姓名：张弛 班级：经统1401 学号：1409100138 联系方式：[1**********]
运筹学中的线性规划问题
摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、方法较成熟一个重要分支，其应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视，越来越多地渗透到农业生产、商业活动、军事行动和科学研究等各个方面。本文由以下四个部分组成：第一部分初步介绍了线性规划问题产生的历史背景、发展概况；第二部分介绍了线性规划问题的求解方法，包括图解法、单纯形法、大M法和两阶段法等方法；第三部分对图解法、单纯形法、大M法进行了举例说明；第四部分介绍了线性规划在经济中的实际应用。
关键词：运筹学 线性规划 图解法 单纯形法 经济应用
一、线性规划问题的产生与发展
运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
在生产生活、管理决策等各类经济活动中，我们经常遇到这样的问题：什么是最好的决策、最佳的方案？例如企业在生产条件不变的前提条件下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源使得成本最低；又如工厂在各原材料固定的情况下，如何最佳地使用原材料使得利润最大等。
这类统筹规划问题用数学语言表达，先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数形式表示，对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达。当变量连续取值，且目标函数的约束条件均为线性时，这类模型为线性规划的模型。线性规划模型建模相对简单，有通用算法和计算机软件，是运筹学中应用最为广泛的一个分支。有些规划问题的目标函数是非线性的，但往往可以采用分段线性化等方法，转化为线性规划问题。
线性规划问题的基本特点是：目标函数和所有约束条件都是线性的，所追求得是在满足约束条件的前提下，实现目标函数的最优化。线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术。
二、求解线性规划问题的方法
1、图解法
（1）优缺点
①图解法：图解法简单直观，求解线性规划问题时不需将数学模型化为标准型，可以直接在平面上作图，但此法只试用于二维问题，故有一定局限性。
②用图解法求解，有助于了解线性规划问题求解的基本思想。它可以直接看出线性
规划问题的几种情况： 有唯一最优解 有无穷多组最优解 无可行解
无有限最优解（即为无界解）
（2）图解法的步骤 ①建立平面直角坐标系； ②图示约束条件，找出可行域； ③图示目标函数，即为一条直线；
④将目标函数直线沿其法线在可行域内向可行域边界平移直至目标函数。
2、单纯形法
（1）单纯形法原理
①基本思想：从可行域中的某个基本可行解开始到另一个基本可行解，直到目标函数达到最优。 ②理论基础：
定理1 若LP问题可行域存在，则可行域是个凸集。 定理2 LP问题的基可行解与可行域的顶点一一对应。
定理3 若LP问题存在最优解，则一定存在一个基可行解是最优解。 （2）单纯形法的步骤及解法
①找出初始基可行解，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
②检验此基本可行解是否为最优解，即检验各非基变量
姓名：张弛 班级：经统1401 学号：1409100138 联系方式：[1**********]
运筹学中的线性规划问题
摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、方法较成熟一个重要分支，其应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视，越来越多地渗透到农业生产、商业活动、军事行动和科学研究等各个方面。本文由以下四个部分组成：第一部分初步介绍了线性规划问题产生的历史背景、发展概况；第二部分介绍了线性规划问题的求解方法，包括图解法、单纯形法、大M法和两阶段法等方法；第三部分对图解法、单纯形法、大M法进行了举例说明；第四部分介绍了线性规划在经济中的实际应用。
关键词：运筹学 线性规划 图解法 单纯形法 经济应用
一、线性规划问题的产生与发展
运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
在生产生活、管理决策等各类经济活动中，我们经常遇到这样的问题：什么是最好的决策、最佳的方案？例如企业在生产条件不变的前提条件下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源使得成本最低；又如工厂在各原材料固定的情况下，如何最佳地使用原材料使得利润最大等。
这类统筹规划问题用数学语言表达，先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数形式表示，对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达。当变量连续取值，且目标函数的约束条件均为线性时，这类模型为线性规划的模型。线性规划模型建模相对简单，有通用算法和计算机软件，是运筹学中应用最为广泛的一个分支。有些规划问题的目标函数是非线性的，但往往可以采用分段线性化等方法，转化为线性规划问题。
线性规划问题的基本特点是：目标函数和所有约束条件都是线性的，所追求得是在满足约束条件的前提下，实现目标函数的最优化。线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术。
二、求解线性规划问题的方法
1、图解法
（1）优缺点
①图解法：图解法简单直观，求解线性规划问题时不需将数学模型化为标准型，可以直接在平面上作图，但此法只试用于二维问题，故有一定局限性。
②用图解法求解，有助于了解线性规划问题求解的基本思想。它可以直接看出线性
规划问题的几种情况： 有唯一最优解 有无穷多组最优解 无可行解
无有限最优解（即为无界解）
（2）图解法的步骤 ①建立平面直角坐标系； ②图示约束条件，找出可行域； ③图示目标函数，即为一条直线；
④将目标函数直线沿其法线在可行域内向可行域边界平移直至目标函数。
2、单纯形法
（1）单纯形法原理
①基本思想：从可行域中的某个基本可行解开始到另一个基本可行解，直到目标函数达到最优。 ②理论基础：
定理1 若LP问题可行域存在，则可行域是个凸集。 定理2 LP问题的基可行解与可行域的顶点一一对应。
定理3 若LP问题存在最优解，则一定存在一个基可行解是最优解。 （2）单纯形法的步骤及解法
①找出初始基可行解，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
②检验此基本可行解是否为最优解，即检验各非基变量