1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2013年山西省中考第26题
如图1，抛物线y =123x -x -4与x 轴交于A 、42
B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连
结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，
点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，
过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别
交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边
形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答（1）由y =1231x -x -4=(x +2)(x -8) ，得A (－2,0) ，B (8,0)，C (0,－4) ． 424
11（2）直线DB 的解析式为y =-x +4．由点P 的坐标为(m , 0)，可得M (m , -m -4) ，22
131131Q (m , m 2-m -4) ．所以MQ ＝(-m +4) -(m 2-m -4) =-m 2+m +8． 422424
当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程-12． m +m +8=8，得m ＝4，或m ＝0（舍去）4
此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2) ，Q (4,－6) ．
所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．所以四边形CQBM 是平行四边形． 图2
存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0) ，(6,－4) ．
考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为(x , (x +2)(x -8)) ． （3）1
4
1-(x +2)(x -8) QG BH 11①如图3，当∠DBQ ＝90°时， ==．所以=．
GB HD 28-x 2
解得x ＝6．此时Q (6,－4) ．
14-(x +2)(x -8) QG DH ②如图4，当∠BDQ ＝90°时， ==2．所以=2． GD HB -x
解得x ＝－2．此时Q (－2,0) ．
图3
例2 2012年广州市中考第24题
33如图1，抛物线y =-x 2-x +3与x 轴交于A 、B 两点（点84
A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD
的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、
B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解．．．．
析式．
思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．
2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
333（1）由y =-x 2-x +3=-(x +4)(x -2) ， 848
得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．
（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．
过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．
DG CO 3由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以==． BG AO 4
399BG =，点D 的坐标为(1,-) ． 444
因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．
2727而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG =．所以D ′的坐标为(1,) ．
44所以DG =
图2 图3
（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．
联结GM ，那么GM ⊥l ．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
M A 3在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，tan ∠M 1EA =1=，所以M 1A ＝6． AE 4
所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为y =-
根据对称性，直线l 还可以是y =
考点伸展
第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．
因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ． 3x +3． 43x +3． 4
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2013年山西省中考第26题
如图1，抛物线y =123x -x -4与x 轴交于A 、42
B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连
结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，
点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，
过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别
交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边
形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答（1）由y =1231x -x -4=(x +2)(x -8) ，得A (－2,0) ，B (8,0)，C (0,－4) ． 424
11（2）直线DB 的解析式为y =-x +4．由点P 的坐标为(m , 0)，可得M (m , -m -4) ，22
131131Q (m , m 2-m -4) ．所以MQ ＝(-m +4) -(m 2-m -4) =-m 2+m +8． 422424
当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程-12． m +m +8=8，得m ＝4，或m ＝0（舍去）4
此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2) ，Q (4,－6) ．
所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．所以四边形CQBM 是平行四边形． 图2
存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0) ，(6,－4) ．
考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为(x , (x +2)(x -8)) ． （3）1
4
1-(x +2)(x -8) QG BH 11①如图3，当∠DBQ ＝90°时， ==．所以=．
GB HD 28-x 2
解得x ＝6．此时Q (6,－4) ．
14-(x +2)(x -8) QG DH ②如图4，当∠BDQ ＝90°时， ==2．所以=2． GD HB -x
解得x ＝－2．此时Q (－2,0) ．
图3
例2 2012年广州市中考第24题
33如图1，抛物线y =-x 2-x +3与x 轴交于A 、B 两点（点84
A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD
的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、
B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解．．．．
析式．
思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．
2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
333（1）由y =-x 2-x +3=-(x +4)(x -2) ， 848
得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．
（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．
过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．
DG CO 3由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以==． BG AO 4
399BG =，点D 的坐标为(1,-) ． 444
因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．
2727而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG =．所以D ′的坐标为(1,) ．
44所以DG =
图2 图3
（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．
联结GM ，那么GM ⊥l ．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
M A 3在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，tan ∠M 1EA =1=，所以M 1A ＝6． AE 4
所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为y =-
根据对称性，直线l 还可以是y =
考点伸展
第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．
因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ． 3x +3． 43x +3． 4