均值不等式的推广与柯西不等式

均值不等式的推广与柯西不等式 一、1、均值不等式：设a1,a2,a3,

an是n

个正实数，记Qn

，

An

a1a2

n

an

，

GnHn

na1a2

an

，则QnAnGnHn，其中等号成立的

条件是a1a2调和平均。

an。Qn,An,Gn,Hn分别称为平方平均、算术平均、几何平均、

a3b3c3

比如：1、abc3abcabc当且仅当a = b = c(a、b、cR)，

3

时,“=”号成立；

3

3

3

abc

2、abc3abc(a、b、cR)，当且仅当a = b = c

3

3

时,“=”号成立.

例1

、设a>b>0，则a2________．

例2、

a,b,cR,且abc1.求证：（1）(1a)(1b)(1c)8abc;

1111(2)9;(3)a2b2c2abc3

例3、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数w3x2y的最大值

2、绝对值三角不等式

ababab

二、柯西不等式：

柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)，当且仅当adbc时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,...,an，b1,b2,b3,...,bn是实数，则

222222

(a1a2...an).(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)2，当且仅当

bi0

(i1,2,...,n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,...,n)时，等号成立。

柯西不等式的几个推论： （1）当

b1b2bn1

时，

2

柯西不等式即为

2

n(a12a22an)aa(1an，若)aiR（i1,2,

n），

则

a1a2

n

an

，此即上面提到的平方平均算术平均。

（2）当bi当

1

（i1,2,ai

n）时，有(a12a22an2)(n

1122a1a212

。 )n2

an

ai

,biR

（i

1,2,），则

a1a2an

b1b2bn2。

b1b2

bn

例1.证明柯西不等式

例2.证明：对任意实数a>1,b>1，

有

a2b1b2

a1

8 .

例3.设a＞b＞0，那么a21

b(ab)

的最小值是_____

例4. a、b为正的常数，0x1，f(x)

abx1x

，求f(x)的最小值.

例5. （2002交大）若a,b满足关系

：1，a2b2。

则

巩固练习：

1、（2005交大）方程x2px1

0的两根x1,x

2满足x14x242，则p 2

2p

（pR）

2、（2002交大）若x,y,z

0且x2y2z21，为 。

则1x21y21z2

的最小值

均值不等式的推广与柯西不等式 一、1、均值不等式：设a1,a2,a3,

an是n

个正实数，记Qn

，

An

a1a2

n

an

，

GnHn

na1a2

an

，则QnAnGnHn，其中等号成立的

条件是a1a2调和平均。

an。Qn,An,Gn,Hn分别称为平方平均、算术平均、几何平均、

a3b3c3

比如：1、abc3abcabc当且仅当a = b = c(a、b、cR)，

3

时,“=”号成立；

3

3

3

abc

2、abc3abc(a、b、cR)，当且仅当a = b = c

3

3

时,“=”号成立.

例1

、设a>b>0，则a2________．

例2、

a,b,cR,且abc1.求证：（1）(1a)(1b)(1c)8abc;

1111(2)9;(3)a2b2c2abc3

例3、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数w3x2y的最大值

2、绝对值三角不等式

ababab

二、柯西不等式：

柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)，当且仅当adbc时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,...,an，b1,b2,b3,...,bn是实数，则

222222

(a1a2...an).(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)2，当且仅当

bi0

(i1,2,...,n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,...,n)时，等号成立。

柯西不等式的几个推论： （1）当

b1b2bn1

时，

2

柯西不等式即为

2

n(a12a22an)aa(1an，若)aiR（i1,2,

n），

则

a1a2

n

an

，此即上面提到的平方平均算术平均。

（2）当bi当

1

（i1,2,ai

n）时，有(a12a22an2)(n

1122a1a212

。 )n2

an

ai

,biR

（i

1,2,），则

a1a2an

b1b2bn2。

b1b2

bn

例1.证明柯西不等式

例2.证明：对任意实数a>1,b>1，

有

a2b1b2

a1

8 .

例3.设a＞b＞0，那么a21

b(ab)

的最小值是_____

例4. a、b为正的常数，0x1，f(x)

abx1x

，求f(x)的最小值.

例5. （2002交大）若a,b满足关系

：1，a2b2。

则

巩固练习：

1、（2005交大）方程x2px1

0的两根x1,x

2满足x14x242，则p 2

2p

（pR）

2、（2002交大）若x,y,z

0且x2y2z21，为 。

则1x21y21z2

的最小值