证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程
1. 该课题的研究历史
上文中，哥德巴赫猜想的证明，涉及到数轴上不同属性自然数之分布规律。自然数除“1”之外，其余是位置互补的两类数：第一类是素数，也称为质数，它指那些大于1、且只能被1和自身整除的数；素数从唯一的偶素数2起始，存在无穷多个，但其分布是无章可循的。第二类是合数，它指那些两个以上素数之乘积。所以，素数只含本身一个素数因子；而合数至少含有两个素因子。由此可推知，任意合数b的最小素因子，
。那么，不大于任意偶数2
a
所有素数之整倍数、就筛掉了不大于2a的全部合数，就暴露出了小于2a的素数。
哥德巴赫猜想命题，是1742年德国数学家哥德巴赫提出来的。其内容可表述为：凡是大于4的偶数必为两个奇素数之和。所以又将其简记为“1+1”，“1+1”可被形象地理解为一个只含“1”个素数因子的奇数、再加上一个只含“1”个素数因子的奇数。
该命题问世以来，其证明一直被喻为是摘取“数学皇冠上的明珠”。所以，1920年以来，全世界数学家展开了一场 “逐步逼近”、无限缩小包围圈的战役，依次证明出了“9+9”“7+7”…“1+2”。“1+2”是我国数学家陈景润于1966年证明出来的，被誉为“陈氏定理”，其结论是：充分大的偶数，可表示为一个素数和一个不超过2个奇素数乘积数之和。
但在人们庆幸该成果诞生之余，却无奈地发现终极目标“1+1”距我们并非只剩下“一步之遥”，而是还“远在天边”！因为从“9+9”到“1+2”的证明过程中，一直使用的这种“逐步逼近”的办法，似乎已走到了尽头，无法再继续下去、抵达终极目标“1+1”了！
这种结局的积极意义是：它促使人们摆脱陈旧的定势思维、重起炉灶、另辟蹊径、建立新的数学模型、创新数学方法，使该课题峰回路转，闯出了柳暗花明的又一片新天地；但其消极影响也很严重，它挫伤了一些人的自信心，从而引发了许多悲观的、无所作为的论点。当时，某权威媒体曾刊文说：“大批中外数学家成年累月地努力尚未解决的难题，如果可以靠加加减减和微积分去解决，那么近百年的数学发展不是等于零吗？大批数学家的努力不是等于零吗？”这种棉里藏针且极为情绪化舆论压力，使得再也无人敢正视该课题的新研究成果，将其一概斥之为“胡说八道”。这就是1966年至今又过去了半个世纪！该课题仍然推不出更新的研究成果的主要原因之一！
2.该课题研究的新思路和新证明方法
摆脱了旧有定势思维的禁锢、和逐步逼近的思想方法的束缚，思路便豁然开朗了。 如前所述，素数的分布是无章可循的；而小于
2a数确定的，是有章可循的。所以，用原来“逐步逼近”的方法、直接探寻无章可循的“1+1”，不如另辟蹊径、淘汰所有有章可循的非“1+1”，间接暴露出“1+1”。这就如同直接观察求索不可见之黑洞，不如根据周围可见天体的运动状态，去推测黑洞之存在位置一样。
为了暴露偶数2a的素分割对“1+1”
n个，并用pi表示其中任一个(i=1,2,3...n)。那么，在[0,2a]上，只需筛掉所有pi的整倍数，存留下来的整数就都是素数了。为了只存留能构成“1+1”的素数，可先分割、后筛选。即先将偶数2a分割
成a对整分割对，再用p1筛掉其中的偶分割对，最后再用奇素数筛网p2…pi…pn成双成对地筛掉a对奇分割对中的那些“双合数”及“单合数”分割对，剩下的就只有“1+1”了。 要分割2a，只要绕a点将数轴右半段旋转180度，在数轴重叠段上，位置重叠的每一对整数，就是偶数2a的一对整分割对。如例图（1）中，偶数44分割、筛选示意图所示：
由例图（1）可知，整分割对就是关于a点对称的两个整数(a−j)和(a+j)。在用偶素数p1(=2)筛除时，由于其筛点关于a点也是对称分布的，所以筛掉和存留的整分割对都是完整的。它筛掉了所有的偶分割对；保留下所有的奇分割对。奇分割对的对数至少有a对。 2
进而，用奇素数pi筛除时，由于其筛点关于a点一般是不对称的，所以一般筛掉的只是奇分割对的半边，还保留着另半边。比如上例中再用p2(=3)筛时，筛掉了3、9、15、21、27、33、39这七个数；还残留着与其成对的41、35、29、23、17、11、5。这些残留数中，除35和5等个别数在后面再用p3(=5)筛时还能被筛掉，其他都是素数，不会再被筛掉的。这些残留的数成了“孤寡素数”，在计算“1+1”数目时，它们会“滥竽充数”充大“1+1”数目。
因此再用奇素数pi筛时，要采取“翻倍双筛”，即给筛除率
留率由pi−1
pi1i乘2变为2i，从而使存变为pi−2pi。幸好用p1筛时只需单筛无需双筛！而需要双筛的奇素数pi筛网的
pi−2
ipi≥3，使“双筛存留率”不会成为0！否则就无法用“双筛法”完成该课题！ ≥1
“双筛法”将传统筛法中的“筛一个”转换成了“筛一双”，从而有过之而无不及地删掉了所有的“孤寡素数”，使其“1+1”数目计算值，只能小于或等于其真值！而绝不会大于其真值！比如在上例中，在用p2双筛的基础上再用p3(=5)双筛时，只有25+19这种“单合数对”是真正被p3首次筛掉的，但在其双筛计算中，还隐含着它对5+39和35+9这两对“双合数对”的再次筛除。显然这种“双合数对”都会被多筛一次，从而使“1+1”的双筛计算值更小于其真值。如上例中，用双筛计算式2×(2a⋅p1−1
p12⋅p2p−⋅2p3−2p3“1+1”对数)计算，
的双筛计算值为2.2，而真实存留的“1+1”的对数是3，它们分别是13+31、7+37、1+43。
3.新证明方法的难点和解决方法
显然，证明猜想命题，就是要证明任意偶数都存在“1+1”，而新证明方法，是要用排除法筛掉那些有合数存在的整分割对（即非“1+1”），显露出“1+1”。所以需要建立能筛除合数的通用计算式。那么，若用p2(=3)筛除时，可从数轴原点起每隔3个数、筛掉一个、存留两个，在通用计算式中，存留率计为2即可。但这样做却存在一个问题，就是素数“3”被筛掉了。因此传统筛法中，各pi的筛点都是从2pi点开始的，这样做有利之处仅仅是留住了pi这个素数；但其弊却远大于利。各pi筛网仅因起始点不同，而破坏了整个筛网的完整性、周期性、对称性。因此必须改造传统筛法，建立新的数学模型——准素数模型。
新模型只是让n个pi筛网的筛点、都从原点起始，仍保持每隔pi个整数筛掉一个。但它却使筛网具有了完整性、周期性、对称性。其唯一的缺点是在[0,pn]上筛掉了p1—pn这n个素数、且保留了“1”，除此之外与传统筛法完全相同。所以新模型的利远大于弊，可利用它的周期性、对称性建立准素数数目的线性近似计算式；并证明出其误差界值；再根据准素数与素数的关系，确定素数数目。下面例图（2）是
p3阶准素数模型一个周期的示意图。
准素数是离散分布的，其数目是随x阶梯性变化的阶梯函数，不可能写成x的连续函数，所以无法利用连续函数已有的丰富成果、证明猜想命题。因此需要构造一个pn阶准素数数目的线性近似函数ωnx，用它及其误差来表示pn阶准素数数目。当然这个函数并非是凭空想象出来的，它实际可称为真值阶梯函数之伴随函数。因为该ωnx在周期两端点、中点的值都与真值相等，真值阶梯函数曲线，就像藤绕树那样缠绕着ωnx直线，除周期端点、中点之外，二者还存在着更多的交叉点。原文证明ωnx相对真值的最大误差小于n。比如说n=4（ω4=35）时，用ω4x计算小于121的素数（注意2、3、5、7暂且不记，但要记
1）数目，其误差不超过4.下面例图（3）是线性近似函数ω3x与真值阶梯函数之关系图：
误差δn(x)界值的证明，是该课题最大难点，有利因素在于δn(x)具有周期性、反对称性，只需研究清楚半个周期即可；不利之处在于δn(x)是由2个锯齿波叠加而成的极复杂函数。好在每个周期上，仅周期端点是这2个波公共的2π相位重叠点（也即2个波峰重叠点）。虽因2个波的幅值相等、其中正波与负波数目也相等，在公共的波峰重叠点之上
负分量平衡、相消为0。但在稍微偏离波峰公共重叠点处，分别以p1δn(x)的正、 、nnnnp2…pn
为周期的这n个周期最短、周期差最小、且幅值同为正1的波，率先走完了各自的第一个周期，纷纷回落到其波谷0点，造成了δn(x)的正分量锐减，而此处绝大多数负波还正在向其波峰值“−1” 靠近，负分量幅值仍较大，所以在波峰重叠点正、负分量平衡的状态、被最大程度地打破了，出现了最大负峰值。由于最大峰值是由n个峰值为1的正波、密集回落造成的，所以最大负峰值的幅度不会大于n。或者说是n个pi的第一个筛点在(1,pn+1)区间内纷纷密集出现，造成了极大的准素数空白区、和因空白区形成的最大负误差。
周期中点，则是2n−1个周期为奇数锯齿波的2π相位重叠点。因此在其邻近区域，也出现了近相位相长叠加，也产生了较大的负误差峰值，但其幅度小于端部。下面的例图（4）、
（5），分别是δ
3(x
)
，δ4(x)的示图，可以看出，阶次越高，其最大负误差峰值便越突出。
例图（4）p3阶全周期上的误差曲线δ3(x)的示图 {为使纵坐标整数化，图上的纵坐标等于30×δ3(x)}
例图（5）：p4阶前半周期上的误差曲线δ4(x)的示图 {为使纵坐标整数化，图上纵坐标等于35×δ4(x)}
4.哥德巴赫猜想命题的证明结论.
猜想证明所针对的对象，是大偶数而非小偶数，而大偶数的真实情况是：偶数2a越大，其奇数分割对数目越多。虽然被筛掉的分割对也随2a增大而增多，但其增速远不如基数2
2快。因此大偶数之素分割对，绝不是有没有的问题！而是至少有多少的问题！就此而言，猜想命题也并非是一个刁钻的难题，近三个世纪都解决不了、完全是因为定势思维的问题。摆脱了定势思维的禁锢；另辟蹊径；建立起准素数模型；采用了创新的双筛法；证明了准素数线性分布函数计算式ωnx的计算误差之界值，便架起了用连续函数解决该离散数学问题的桥梁，该难题便水到渠成、迎刃而解了。
用λ(2a)表示2a的素数分割对数目，再用双筛的线性近似函数、减去可能出现的综合误差最大值2n、计算出2a的素数分割对数目下界，则有：
p−2p−2p−2p−1p−2p−2λ(2a)>1⋅...−2n} ⋅{2a⋅⋅⋅...显然，该式右端仅仅是左端λ(2a)的不足近似值，在其右端在计算中，既是一而再、123i−1in123i−1in
再而三地取其不足近似值，而从来不取其过剩近似值，原不等式将始终成立！为了简化运算过程，并使计算结果成为只与2a大小有关，而与中间过程无关的通用表达式，便采用了如下运算技巧：（1）根据i≥3时pi−2≥pi−1，右端正项分子中满足i≥3的pi−2一律用不大于它的pi−1替换、并与分母中的pi−1约分；（2）根据2a与pn关系式：pn≤2a
2λ(2a)>2⋅{pn⋅2⋅p−2n}n222pn4−n
这里，即nn是不大于p的素数个数，上式有三种等价形式： π=(p)π所以，尽管上式右端只是偶数素分割对数目一个很小的不足近似值，但它仍然能够显示：之后，偶数2a就一定会有素分割对“1+1”存在。比如：4
2a=22500=150、pn=149 、n=35时，就有 n
pn35=149 4.25 、λ(2a)=2.25。
π(x)
x→∞数论理论证明，数轴上从左向右素数的密度越来越小，即因此，limnnlim0。p→∞
最终结论是：式（55）证明，足够大的偶数一定有“素数分割对”存在。
【注：本文只是上文的简介，逻辑性更强、更严谨的证明在上文】
证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程
1. 该课题的研究历史
上文中，哥德巴赫猜想的证明，涉及到数轴上不同属性自然数之分布规律。自然数除“1”之外，其余是位置互补的两类数：第一类是素数，也称为质数，它指那些大于1、且只能被1和自身整除的数；素数从唯一的偶素数2起始，存在无穷多个，但其分布是无章可循的。第二类是合数，它指那些两个以上素数之乘积。所以，素数只含本身一个素数因子；而合数至少含有两个素因子。由此可推知，任意合数b的最小素因子，
。那么，不大于任意偶数2
a
所有素数之整倍数、就筛掉了不大于2a的全部合数，就暴露出了小于2a的素数。
哥德巴赫猜想命题，是1742年德国数学家哥德巴赫提出来的。其内容可表述为：凡是大于4的偶数必为两个奇素数之和。所以又将其简记为“1+1”，“1+1”可被形象地理解为一个只含“1”个素数因子的奇数、再加上一个只含“1”个素数因子的奇数。
该命题问世以来，其证明一直被喻为是摘取“数学皇冠上的明珠”。所以，1920年以来，全世界数学家展开了一场 “逐步逼近”、无限缩小包围圈的战役，依次证明出了“9+9”“7+7”…“1+2”。“1+2”是我国数学家陈景润于1966年证明出来的，被誉为“陈氏定理”，其结论是：充分大的偶数，可表示为一个素数和一个不超过2个奇素数乘积数之和。
但在人们庆幸该成果诞生之余，却无奈地发现终极目标“1+1”距我们并非只剩下“一步之遥”，而是还“远在天边”！因为从“9+9”到“1+2”的证明过程中，一直使用的这种“逐步逼近”的办法，似乎已走到了尽头，无法再继续下去、抵达终极目标“1+1”了！
这种结局的积极意义是：它促使人们摆脱陈旧的定势思维、重起炉灶、另辟蹊径、建立新的数学模型、创新数学方法，使该课题峰回路转，闯出了柳暗花明的又一片新天地；但其消极影响也很严重，它挫伤了一些人的自信心，从而引发了许多悲观的、无所作为的论点。当时，某权威媒体曾刊文说：“大批中外数学家成年累月地努力尚未解决的难题，如果可以靠加加减减和微积分去解决，那么近百年的数学发展不是等于零吗？大批数学家的努力不是等于零吗？”这种棉里藏针且极为情绪化舆论压力，使得再也无人敢正视该课题的新研究成果，将其一概斥之为“胡说八道”。这就是1966年至今又过去了半个世纪！该课题仍然推不出更新的研究成果的主要原因之一！
2.该课题研究的新思路和新证明方法
摆脱了旧有定势思维的禁锢、和逐步逼近的思想方法的束缚，思路便豁然开朗了。 如前所述，素数的分布是无章可循的；而小于
2a数确定的，是有章可循的。所以，用原来“逐步逼近”的方法、直接探寻无章可循的“1+1”，不如另辟蹊径、淘汰所有有章可循的非“1+1”，间接暴露出“1+1”。这就如同直接观察求索不可见之黑洞，不如根据周围可见天体的运动状态，去推测黑洞之存在位置一样。
为了暴露偶数2a的素分割对“1+1”
n个，并用pi表示其中任一个(i=1,2,3...n)。那么，在[0,2a]上，只需筛掉所有pi的整倍数，存留下来的整数就都是素数了。为了只存留能构成“1+1”的素数，可先分割、后筛选。即先将偶数2a分割
成a对整分割对，再用p1筛掉其中的偶分割对，最后再用奇素数筛网p2…pi…pn成双成对地筛掉a对奇分割对中的那些“双合数”及“单合数”分割对，剩下的就只有“1+1”了。 要分割2a，只要绕a点将数轴右半段旋转180度，在数轴重叠段上，位置重叠的每一对整数，就是偶数2a的一对整分割对。如例图（1）中，偶数44分割、筛选示意图所示：
由例图（1）可知，整分割对就是关于a点对称的两个整数(a−j)和(a+j)。在用偶素数p1(=2)筛除时，由于其筛点关于a点也是对称分布的，所以筛掉和存留的整分割对都是完整的。它筛掉了所有的偶分割对；保留下所有的奇分割对。奇分割对的对数至少有a对。 2
进而，用奇素数pi筛除时，由于其筛点关于a点一般是不对称的，所以一般筛掉的只是奇分割对的半边，还保留着另半边。比如上例中再用p2(=3)筛时，筛掉了3、9、15、21、27、33、39这七个数；还残留着与其成对的41、35、29、23、17、11、5。这些残留数中，除35和5等个别数在后面再用p3(=5)筛时还能被筛掉，其他都是素数，不会再被筛掉的。这些残留的数成了“孤寡素数”，在计算“1+1”数目时，它们会“滥竽充数”充大“1+1”数目。
因此再用奇素数pi筛时，要采取“翻倍双筛”，即给筛除率
留率由pi−1
pi1i乘2变为2i，从而使存变为pi−2pi。幸好用p1筛时只需单筛无需双筛！而需要双筛的奇素数pi筛网的
pi−2
ipi≥3，使“双筛存留率”不会成为0！否则就无法用“双筛法”完成该课题！ ≥1
“双筛法”将传统筛法中的“筛一个”转换成了“筛一双”，从而有过之而无不及地删掉了所有的“孤寡素数”，使其“1+1”数目计算值，只能小于或等于其真值！而绝不会大于其真值！比如在上例中，在用p2双筛的基础上再用p3(=5)双筛时，只有25+19这种“单合数对”是真正被p3首次筛掉的，但在其双筛计算中，还隐含着它对5+39和35+9这两对“双合数对”的再次筛除。显然这种“双合数对”都会被多筛一次，从而使“1+1”的双筛计算值更小于其真值。如上例中，用双筛计算式2×(2a⋅p1−1
p12⋅p2p−⋅2p3−2p3“1+1”对数)计算，
的双筛计算值为2.2，而真实存留的“1+1”的对数是3，它们分别是13+31、7+37、1+43。
3.新证明方法的难点和解决方法
显然，证明猜想命题，就是要证明任意偶数都存在“1+1”，而新证明方法，是要用排除法筛掉那些有合数存在的整分割对（即非“1+1”），显露出“1+1”。所以需要建立能筛除合数的通用计算式。那么，若用p2(=3)筛除时，可从数轴原点起每隔3个数、筛掉一个、存留两个，在通用计算式中，存留率计为2即可。但这样做却存在一个问题，就是素数“3”被筛掉了。因此传统筛法中，各pi的筛点都是从2pi点开始的，这样做有利之处仅仅是留住了pi这个素数；但其弊却远大于利。各pi筛网仅因起始点不同，而破坏了整个筛网的完整性、周期性、对称性。因此必须改造传统筛法，建立新的数学模型——准素数模型。
新模型只是让n个pi筛网的筛点、都从原点起始，仍保持每隔pi个整数筛掉一个。但它却使筛网具有了完整性、周期性、对称性。其唯一的缺点是在[0,pn]上筛掉了p1—pn这n个素数、且保留了“1”，除此之外与传统筛法完全相同。所以新模型的利远大于弊，可利用它的周期性、对称性建立准素数数目的线性近似计算式；并证明出其误差界值；再根据准素数与素数的关系，确定素数数目。下面例图（2）是
p3阶准素数模型一个周期的示意图。
准素数是离散分布的，其数目是随x阶梯性变化的阶梯函数，不可能写成x的连续函数，所以无法利用连续函数已有的丰富成果、证明猜想命题。因此需要构造一个pn阶准素数数目的线性近似函数ωnx，用它及其误差来表示pn阶准素数数目。当然这个函数并非是凭空想象出来的，它实际可称为真值阶梯函数之伴随函数。因为该ωnx在周期两端点、中点的值都与真值相等，真值阶梯函数曲线，就像藤绕树那样缠绕着ωnx直线，除周期端点、中点之外，二者还存在着更多的交叉点。原文证明ωnx相对真值的最大误差小于n。比如说n=4（ω4=35）时，用ω4x计算小于121的素数（注意2、3、5、7暂且不记，但要记
1）数目，其误差不超过4.下面例图（3）是线性近似函数ω3x与真值阶梯函数之关系图：
误差δn(x)界值的证明，是该课题最大难点，有利因素在于δn(x)具有周期性、反对称性，只需研究清楚半个周期即可；不利之处在于δn(x)是由2个锯齿波叠加而成的极复杂函数。好在每个周期上，仅周期端点是这2个波公共的2π相位重叠点（也即2个波峰重叠点）。虽因2个波的幅值相等、其中正波与负波数目也相等，在公共的波峰重叠点之上
负分量平衡、相消为0。但在稍微偏离波峰公共重叠点处，分别以p1δn(x)的正、 、nnnnp2…pn
为周期的这n个周期最短、周期差最小、且幅值同为正1的波，率先走完了各自的第一个周期，纷纷回落到其波谷0点，造成了δn(x)的正分量锐减，而此处绝大多数负波还正在向其波峰值“−1” 靠近，负分量幅值仍较大，所以在波峰重叠点正、负分量平衡的状态、被最大程度地打破了，出现了最大负峰值。由于最大峰值是由n个峰值为1的正波、密集回落造成的，所以最大负峰值的幅度不会大于n。或者说是n个pi的第一个筛点在(1,pn+1)区间内纷纷密集出现，造成了极大的准素数空白区、和因空白区形成的最大负误差。
周期中点，则是2n−1个周期为奇数锯齿波的2π相位重叠点。因此在其邻近区域，也出现了近相位相长叠加，也产生了较大的负误差峰值，但其幅度小于端部。下面的例图（4）、
（5），分别是δ
3(x
)
，δ4(x)的示图，可以看出，阶次越高，其最大负误差峰值便越突出。
例图（4）p3阶全周期上的误差曲线δ3(x)的示图 {为使纵坐标整数化，图上的纵坐标等于30×δ3(x)}
例图（5）：p4阶前半周期上的误差曲线δ4(x)的示图 {为使纵坐标整数化，图上纵坐标等于35×δ4(x)}
4.哥德巴赫猜想命题的证明结论.
猜想证明所针对的对象，是大偶数而非小偶数，而大偶数的真实情况是：偶数2a越大，其奇数分割对数目越多。虽然被筛掉的分割对也随2a增大而增多，但其增速远不如基数2
2快。因此大偶数之素分割对，绝不是有没有的问题！而是至少有多少的问题！就此而言，猜想命题也并非是一个刁钻的难题，近三个世纪都解决不了、完全是因为定势思维的问题。摆脱了定势思维的禁锢；另辟蹊径；建立起准素数模型；采用了创新的双筛法；证明了准素数线性分布函数计算式ωnx的计算误差之界值，便架起了用连续函数解决该离散数学问题的桥梁，该难题便水到渠成、迎刃而解了。
用λ(2a)表示2a的素数分割对数目，再用双筛的线性近似函数、减去可能出现的综合误差最大值2n、计算出2a的素数分割对数目下界，则有：
p−2p−2p−2p−1p−2p−2λ(2a)>1⋅...−2n} ⋅{2a⋅⋅⋅...显然，该式右端仅仅是左端λ(2a)的不足近似值，在其右端在计算中，既是一而再、123i−1in123i−1in
再而三地取其不足近似值，而从来不取其过剩近似值，原不等式将始终成立！为了简化运算过程，并使计算结果成为只与2a大小有关，而与中间过程无关的通用表达式，便采用了如下运算技巧：（1）根据i≥3时pi−2≥pi−1，右端正项分子中满足i≥3的pi−2一律用不大于它的pi−1替换、并与分母中的pi−1约分；（2）根据2a与pn关系式：pn≤2a
2λ(2a)>2⋅{pn⋅2⋅p−2n}n222pn4−n
这里，即nn是不大于p的素数个数，上式有三种等价形式： π=(p)π所以，尽管上式右端只是偶数素分割对数目一个很小的不足近似值，但它仍然能够显示：之后，偶数2a就一定会有素分割对“1+1”存在。比如：4
2a=22500=150、pn=149 、n=35时，就有 n
pn35=149 4.25 、λ(2a)=2.25。
π(x)
x→∞数论理论证明，数轴上从左向右素数的密度越来越小，即因此，limnnlim0。p→∞
最终结论是：式（55）证明，足够大的偶数一定有“素数分割对”存在。
【注：本文只是上文的简介，逻辑性更强、更严谨的证明在上文】