c)= E(X −c X >c)+ E(c X >c)=
1
，
+c ；λλ
（2）E(XX >c)= PE(⎣⎡{XIX{>X >cc}}⎦⎤ ) = ∫−+∞∞ xI{x>e c−}λfcX (x)dx =
∫
c+∞
λexe−λc−λxdx =λ1 +c；
2、（1）易见，(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y >0;，令⎧⎨U = X +Y ，从
⎪⎩ 0,其他; ⎩ V = X
而由⎧⎨u = x + u,v) (x, y) = −1，从而
⎩ v = x ∂(x, y) ∂(u,v(X +Y, X ) = (U,V )～g(u,v) = ∂(x, y) ⋅ f (v,u −v) = ⎧ ⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u >v >0 ; ，则
∂(u,v)
⎪⎩ 0,其他; ⎧ u
有U = X +Y～fU (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ⎨⎪∫0 λμe−(λ−μ)v−μudv,u >0 ; =
⎪⎩ 0,其他;
⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e−μu − e−λu ⎤⎦,u >0; ；从而，λ−μ ⎣
⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;
⎧ e−(λ−μ)v
VU=u ～f() = ⎪⎨(λ−μ)1−e−(λ−μ)u ,0
E(VU = u)=−+∞∞vfVU (v
⎪⎩ 0,其他;
=∫0uv( )1−e−e(λ−−λμ−)μv dv 1 1−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μu⎦⎤e−(λ−μ)u ，也即有
λ−μ ( )u =λ−μ⋅ 1−e ( )u
1
1−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μc⎤⎦e−(λ−μ) c 。
)c λ−μ
E(XX +Y = c)=⋅ 1 e (
−
（2）令 X～fX (x)，即有： fX (x) = ∫−+∞∞ f (x, y)dy = ∫0x
即：
1
x dy,0 ≤ x ≤1，
X～U [0,1]；令X =x ～fY X ()，即有：0
1
f (x, y)
=
fY X (y x) = = ,0 ≤ y ≤ x ，即：Y X
fX (x) x
x
～U [0,x],0
∀x∈(0,1)，P(X 2 +Y 2 ≤1 X = x) = P− 1− x2 ≤ Y ≤ 1− x2 X = x
(
) =
P0 ≤Y ≤ 1− x2 X = x=∫0 1−x2 fY X (y x)dy =∫0x∧ 1−x2 1x dy =1∧ 1−x x2 ；
()
P
({X +Y ≤1})=∫
2
2
−+∞∞
P(X 2 +Y 2 ≤1 X = x) fX (x)dx =∫01 P(X 2 +Y 2 ≤1 X =
x)dx
2 +1 。
= ∫01 ⎡⎢⎢⎣ 1∧ 1−x x2 ⎥⎥⎦⎤dx = ln
( )
3、（1）由概率微元法，易知，∀x∈(0,1)，
(1− x)dx
P(x
1 2
dxX
⎧2(1− x),0
Y
XX
～fXXY (x) = ⎨
⎩
0,其他;
1
E(XX
−+∞∞
xfXX
1
（2）易知，
x
∀x∈(0,1)，YX=x ～U [0, x]，从而，E(Y X = x) = ，
2
D(YX = x) = 12 x2
3，
x2
，
E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ⎣⎡E(Y X = x)⎤⎦2 =
E ⎡⎣ (Y − X 2 X = x⎤⎦ = E ⎡⎣(Y − x) 2X = x⎤ = E(Y 2 X = x)− 2xE(Y X =
X
x)+ x2 = x32 ；故有：E(Y X ) 2 ,a E ⎣ X
= 3 2 ,a.s.。
⎡(Y − X )2 X ⎦⎤
.s.
4、易见，∀y 1,P({Y ≤ y}) =1；
n
∀y∈[0,1],P({Y ≤ y}) =1− P({Y >y}) =1−∏P({Xi >y}) =1−(1− y)n ；从而，
i=1 n−1
⎧ ⎪n(1− y) , y∈[0,1];。不妨设若
Y～fY (y)，则有 fY (y= ⎨
⎪⎩ 0,其他;
g(Y) = E(X1 ) E ⎡⎣X1 σ(Y)⎤⎦ ，由条件数学期望的定义：∀A∈σ(Y)，
∫
A
X1dP = ∫A E ⎡⎣X1 σ(Y)⎦⎤dP = ∫A g(Y)dP；取 A ={Y ≥ y} =Y−1([y,+∞))，
y∈[0,1]；即有：
∫
A X1dP = ∫{Y≥y} X1dP = ∫Ω X1
I
{Y≥y}dP =
∫
Ω
X1
I
{X1≥y}{X2≥y} ⋅⋅⋅{Xn≥y}dP = E ⎣
II
⎡X1
I
{X1≥y}{X2≥y}
I
⋅⋅⋅
I
{Xn≥y}⎤
⎦
= E ⎡⎣ X1I{X1≥y} ⎤⎦ E ⎣⎡I{X2≥y} ⎤⎦⋅⋅⋅E ⎡⎣I{Xn≥y}⎤⎦ = E ⎡⎣X1I{X1≥y} ⎦⎤ P({X 2 ≥ y})⋅⋅⋅P({Xn ≥ y}) =
∫
y1
xdx⋅(1− y)n−1 = (1− y)n2 (1+ y) ；
∫g(Y)dP = ∫
A
Y−1([y,+∞))
g(Y)dP积分变换定理∫[y,+∞) g(y)dPY (这里，PY (⋅)为的概率分布
Y
)
=∫[y,+∞) g(y) fY (y)dy = ∫y+∞ g(y) fY (y)dy；从而，∀y∈[0,1]，
(1− y)n (1+ y) = ∫y+∞ g(y) fY (y)dy ；两边关于 y 求导即有：
2
(1− y)n n(1− y)n−1 (1+ y)
2
2
2 n
E X 1 Y = g Y =( ) ( )
n−1
(n+1) y +(n−1)
− = −g(y)⋅n(1− y) ，g(y) = ；从而， 2n
(n+)Y +(n−1) ,a.s.。
)
5、（1）P(N (s)= k N (t)= n = P({N (s)= k, N (t)− N (s)= n−k}) =P({N
(t)= n})
P
({N (s)= k})P({N (t)− N (s)= n−k}) P({N (s)= k})P({N (t −s)= n−k})
=
P
({N (t)= n}) P({N (t)= n})
λsk e −λt ⎡⎣λ(t −s)⎤⎦n−k e−λ(t−s)
k ! =
k
n− k
−λ
n k !
(λt)n
= Cnk ⎛⎜ st ⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝ 1 − st ⎞⎟⎠ ，也即：
⎝
e t n!
N
(s)N(t)=n ～B⎛⎜⎝ n, s t ⎞⎟⎠；
（2）由于(S1,S2 ⋅⋅⋅,Sn ) N(t)=n d X(1), X(2) ⋅⋅⋅, X(n) )，其中 X(i) 为独立同
U (0,t)分布的 X1, X 2 ⋅⋅⋅, Sk
N(t)=n
Xn 第i个顺序统计量；从而， ⎣⎡SkN (t) = n⎦⎤ = EX(k)
(k) ，即有： E
() 。以下由概率
微元法
（又称微元密度法）来求 X(k) 的分布！
k−1 n−k
∀x∈(0,t)，P
({x
(k) ≤ x + dx
}) = C
nk−1
Cn1−k+1 ⎜⎛ xt ⎞⎟⎠ ⋅1t dx⋅⎝⎛⎜1− x
t ⎟⎞⎠ + o(dx)；从
⎝
k−1 n−k
而，X(k)～fX() (x) = Cnk−1Cn1−k+1 ⎜⎛ xt ⎠⎟⎞ ⋅1t ⋅⎝⎜⎛1− xt ⎠⎟⎞ ,x∈(0,t)；因
k
此，E ⎡⎣X(k) ⎤⎦ =
⎝
t
∫
−+∞∞
xfX(k) )dx ∫0nk−1Cn1−k⎠⎞⎟n−k dx由Beta函数与Γama函数的性质nkt+1
。
6、令 f (x)= ln x， f / (x) = 1x ， f // (x) = − x 12 ，由 Ito-Doeblin 公式，
11
d ⎡⎣lnS(t)⎤⎦= S1(t) dS(t)− 12 S21 (t) ⎡⎣dS(t)⎦⎤2 =μdt +σdW (t)− 2σ2dt =⎛⎜⎝μ− 2σ2 ⎞dt +σdW (t) ⎟⎠
；两边同时积分，即有：∫0t d ⎡⎣ln S(u)⎤⎦ = ∫0t ⎛⎜⎝μ− 1 2σ2 ⎟⎞⎠du +
∫σdW (u)
0t
，即：ln S(t)−ln S(0) = ⎛⎜μ−
1
2σ
2
⎞t +σW (t)，也即： ⎟⎠
⎝
⎛
1 2⎞ ⎜μ− σ ⎟dt+σdW(t)
S(t) = S(0)e⎝
2
⎠
。
令 f (x)= xn ，f / (x)= nxn−1，f // (x)= n(n−1)xn−2 ，由 Ito-Doeblin 公式，
n
n−1
1
n−2
2
n−1
1
n−2
d ⎣⎡W (t⎦⎤= nW (t)dW (t)+2 n(n−1)W
)
(t)⎡⎣dW (t)⎦⎤ = nW (t)dW (t)+2 n(n−1)W(t)dt ，
n−1
两边积分后有W (t) = ∫
n
t 0nW
(u)dW (u)+
1
tn2
2 n(n−1)∫0 W −(u)du ；
两边取期望后有
11
E ⎡⎣W n (t)⎤⎦ = E ⎡⎢2 n(n−1)∫0tW n−2 (u)du⎤⎦⎥= 2 n(n−1)∫0t E ⎡⎣W n−2
(u)⎦⎤du （ITO 积
；E ⎡⎣W 4 (t)⎦⎤= ∫0t E ⎡⎣W 2 ⎣ 分是鞅，期望为零）
6
(u)⎦⎤du = ∫0t udu = 3t2 ，
6
E ⎣⎡W 6 (t)⎦⎤=
15
∫
t
15
E ⎣⎡W 4 (u)⎤⎦du =∫0t 3u2du =15t3 。
四、 应用分析题
a）令 f (t,x) = e−⎛⎜⎝r+12Θ⎠⎟⎞t−Θx ，则 ft (t,x) = −⎛⎜⎝ r + 12 Θ2 ⎟⎠ ⎞ f (t,x)，
2
fx (t,x)=−Θf (t,x)， fxx (t, x)=Θ2 f (t,x)，由 Ito-Doeblin 公式， 1
dζ(t)= d ⎣⎡ f (t,W (t))⎦⎤= ft (t,W (t))dt + fx (t,W (t))dW (t)+ 2 fxx (t,W
(t))⎡⎣dW (t)⎦⎤2
1)= ⎢⎣ ⎡ ft (t,W (t))+ 2 fxx (t,W (t)⎤⎥⎦ dt + fx (t,W (t))dW (t) = −rζ(t)dt −Θζ(t)dW (t)；
b）由 Ito 乘积法则，d ⎡⎣ζ(t) X (t)⎤⎦ =ζ(t)dX (t)+ X (t)dζ(t)+ dζ(t)dX (t)
= ⋅⋅⋅ = ⎡⎣−rζ(t) X (t)+ζ(t)rX (t)+ζ(t)Δ(t)(μ− r)S(t)−Θζ(t)Δ(t)σS(t)⎤⎦dt +(⋅⋅⋅)dW (t)=(⋅⋅⋅)dW (t)，这里，dW (t)dt = dtdt = 0，dW (t)dW (t)= dt ；无漂移项，故ζ(t) X (t)是鞅（过程）！ c）考虑在时刻T 到
期支付（到期收益）为(S(T)− K)+ 的欧式看涨期权，敲定价格（执行价格）K 是某非负常数，Black、
Scholes和Merton论证了看涨期权在任何时刻的价值依赖于时间（离到期日T 余下的时间T −t）和该时刻的股价及K 等；如果t时的股价为S(t)= x ，用c(t, x)表示看涨期权在时刻t的价值，c(t, x)本身不具随机性。但期权的价值是随机地，它是在
S(t)取代哑变量x后，得到的随机过程
c(t,x)，从而得到一个用未
来股价表示的未来期权价值的公式。由 Ito-Doeblin 公式，
1
d ⎡⎣c(t,S(t))⎤⎦ = ct (t,S(t))dt +cx (t,S(t))dS(t)+ 2 cxx (t,S(t))dS(t)dS(t) =
⎡
2 2
⎤
⎢c t (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+σ S (t)cxx (t,S(t))⎥dt +σS(t)cx (t,S(t))dW (t)
⎣⎦
，d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ = −re−rtc(t,S(t))dt +e−rtd ⎡⎣c(t,S(t))⎤⎦ =
e−rt ⎡⎢−rc(t,S(t))+ct (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+σ2S 2 (t)cxx (t,S(t))⎥⎤dt +
⎣⎦
e−rtσS(t)cx (t,S(t))dW (t) X (0)投
资于股票与货币市场账户，使得在每个时刻t∈[0,T]，资产组 合价值 X (t)与c(t,S(t))
并且 X (0)= c(0,S(0))，积分后即有：
∀t∈[0,T],e−rt X (t)− X (0)= e−rtc(t,S(t))−c(0,S(0))。
如果 X (0)= c(0,S(0))，比较d ⎡⎣e−rt X (t)⎤⎦ 和d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ ，可知，d ⎡⎣e−rt X (t)⎤⎦ = d ⎡⎣e−rtc(t,S(t))⎤⎦ ⇔ Δ(t)⎡⎣(μ− r)S(t)dt +σS(t)dW (t)⎤⎦ =
⎡ 1
2 2
⎤
⎢−rc(t,S(t))+ct (t,S(t))+μS(t)cx (t,S(t))+ 2σ S (t)cxx (t,S(t))⎥⎦ dt +σS(t)cx (t,S(t))dW (t)
⎣
；令Δ(t)σS(t)dW (t)=σS(t)cx (t,S(t))dW (t)，即有：
∀t∈[0,T],Δ(t)= cx (t,S(t))，称为 前的每个时刻t ，期权空头对冲组合中持有股票的份额等于该时刻期权价值关于股价的偏导数，cx (t,S(t))常称为期权的 delta；再令dt 项相等，即有：∀t∈[0,T]，
(μ−r)S(t)cx
122
，即有：rc(t,S(t)) = ct (t,S(t))+ rS(t)cx (t,S(t))+
1
σ2S 2 (t)cxx (t,S(t)) ；总 2
之，即所求函数c(t,x)满足如下的 Black－Scholes 方程：
1 2x2cx (t, x) = rc(t,x),t∈[0,T],x ≥ 0 ，以及终值条件：
ct (t,x)+ rxcx (t,x)+ σ 2
c(T,x) = (x − K)+ 。
回到衍生证券为欧式看涨期权的情形！假设波动率σ和利率μ为常数，则期权的到期收益为V (T)=(S(T)− K)+，从而，
V (t)= c(t,S(t))= E ⎡⎣e−r(T−t) (S(T)− K)+Ft ⎤⎦
；由于D(t)= e−rt ，
dS(t)=μS(t)dt +σS(t)dW (t)，d ⎡⎣D(t)S(t)⎤⎦=σD(t)S(t)⎡⎣Θ(t)dt +dW
(t)⎤⎦
=σD(t)S(t)dW (t)，这里Θ(t)= μ−
r
；由S(t)所遵循的随机微分方 σ
程可解出
S(t)= S(0)exp⎧⎨σW (t)+⎡⎢μ− 12σ2 ⎥⎤⎦t⎫⎬⎭= S(0)exp⎧⎩⎨σW (t)+⎡⎢⎣r − 1 2σ2 ⎤⎥⎦t⎫⎬⎭
⎩
⎣
S(T)= S(W (T)−W (t)⎦⎤+⎡⎣⎢r − 12 σ2 ⎥⎦⎤(T −t)⎫⎬⎭= S(t)e−σ
τY+⎛⎜⎝r −1 2σ2⎞⎟⎠τ
， 这
W (T)−W (t) P
2
，τ=T −t 是“离到期日尚余时间”；
里，Y =
～N (0,1 ) T −t
因此，S(T)是Ft －可测随机变量S(t)与独立于Ft 的随机变量
−⎜r − σ ⎟τ
⎛ 1 2⎞
e
⎝ 2 ⎠
的乘积，故有，
K ⎞⎟+ ⎤⎥ 2 1 −+∞∞ −rτ⎛xe−σ
c(t,x)= E ⎡⎢e−rτ⎛⎝ ⎜xe−σ τY+⎛⎜⎝r−1σ2⎟⎠⎞τ
τy+⎝⎜⎛r−12σ2⎞⎟⎠τ
− K ⎞⎟+ e−12 y2 dy
⎜
2
− ⎟ =
∫ e ⎜
⎢⎣ ⎠ ⎥⎦ π ⎜⎝ ⎟⎠
⎛⎜ −σ τy+⎛⎜⎝r−12σ2⎞⎟⎠τ − K ⎞⎟⎟ + >0 ⇔ y
K 1
，注意到⎜xe 1 2 y
⎝ ⎠
⎡ln x +⎛⎜⎝ r − 12 σ2 ⎞⎟⎠τ⎤⎥⎦ ；
+
因此，c(t,x) τ,x)e−rτ⎛⎜⎜ xe−σ τy+⎛⎝⎜r−12σ⎞⎟⎠τ − K ⎟⎟⎞
2
e 2 dy =
2π −∞
⎝ ⎠
d−(τ,x)
xe
11
−2 y2−σ τy−2στ2 dy −(τ,x
) Ke−12 y2−rτdy = 1
∫
2π −∞ 2π −∞ 2π − ∞
2
d−(τ,x) −y+σ τ
()
dy x e
−e−rτKΦ(d− (τ,x))= xΦd− (τ,x)+σ τ−e−rτKΦ(d− (τ,x)) ， Φ(⋅) －标准
()
正
态分布函数。