例谈三角形面积的向量方法
向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以
得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用．
公式 ∆ABC中，若向量CB=a，CA=b，则S∆ABC=
．
证明 S∆ABC
1
=absin=2
=
１．利用公式求三角形的面积．
例1．已知∆ABC，点A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，求∆ABC的面积．
解：∵AB=(3,1)，AC=(2,4)，∴AB
2
=10，AC
2
=20，AB⋅AC=10，
∴S∆ABC=
=
=5．
例
00
2．已知∆ABC中，向量BA=(cos23,cos67)，BC=(2cos680,2cos220)，求∆ABC的
面积．
0000
解：由已知，得BA=(cos23,sin23)，BC=(2sin22,2cos22)，∴BA=1，BC=2，
00000
∴BC⋅BA=2(sin22cos23+cos22sin23)=2sin45=
∴S∆ABC=
=
2
．
２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx)，Q(cosx,sinx)，x∈[-
求∆OPQ面积的最值．
π
2412
,
π
]，O为坐标原点，
解：S∆OPQ=
=
=
=
12
cos2x．
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∵x∈[-大值为
12
π
2412
,
π
]， ∴当x=
π
12
时，∆
OPQ面积的最小值为
4
；当x=0时，∆OPQ面积的最
．
３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．
例4.已知∆OAB中,OA=a，OB=b，且a+b=3,a-b=2，求∆OAB面积的最大值．
2 2 2 2 5
解：∵a+b=3,a-b=2，∴a+2a⋅b+b=9，a-2a⋅b+b=4，解得a⋅b=，
4
2
213 a+b=，∴S∆OAB=
2
=
≤
3=，
2
当且仅当a=b=
2
时，取“=”号．
例
5.已知向量OA=a=(cosα,sinα)，OB=b=(cosβ,sinβ)，a与b之间有关系
式
-kb，（k>
0，且k≠2±
ka+b=
，O为坐标原点，求∆AOB面积的最大值，并求
此时a与b的夹角θ．
解：将ka+b=
2 2 2 2
22
-kb两边平方，得ka+2ka⋅b+b=3(a-2ka⋅b+kb)
1 1122
∵a=b=1，∴k+2ka⋅b+1=3(1-2ka⋅b+k)，又∵k>0，∴a⋅b=(k+)≥，
4k2
≤
==当且仅当k=1时取“=
”号．∴S∆AOB= 4
1a⋅b1000
∴∆
AOB，此时a⋅b=，∴cosθ==，∵0
224ab
新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．
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向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以
得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用．
公式 ∆ABC中，若向量CB=a，CA=b，则S∆ABC=
．
证明 S∆ABC
1
=absin=2
=
１．利用公式求三角形的面积．
例1．已知∆ABC，点A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，求∆ABC的面积．
解：∵AB=(3,1)，AC=(2,4)，∴AB
2
=10，AC
2
=20，AB⋅AC=10，
∴S∆ABC=
=
=5．
例
00
2．已知∆ABC中，向量BA=(cos23,cos67)，BC=(2cos680,2cos220)，求∆ABC的
面积．
0000
解：由已知，得BA=(cos23,sin23)，BC=(2sin22,2cos22)，∴BA=1，BC=2，
00000
∴BC⋅BA=2(sin22cos23+cos22sin23)=2sin45=
∴S∆ABC=
=
2
．
２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx)，Q(cosx,sinx)，x∈[-
求∆OPQ面积的最值．
π
2412
,
π
]，O为坐标原点，
解：S∆OPQ=
=
=
=
12
cos2x．
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∵x∈[-大值为
12
π
2412
,
π
]， ∴当x=
π
12
时，∆
OPQ面积的最小值为
4
；当x=0时，∆OPQ面积的最
．
３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．
例4.已知∆OAB中,OA=a，OB=b，且a+b=3,a-b=2，求∆OAB面积的最大值．
2 2 2 2 5
解：∵a+b=3,a-b=2，∴a+2a⋅b+b=9，a-2a⋅b+b=4，解得a⋅b=，
4
2
213 a+b=，∴S∆OAB=
2
=
≤
3=，
2
当且仅当a=b=
2
时，取“=”号．
例
5.已知向量OA=a=(cosα,sinα)，OB=b=(cosβ,sinβ)，a与b之间有关系
式
-kb，（k>
0，且k≠2±
ka+b=
，O为坐标原点，求∆AOB面积的最大值，并求
此时a与b的夹角θ．
解：将ka+b=
2 2 2 2
22
-kb两边平方，得ka+2ka⋅b+b=3(a-2ka⋅b+kb)
1 1122
∵a=b=1，∴k+2ka⋅b+1=3(1-2ka⋅b+k)，又∵k>0，∴a⋅b=(k+)≥，
4k2
≤
==当且仅当k=1时取“=
”号．∴S∆AOB= 4
1a⋅b1000
∴∆
AOB，此时a⋅b=，∴cosθ==，∵0
224ab
新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．
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