中山火炬职业技术学院
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011 年 3830
C
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9 月
12 日
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企业退休职工养老金制度的改革
摘 要
养老金也称退休金， 是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的 资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 本文利用题目中提供的数据及相关信息，结合我国养老保险改革过渡时间的现状， 分别对四个问题进行了建模，求解，阐述。 针对问题一，建立了两个预测模型。 模型一：由山东省历年的职工年平均工资，建立了山东省职工的年平均工资的指数 增长模型，运用 maple 拟合求解，求得山东省职工的年平均工资在一定的理想条件下持 续增长，到 2013 年,2015 年分别为 48361 元和 62954 元，具有较好的短期预测效果，操 作简单，适合于短期预测，但是长期来看，工资收入不可能无限增长，即指数模型不能 描述、也不能预测较长时期的工资情况，这是因为工资增长率事实上是在不断地变化着 的，排除灾难战争等特殊时期，受经济发展等因素影响，经济增长到一定程度，工资增 长就会慢下来，即工资的增长率变小。因此，该模型中长期预测效果不佳。 模型二：基于 Logistic 模型，从瓶颈制约，理论制约，体制改革等因
素出发，建 立了含有阻滞因素的微分方程模型。综合考虑上述因素，利用 matlab 编程对模型进行 数据拟合并求解。经检验，与实际数据误差较小，说明该模型是可以用来预测较长时期 的工资情况的。 本文运用该模型对山东省 2011 年到 2035 年的职工的年平均工资进行了 预测。 针对问题二，根据问题一的结论及附件 2 和附件 3 的数据，运用 Excel 求出 2009 年该企业各年龄段的职工缴费指数。进一步，按照替代率的运算公式考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） 各种情况下的养老金替代率，发现在退休年龄不变时，开始缴纳养老保险越早，替代率 越高；在开始缴纳养老保险年龄相同时，退休越晚，替代率越高，但都没有达到我国未 来基本养老保险的目标替代率。 针对问题三，运用问题二的结论，求出了该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴 养老保险，一直缴到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，到 75 岁死亡为止每年领取的养老金额，并计算出退休后每年养老保险基金会收支差，当收支 差为负数时，养老保险基金出现缺口，发现当退休年龄越大，出现缺口的可能性越小， 也就越接近收支平衡。 针对问题四，运用以上三个问题的结论，并结合目前我国养老保险改革正处于过渡 时期的实际情况，即替代率较低，缺口严重，养老保险基金收支失衡的问题，提出了维 持养老保险基金收支平衡的几点建议。 最后对所建模型的推广及改进方向进行了阐述。 关键词：养老金 养老保险基金 Logistic 模型 替代率
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一、问题的提出及重述
1.1 问题的提出 养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保 险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式， 即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人 工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退 休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数） ， 再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养 老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ，作为退休后每个 月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹 账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账
户储存额以银行当时 公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长 又与经济增长相关。近 30 年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家 的经济和工资增长率都较低。 我国经济发展的战略目标， 是要在 21 世纪中叶使我国 人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老 保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险 基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休 前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目 标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支 平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较 难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。 附件 1 是山东省职工历年平均工资数据； 附件 2 是 2009 年山东省某企业各年龄 段职工的工资分布情况，附件 3 是养老金的计算办法。 问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假 ： 设，并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。 问题二： 根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之 ： 比。 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值， 考虑该企业职工自 2000 年起分别 从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各 种情况下的养老金替代率。 问题三：假设该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到 退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养 老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险 基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为 可以采取什么措施。请给出你的理由。
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二、问题的分析
问题一：主要是预测山东省职工的未来24年的年平均工资。在附件1中给出了山东 省1978年至2010年的职工历年年平均工资统计表，一共33组数据。我们计划分别采用指 数模型及Logistic模型来进行拟合，并计算一阶差分，根据不同模型的拟合情况和差分 值，并与实际情况相结合，选择一个模型对该省2011年至2035年的
职工年平均工资进行 预测，并参与后续模型的计算。 问题二：基础是利用问题一中预测出的全部数据，结合附件2中给出的各种计算公 式，计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。并把这些比值看作职 工缴费指数的参考值，假设该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险， 一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁） ，计算各种情况下的养老金替代率（这里一共有6 种情况需要计算） 。 问题三：我们需要计算两部分，第一部分是缴纳的企业职工的养老保险基金总额， 第二部分是领取的养老金总额。由于缴纳的年份是固定的，如果领取养老金的时间相对 比较长，就容易出现养老金收支难抵的情况。比较收支恰好平衡的年龄，则立即可以知 道到75岁时候，养老金的缺口情况。 问题四：我们认为主要是要增加养老金缴纳的总额，这当然首先需要提高全民的生 活水平和工资水平，并且社会的消费水平也要在恰当合理的水平。否则，工资的相当一 部分缴纳了养老金，就会使得当下的生活产生困难，而缴纳的养老金不足，退休后的生 活就无法得到保证。因此我们认为下面的几个方面值得注意，第一就是继续提高企业离 退休职工，特别是具有高学历的工程技术人员的离退休待遇，并且逐步把这种待遇机制 化。第二，延缓退休年龄。第三，在企业具有年薪的地方，应该拿出一部分来增加退休 职工的工资。平衡企业和事业单位的退休金的差别。第四，在机关和事业单位实行养老 保险改革，是一件复杂的事情。机关人员并不多，有600万，但是科教文卫体、事业单 位多达3100万，如果加上退休人员就超过4000万人，必须慎重、稳妥地加以处理，可以 在有条件的地方先进行试点，逐步积累经验，使整个国家能形成一个规范的养老保险制 度。
三、模型的假设
假设1 附件中提供的数据准确、真实、有效； 假设2 银行的利息率为固定值3%； 假设3 在预测时间内工资水平不会剧烈变化； 假设 4 企业职工的月平均工资增长受其它因素的影响，不能无限增长； 假设 5 在年底缴存养老保险基金； 假设 6 该企业职工的年平均工资等于山东省职工的年平均工资。
四、符号说明
符号 t g (t ) J 说明 年份 山东省某企业月平均工资 缴存的养老保险基金
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单位 年 元 元
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s
Z
Z
g0
gm
δ
r
E H k w
qx
U
λ
x1 ..x m c1 ..c m
社会统筹基金账户 职工个人工资 职工工资总额 1978 年平均工资 年平均工资最大值 替代率 某企业的工资增长率 表示国家规定的个人账户计发月数 职工退休时养老金 基础养老金 个人账户养老金 个人账户储存额 全省
上年度在岗职工月平均工资 人均缴费指数 参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年本人缴费 工资额 参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年全国/省/ 地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”
元 元 元 元 元
元 元 元 元 元
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 建立模型与求解 模型一：指数增长模型[1] 运用 maple[2]软件对附件 1 中的数据进行拟合（程序见附录 1） ，图像如图 1 所 示。
图 1 指数增长模型 g-t 图像 记 g (t ) 为平均工资，t 为年份，r 为该企业工资增长率， 建立指数增长模型如下：
g (t ) = ae rt
代入附件 1 的数据，得
a = 0.256 ， r = 0.132
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中山火炬职业技术学院 即指数增长模型为 g (t ) = 0.256e 0.132t ， 运用此模型计算出 2011 到 2035 年的平均工资情况如表 1 所示 表 1 指数模型预测 2011 年到 2035 年平均工资 年平均工资 月平均工资 年份 年平均工资 月平均工资 37151.71 3095.98 2024 206249.36 17187.45 42387.85 3532.32 2025 235318.04 19609.84 48361.97 4030.16 2026 268483.64 22373.64 55178.08 4598.17 2027 306323.58 25526.96 62954.85 5246.24 2028 349496.66 29124.72 71827.67 5985.64 2029 398754.53 33229.54 81951.03 6829.25 2030 454954.78 37912.90 93501.16 7791.76 2031 519075.86 43256.32 106679.17 8889.93 2032 592234.13 49352.84 121714.47 10142.87 2033 675703.29 56308.61 138868.84 11572.40 2034 770936.55 64244.71 158440.94 13203.41 2035 879591.94 73299.33 180771.52 15064.29
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
显然，这个公式的基本条件是年增长率 b 保持不变。但是长期来看，任何地区的 工资都不可能无限增长， 即指数模型不能描述、 也不能预测较长时期的工资变化过程。 这是因为工资增长率事实上是在不断变化着，排除金融危机，灾难、战乱等特殊时期， 一般来说，当工资增长到一定程度，增长就会慢下来，即增长率会变小。如果用一个 平均的工资增长率计算某企业内的工资，即用指数增长模型描述某企业的工资变化， 从表 1 中可发现工资会无限的增大，与现实情况的实际数据相差很大。 所以， 为了使某企业的工资预报特别是长期预报更好地符合实际情况， 必须修改 指数增长模型关于工资增长率是个常数这个基本假设。 模型二：logistic 模型——阻滞增长模型 根据现实情况，分析工资增长到一定数量后增长率会发生变化，客观规律对增长 率起着阻滞的作用，并且随着工资的增加，阻滞作用越来越大，因此我们对模型一进 行了改进，建立阻滞增长模型。 阻滞作用体现在对工资增长率的影响上， 使得工资增长率随着工资数量 g 的增加 而下降，若将工资增长率表示为 g 的函数 r (g ) ，则它应是减函数，于是可得方程：
dg = r ( g )
g , g ( 0) = g 0 dt
对 r (t ) 的一个最简单的假设是，设 b(t ) 为 t 的线性函数，即
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r ( g ) = r − st (r , s > 0)
这里 r 称为固有增长率，表示工资很少时（理论上是 g =0）的增长率，为了确定 系数 s 的意义，引入了所能容纳的最大工资 g m ，当 g = g m 时工资不再增长，即增长率 r ( g m ) =0，代入上式可得 s = r gm ，于是 r ( g ) = r (1 − g
gm
) ，所以可得如下表达式：
dg g = rg (1 − ) dt gm
通过分离变量法求解得到：
g (t ) = gm
g 1 + m − 1e −rt g 0
运用 matlab 求解得：
g m = 108396
[3]
同时运用 matlab 软件对该模型进行拟合，具体情况如图 2 所示
图 2 阻滞增长模型 g-t 图像 可以看出增长率 r (g ) 是随着平均工资 g 的变化而变化的，随着 t → ∞ ，
g → gm 5.1.2 模型的检验： ：
利用附件 1 的原始数据和方程
dg g = rg (1 − ) 作出如下计算： dt gm
g (t ) = g (t − 1) + ∆g (t ) = g (t − 1) + rg (t − 1)[1 − g (t − 1) / 108396]
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中山火炬职业技术学院 将各数据代入，得到 logistic 模型的误差情况，如表 3 所示： 表 3 模型误差率 年份 年平均工资 模拟的年平均工资 误差率 1978 566 594.15 4.97% 1979 632 663.42 4.97% 1980 745 781.99 4.97% 1981 755 792.49 4.97% 1982 769 807.18 4.96% 1983 789 828.16 4.96% 1984 985 1033.80 4.95% 1985 1110 1164.93 4.95% 1986 1313 1377.85 4.94% 1987 1428 1498.46 4.93% 1988 1782 1869.64 4.92% 1989 1920 2014.30 4.91% 1990 2150 2255.37 4.90% 1991 2292 2404.18 4.89% 1992 2601 2727.93 4.88% 1993 3149 3301.88 4.85% 1994 4338 4546.22 4.80% 1995 5145 5390.04 4.76% 1996 5809 6083.88 4.73% 1997 6241 6535.08 4.71% 1998 6854 7175.03 4.68% 1999 7656 8011.76 4.65% 2000 8772 9175.11 4.60% 2001 10007 10461.16 4.54% 2002 11374 11883.03 4.48% 2003 12567 13122.50 4.42% 2004 14332 14953.85 4.34% 2005 16614 17317.38 4.23% 2006 19228 20018.86 4.11% 2007 22844 23745.49 3.95% 2008 26404 27402.61 3.78% 2009 29688 30765.85 3.63% 2010 32074 33203.17 3.52% 可以看出， 此模型预测的年均工资与实际年均工资的误差率在 3.52%到 4.97%之间， 模型是比较满意的。 运用此模型计算出 2011 年至 2035 年山东省职工的年平均工资如表 2 所示：
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中山火炬职业技术学院 表 2 logistic 模型预测 2011 年到 2035 人均工资 年平均工资 月平均工资 年份 年平均工资 月平均工资 33410 2784.17 2031 94090 7840.83 36600 3050 2032 95680 7973.33 39930 3327.5 2033 97110 8092.5 43380 3615 2034 98400 8200 46930 3910.83 2035 99560 8296.67 50540 4211.67 2036 100600 8708.45 54180 4515 2037 101500 9132.66 57820 4818.33 2038 102300 9569.68 61430 5119.17 2039 103100 10019.89 64970 5414.17 2040 103700 10483.69 68430 5702.5 2041 104300 10961.48 74760 6230 2042 104800 11453.69 74950 6245.83 2043 105200 11960.74 77980 6498.33 2044 105600 12483.08 80840 6736.67 2045 105900 13021.17
83510 6959.17 2046 106300 13575.49 86000 7166.67 2047 106500 14146.51 88290 7357.5 2048 106700 14734.75 90400 7533.33 2049 107000 15340.71 92330 7694.17 2050 107100 15964.93
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030
5.2 问题二 根据附件 3 可知，能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资”指标的计算公式 为：
c c c x1 × 1 + x2 × 1 +L+ xm × 1 c1 c2 cm S= n
即
x x1 x2 + ... + m + c c2 cm s = c1 1 n x x1 x2 + + ... + m c c2 cm 因为 1 n 为平均缴费指数，根据题目要求，用 2009 年该企业平均缴费指
数代表平均缴费指数，可得“本人指数化月平均缴费工资”函数表达式为 s = c1λ 2009
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中山火炬职业技术学院 根据附件 2 的数据，可以得出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资 之比如表 4 所示： 表 4 各年龄段的缴费指数值 各年龄段职工 职工缴费指数的参考值 20-24 岁职工数 0.67 25-29 岁职工数 0.80 30-34 岁职工数 0.98 35-39 岁职工数 1.07 40-44 岁职工数 1.17 45-49 岁职工数 1.27 50-54 岁职工数 1.21 55-59 岁职工数 1.16 运用 excel 可以求出企业职工自 2000 年分别从 30 岁、 岁开始缴养老保险， 40 一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁）各种情况下的养老金替代率，具体数据如 表 5 所示： 表 5 养老金替代率 30 岁开始缴纳养老金 40 岁开始缴纳养老金 退休年龄 55 岁 60 岁 65 岁 55 岁 60 岁 65 岁 个人账户养老金 655.92 980.2 1378.38 224.14 493.71 1104.03 养老金 2323.25 3265.36 4253.17 861.21 1669.67 2933.04 替代率 0.35 0.43 0.52 0.19 0.26 0.37 由表 5 可以看出，当开始缴纳养老保险年龄相同时，退休越晚，替代率越高；当退休年 龄不变时，开始缴纳养老保险越早，替代率越高：但都没有达到我国未来基本养老保险 的目标替代率 58.5%。 5.3 问题三 5.3.1 模型建立与求解 缴存的养老保险基金与每年领取的养老金的总和的差为该职工养老保险基金的 收支差，当养老保险基金的收支差为负数时，即出现缺口。 其缴存的养老保险基金 J 由两部分组成：
J = qt + s
q t = 8% Z1 + (1 + 3%)qt −1
s = 20% Z
由以上两个问题的结论，可得各年份的年均工资，个人账户储存额。将数据代入上 式，运用 excel 进行运算，可得该职工每年缴存的养老保险基金如表 6 所示：
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中山火炬职业技术学院 表 6 每年缴存的养老保险基金表 社会统筹基金 社会统筹基金 年份 个人账户储存额 年份 个人账户储存额 账户 账户 2000 701.76 2193 2026 121533.05 288391 2001 1523.37 4694.75 2027 132059.04 309891 2002 2478.99 7538.25 2028 143084.02 331963.5 2003 3558.72 10680 2029 154608.54 354563.5 2004 4812.05 14263 2030 166633.19 377646 2
005 6285.53 18416.5 2031 179159.39 401168.5 2006 8012.33 23223.5 2032 192188.57 425088.5 2007 10080.22 28934.5 2033 205723.03 449366 2008 12494.95 35535.5 2034 219766.72 473966 2009 15244.84 42957.5 2035 234324.52 498856 2010 18268.1 50976 2036 249402.26 524006 2011 21488.95 59328.5 2037 265004.32 549381 2012 25061.61 68478.5 2038 281138.45 574956 2013 29007.86 78461 2039 297820.61 600731 2014 33348.5 89306 2040 315051.22 626656 2015 38103.35 101038.5 2041 332846.76 652731 2016 43289.65 113673.5 2042 351216.16 678931 2017 48922.74 127218.5 2043 370168.65 705231 2018 55016.03 141673.5 2044 389721.71 731631 2019 61580.91 157031 2045 409885.36 758106 2020 68625.93 173273.5 2046 430685.92 784681 2021 76159.11 190381 2047 452126.5 811306 2022 84424.69 209071 2048 474226.29 837981 2023 92953.43 227808.5 2049 497013.08 864731 2024 101980.43 247303.5 2050 520491.47 891506 2025 111507.04 267513.5 由表 6 得出 55 岁， 岁， 岁退休时， 60 65 其缴存的养老保险基金分别为 379020.54 元、544279.19 元、733180.52 元， 运用 excel 分别求得 55 岁，60 岁，65 岁退休时每月所领工资如表 7，表 8，表 9 所示： 表 7 55 岁退休每月所领工资表 年份 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 2026 110851.12 2374.46 2027 113505.02 2441.43 2028 116222.47 2504.64 2029 119004.97 2564.53 2030 121854.09 2621.10 2031 124771.42 2674.56 2032 127758.59 2724.92 2033 130817.29 2772.41
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中山火炬职业技术学院 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 133949.21 137156.11 140439.79 143802.08 147244.87 150770.09 154379.70 158075.73 161860.25 165735.37 169703.27 173766.17 2817.44 2860.23 2900.99 2939.33 2976.08 3013.32 3046.93 3081.04 3113.62 3144.66 3176.25 3206.34
年份 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045
表 8 60 岁退休每月所领工资 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 165434.39 3518.90 169171.54 3585.14 172993.12 3648.03 176901.02 3708.07 180897.20 3765.53 184983.65 3820.67 189162.42 3873.01 193435.59 3923.55 197805.28 3974.78 202273.69 4021.78 206843.04 4069.50 211515.61 4115.50 216293.73 4159.77 221179.79 4204.82 226176.23 4248.19 表 9 65 岁退休每月所领工资 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 232004.47 5224.87 236598.62 5400.14 241283.74 5577.72 246061.64 5760.56 250934.15 5943.06 255903.14 6130.98 260970.53 6321.61 266138.26 6515.04 271408.33 6714.24 276782.75 6916.49
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年份 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045
中山火炬职业技术学院 该职工从退休开始一直领取养老金，直至 75 岁，所以可得 领养老金总额=退休后每月所领养老金总和 再由表 7，表 8，表 9 分别可以求出其从 55 岁、60 岁、65 岁退休后所领养老金分 别为 683451.35 元、703646.88 元、726056.50 元。 在 55 岁退休时出现收支差， 其缺口为 304430.80 元， 60 岁时退休时出现收支 在 差， 其缺口为 159367.69 元
， 65 岁退休时收支差为 7124.02 元没出现缺口.其所缴 在 存的基金仍有剩余。 由以上数据可得缴存的养老基金与其每年领取的养老金。将缴存的养老基金逐 次减去历年领取的养老金，通过计算，当出现负值时，可得知该职工领取养老金到 多少岁时，其缴存的养老基金与其领取的养老金相等，即养老保险基金收支平衡。 55 岁退休时，该职工领取养老金到 2042 年即在他 72 岁时，其缴存的养老基金 与其领取的养老金之间达到平衡。 60 岁退休时，该职工领取养老金到 2039 年即在他 69 岁时，其缴存的养老基金 与其领取的养老金之间达到平衡。 65 岁退休时，该职工领取养老金到 2045 年即在他 75 岁时，其缴存的养老基金 大于其领取的养老金。 5.4 问题四 如何能够既达到目标替代率， 又能维持养老保险基金收支平衡是完善我国养老保险 制度的一个核心问题，根据以上三个问题的分析结果，针对企业退休职工养老金制度的 改革提出如下措施： 1．提高退休年龄，降低当期支付规模。 由问题二的结论可知，退休年龄是影响养老保险基金负担水平的一个基本因素。一 般在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，退休年龄提高，则平均享受养老金年限就 缩短，养老保险基金负担就能降低。 2 保持较高水平的收缴率是稳定养老保险制度的重要条件之一。 我国养老保险制度实际运行情况表明， 企业普遍存在逃避缴纳和欠缴养老保险费的 动机，在经营状况不好的时候，逃缴和欠缴养老保险费的情况更是难以避免。这样，势 必对基金的收支平衡产生负面影响。 3．扩大参保人数的覆盖面。 目前， 城市中实际参保人员与实际退休享受退休金待遇人员的负担比很低， 只有不 断扩大实际参保并缴纳保险费人员的覆盖面，扩大当期实际保费的收缴水平，才能从根 本上解决基金不足的问题。 4．对养老保险基金进行有效运营使之保值增值。 既安全又高效地管理和运营养老保险基金， 无论对于保证养老金定额支付需求， 还 是对于提高经济效益，促进国家经济发展，都是非常重要的。 5．加强养老保险法制建设。进一步完善规范养老保险基金管理条例。
六、模型的改进与推广
6.1 模型的改进 在模型中要求职工的工资是山东省的职工平均工资，但为了满足该条件，对职工要 求比较苛刻，根据中国的情况，经常是一个亿带着几千个千的组成的平均工资，人人都 是年均十万的高薪白领了，这情况不太符合现实情况，如果选取的职工的工资水平按不 同工资段来算，会大大增加模型的说服力，而且能够比较符合实际情况。
12
中山火炬职业技术学院 6.2 模型的推广 仅仅
是从经济方面考虑年均工资的增长率有很大的局限性，工资的增长率与人文， 体制改革[4]着密切的联系，比如十四届三中全会掀起的经济领域更多方面的改革，如财 税、金融、外贸、投资、物价、产权等体制在目前已经发生重大改革，这些都将会使国 家经济更快发展，国民的平均工资增长。 参考文献 [1] 姜启源，数学模型（第四版） ，高等教育出版社，2011 年 [2] 胡晓冬，MATLAB 从入门到精通，人民邮电出版社，2011 年 [3] 何青、王丽芬, Maple 教程, 科学出版社,2006 年 [4] 杜志峰，阻碍中国经济发展的的十个制约因素 http://www.csscipaper.com/eco/marketeconomy/49122.html，2011-9-10.
13
附 录 附录 1：运用 maple 拟合指数模型 > restart; > with(stats); > with(statplots); >x1:=[1978,1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991 ,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006 ,2007,2008,2009,2010]; >y1:=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3 149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228, 22844,26404,29688,32074]; > scatterplot(x1,y1,color=black); > g:=x->ln(x); > y2:=evalf(map(g,y1)); > with(fit); > leastsquare[[x,y],y=a+b*x,{a,b}]([x1,y2]); > eq:=ln(a)=-254.6316339; > solve(eq,a); > y:=.2599479993e-110*exp(.1318520134*x); > plot(y,x=1978..2010);
附录 2：运用 matlab 拟合阻滞模型 clear; clc; x=1978:1:2010; y=[0.566,0.632,0.745,0.755,0.769,0.789,0.985,1.110,1.313,1.428,1.782,1.920, 2.150,2.292,2.601,3.149,4.338,5.145,5.809,6.241,6.854,7.656,8.772,10.007,11 .374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074]; plot(x,y,'*'); a0=[0.0001,0.02]; a=lsqcurvefit('gun',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); xi=1978:1:2050; yi=gun(a,xi); hold on; grid on; plot(xi,yi); x1=2050; y1=gun(a,x1) hold off xlabel('年份'); ylabel('平均工资/千元');
function py=gun(a,t) py=-a(1)./(exp(a(1)*((1978*a(2) + log(1 - a(1)/0.566))/a(1) - (a(2)*t)/a(1))) - 1) dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(1978)=0.566') ans = -xm/(exp(xm*((1978*r + log(1 - xm/0.566))/xm - (r*t)/xm)) - 1)
附 件
附件一
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 平均工资 566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074
附件二
年龄段 20-24 岁职工数 25-29 岁职工数 30-34 岁职工数 35-39 岁职工数 40-44 岁职工数 45-49 岁职工数 50-54 岁职工数 55-59 岁职工数 月收入范围（元） 1000-1499 74 36 0 0 0 0 0 0 1500-1999 165 82 32 11 0 3 7 6 2000-2499 26 94 83 74 43 32 23 17 2500-2999 16 42 95 83 86 32 29 27 3000-3499 1 6 24 36 55 64 44 37 3500-3999 0 3 6 16 21 41 21 7 4000-4999 0 0 2 4 13 18 8 7 5000-8000 0 0 0 2 3 4 3 0
附
件二
养老金的计算办法
参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年 龄，实际缴费年限满 15 年以上的，按月计发基本养老金。 按照 2005 年颁布的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》和《百 度百科：养老金》（http://baike.baidu.com/view/407916.htm）等材料，可以得到 养老金的如下计算方法： 职工退休时的养老金由两部分组成： 养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一） 基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资） ÷2×缴费年限×1% 本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴 费指数 能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”指标的计算公式为： x1 × S= c1 c c + x2 × 1 + L + xm × 1 c1 c2 cm n
(1)
公式(1)中， x1 , x2 ,K , xm 为参保人员退休前 1 年、2 年、……、 m 年本人缴费工 资额； c1 , c2 ,K , cm 为参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年全国/省/地市“职工平 均工资”或称“社会平均工资”； n 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数 合计（可以简单认为等于 12 m， m 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。
xi 称为退休前第 i 年的缴费指数， i=1,…,m. ci
参保人员 i 年度的本人缴费工资 xi 通过工资指数
c1 c 得到指数化缴费工资 xi × 1 ，从 ci ci
而使各年度不可比的 xi 换算为相当于参保人员退休前 1 年社会平均工资 c1 水平的、可比 的各年度指数化缴费工资 xi ×
c1 c ，各年度指数化缴费工资 xi × 1 加总再除以参保人员实 ci ci
际缴费月数和 n，进而得到本人指数化月平均缴费工资 S。由此，该指标能够反映参保 人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。
表一： 表一：个人账户养老金计发月数表 退休年龄 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 计发月数 233 230 226 223 220 216 212 208 204 199 195 190 185 180 175 170 退休年龄 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 计发月数 164 158 152 145 139 132 125 117 109 101 93 84 75 65 56
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2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011 年 3830
C
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9 月
12 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ：
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2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用） ： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号） ：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） ：
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企业退休职工养老金制度的改革
摘 要
养老金也称退休金， 是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的 资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 本文利用题目中提供的数据及相关信息，结合我国养老保险改革过渡时间的现状， 分别对四个问题进行了建模，求解，阐述。 针对问题一，建立了两个预测模型。 模型一：由山东省历年的职工年平均工资，建立了山东省职工的年平均工资的指数 增长模型，运用 maple 拟合求解，求得山东省职工的年平均工资在一定的理想条件下持 续增长，到 2013 年,2015 年分别为 48361 元和 62954 元，具有较好的短期预测效果，操 作简单，适合于短期预测，但是长期来看，工资收入不可能无限增长，即指数模型不能 描述、也不能预测较长时期的工资情况，这是因为工资增长率事实上是在不断地变化着 的，排除灾难战争等特殊时期，受经济发展等因素影响，经济增长到一定程度，工资增 长就会慢下来，即工资的增长率变小。因此，该模型中长期预测效果不佳。 模型二：基于 Logistic 模型，从瓶颈制约，理论制约，体制改革等因
素出发，建 立了含有阻滞因素的微分方程模型。综合考虑上述因素，利用 matlab 编程对模型进行 数据拟合并求解。经检验，与实际数据误差较小，说明该模型是可以用来预测较长时期 的工资情况的。 本文运用该模型对山东省 2011 年到 2035 年的职工的年平均工资进行了 预测。 针对问题二，根据问题一的结论及附件 2 和附件 3 的数据，运用 Excel 求出 2009 年该企业各年龄段的职工缴费指数。进一步，按照替代率的运算公式考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） 各种情况下的养老金替代率，发现在退休年龄不变时，开始缴纳养老保险越早，替代率 越高；在开始缴纳养老保险年龄相同时，退休越晚，替代率越高，但都没有达到我国未 来基本养老保险的目标替代率。 针对问题三，运用问题二的结论，求出了该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴 养老保险，一直缴到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，到 75 岁死亡为止每年领取的养老金额，并计算出退休后每年养老保险基金会收支差，当收支 差为负数时，养老保险基金出现缺口，发现当退休年龄越大，出现缺口的可能性越小， 也就越接近收支平衡。 针对问题四，运用以上三个问题的结论，并结合目前我国养老保险改革正处于过渡 时期的实际情况，即替代率较低，缺口严重，养老保险基金收支失衡的问题，提出了维 持养老保险基金收支平衡的几点建议。 最后对所建模型的推广及改进方向进行了阐述。 关键词：养老金 养老保险基金 Logistic 模型 替代率
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一、问题的提出及重述
1.1 问题的提出 养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保 险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式， 即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人 工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退 休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数） ， 再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养 老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ，作为退休后每个 月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹 账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账
户储存额以银行当时 公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长 又与经济增长相关。近 30 年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家 的经济和工资增长率都较低。 我国经济发展的战略目标， 是要在 21 世纪中叶使我国 人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老 保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险 基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休 前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目 标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支 平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较 难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。 附件 1 是山东省职工历年平均工资数据； 附件 2 是 2009 年山东省某企业各年龄 段职工的工资分布情况，附件 3 是养老金的计算办法。 问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假 ： 设，并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。 问题二： 根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之 ： 比。 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值， 考虑该企业职工自 2000 年起分别 从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各 种情况下的养老金替代率。 问题三：假设该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到 退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养 老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险 基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为 可以采取什么措施。请给出你的理由。
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二、问题的分析
问题一：主要是预测山东省职工的未来24年的年平均工资。在附件1中给出了山东 省1978年至2010年的职工历年年平均工资统计表，一共33组数据。我们计划分别采用指 数模型及Logistic模型来进行拟合，并计算一阶差分，根据不同模型的拟合情况和差分 值，并与实际情况相结合，选择一个模型对该省2011年至2035年的
职工年平均工资进行 预测，并参与后续模型的计算。 问题二：基础是利用问题一中预测出的全部数据，结合附件2中给出的各种计算公 式，计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。并把这些比值看作职 工缴费指数的参考值，假设该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险， 一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁） ，计算各种情况下的养老金替代率（这里一共有6 种情况需要计算） 。 问题三：我们需要计算两部分，第一部分是缴纳的企业职工的养老保险基金总额， 第二部分是领取的养老金总额。由于缴纳的年份是固定的，如果领取养老金的时间相对 比较长，就容易出现养老金收支难抵的情况。比较收支恰好平衡的年龄，则立即可以知 道到75岁时候，养老金的缺口情况。 问题四：我们认为主要是要增加养老金缴纳的总额，这当然首先需要提高全民的生 活水平和工资水平，并且社会的消费水平也要在恰当合理的水平。否则，工资的相当一 部分缴纳了养老金，就会使得当下的生活产生困难，而缴纳的养老金不足，退休后的生 活就无法得到保证。因此我们认为下面的几个方面值得注意，第一就是继续提高企业离 退休职工，特别是具有高学历的工程技术人员的离退休待遇，并且逐步把这种待遇机制 化。第二，延缓退休年龄。第三，在企业具有年薪的地方，应该拿出一部分来增加退休 职工的工资。平衡企业和事业单位的退休金的差别。第四，在机关和事业单位实行养老 保险改革，是一件复杂的事情。机关人员并不多，有600万，但是科教文卫体、事业单 位多达3100万，如果加上退休人员就超过4000万人，必须慎重、稳妥地加以处理，可以 在有条件的地方先进行试点，逐步积累经验，使整个国家能形成一个规范的养老保险制 度。
三、模型的假设
假设1 附件中提供的数据准确、真实、有效； 假设2 银行的利息率为固定值3%； 假设3 在预测时间内工资水平不会剧烈变化； 假设 4 企业职工的月平均工资增长受其它因素的影响，不能无限增长； 假设 5 在年底缴存养老保险基金； 假设 6 该企业职工的年平均工资等于山东省职工的年平均工资。
四、符号说明
符号 t g (t ) J 说明 年份 山东省某企业月平均工资 缴存的养老保险基金
3
单位 年 元 元
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s
Z
Z
g0
gm
δ
r
E H k w
qx
U
λ
x1 ..x m c1 ..c m
社会统筹基金账户 职工个人工资 职工工资总额 1978 年平均工资 年平均工资最大值 替代率 某企业的工资增长率 表示国家规定的个人账户计发月数 职工退休时养老金 基础养老金 个人账户养老金 个人账户储存额 全省
上年度在岗职工月平均工资 人均缴费指数 参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年本人缴费 工资额 参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年全国/省/ 地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”
元 元 元 元 元
元 元 元 元 元
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 建立模型与求解 模型一：指数增长模型[1] 运用 maple[2]软件对附件 1 中的数据进行拟合（程序见附录 1） ，图像如图 1 所 示。
图 1 指数增长模型 g-t 图像 记 g (t ) 为平均工资，t 为年份，r 为该企业工资增长率， 建立指数增长模型如下：
g (t ) = ae rt
代入附件 1 的数据，得
a = 0.256 ， r = 0.132
4
中山火炬职业技术学院 即指数增长模型为 g (t ) = 0.256e 0.132t ， 运用此模型计算出 2011 到 2035 年的平均工资情况如表 1 所示 表 1 指数模型预测 2011 年到 2035 年平均工资 年平均工资 月平均工资 年份 年平均工资 月平均工资 37151.71 3095.98 2024 206249.36 17187.45 42387.85 3532.32 2025 235318.04 19609.84 48361.97 4030.16 2026 268483.64 22373.64 55178.08 4598.17 2027 306323.58 25526.96 62954.85 5246.24 2028 349496.66 29124.72 71827.67 5985.64 2029 398754.53 33229.54 81951.03 6829.25 2030 454954.78 37912.90 93501.16 7791.76 2031 519075.86 43256.32 106679.17 8889.93 2032 592234.13 49352.84 121714.47 10142.87 2033 675703.29 56308.61 138868.84 11572.40 2034 770936.55 64244.71 158440.94 13203.41 2035 879591.94 73299.33 180771.52 15064.29
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
显然，这个公式的基本条件是年增长率 b 保持不变。但是长期来看，任何地区的 工资都不可能无限增长， 即指数模型不能描述、 也不能预测较长时期的工资变化过程。 这是因为工资增长率事实上是在不断变化着，排除金融危机，灾难、战乱等特殊时期， 一般来说，当工资增长到一定程度，增长就会慢下来，即增长率会变小。如果用一个 平均的工资增长率计算某企业内的工资，即用指数增长模型描述某企业的工资变化， 从表 1 中可发现工资会无限的增大，与现实情况的实际数据相差很大。 所以， 为了使某企业的工资预报特别是长期预报更好地符合实际情况， 必须修改 指数增长模型关于工资增长率是个常数这个基本假设。 模型二：logistic 模型——阻滞增长模型 根据现实情况，分析工资增长到一定数量后增长率会发生变化，客观规律对增长 率起着阻滞的作用，并且随着工资的增加，阻滞作用越来越大，因此我们对模型一进 行了改进，建立阻滞增长模型。 阻滞作用体现在对工资增长率的影响上， 使得工资增长率随着工资数量 g 的增加 而下降，若将工资增长率表示为 g 的函数 r (g ) ，则它应是减函数，于是可得方程：
dg = r ( g )
g , g ( 0) = g 0 dt
对 r (t ) 的一个最简单的假设是，设 b(t ) 为 t 的线性函数，即
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r ( g ) = r − st (r , s > 0)
这里 r 称为固有增长率，表示工资很少时（理论上是 g =0）的增长率，为了确定 系数 s 的意义，引入了所能容纳的最大工资 g m ，当 g = g m 时工资不再增长，即增长率 r ( g m ) =0，代入上式可得 s = r gm ，于是 r ( g ) = r (1 − g
gm
) ，所以可得如下表达式：
dg g = rg (1 − ) dt gm
通过分离变量法求解得到：
g (t ) = gm
g 1 + m − 1e −rt g 0
运用 matlab 求解得：
g m = 108396
[3]
同时运用 matlab 软件对该模型进行拟合，具体情况如图 2 所示
图 2 阻滞增长模型 g-t 图像 可以看出增长率 r (g ) 是随着平均工资 g 的变化而变化的，随着 t → ∞ ，
g → gm 5.1.2 模型的检验： ：
利用附件 1 的原始数据和方程
dg g = rg (1 − ) 作出如下计算： dt gm
g (t ) = g (t − 1) + ∆g (t ) = g (t − 1) + rg (t − 1)[1 − g (t − 1) / 108396]
6
中山火炬职业技术学院 将各数据代入，得到 logistic 模型的误差情况，如表 3 所示： 表 3 模型误差率 年份 年平均工资 模拟的年平均工资 误差率 1978 566 594.15 4.97% 1979 632 663.42 4.97% 1980 745 781.99 4.97% 1981 755 792.49 4.97% 1982 769 807.18 4.96% 1983 789 828.16 4.96% 1984 985 1033.80 4.95% 1985 1110 1164.93 4.95% 1986 1313 1377.85 4.94% 1987 1428 1498.46 4.93% 1988 1782 1869.64 4.92% 1989 1920 2014.30 4.91% 1990 2150 2255.37 4.90% 1991 2292 2404.18 4.89% 1992 2601 2727.93 4.88% 1993 3149 3301.88 4.85% 1994 4338 4546.22 4.80% 1995 5145 5390.04 4.76% 1996 5809 6083.88 4.73% 1997 6241 6535.08 4.71% 1998 6854 7175.03 4.68% 1999 7656 8011.76 4.65% 2000 8772 9175.11 4.60% 2001 10007 10461.16 4.54% 2002 11374 11883.03 4.48% 2003 12567 13122.50 4.42% 2004 14332 14953.85 4.34% 2005 16614 17317.38 4.23% 2006 19228 20018.86 4.11% 2007 22844 23745.49 3.95% 2008 26404 27402.61 3.78% 2009 29688 30765.85 3.63% 2010 32074 33203.17 3.52% 可以看出， 此模型预测的年均工资与实际年均工资的误差率在 3.52%到 4.97%之间， 模型是比较满意的。 运用此模型计算出 2011 年至 2035 年山东省职工的年平均工资如表 2 所示：
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中山火炬职业技术学院 表 2 logistic 模型预测 2011 年到 2035 人均工资 年平均工资 月平均工资 年份 年平均工资 月平均工资 33410 2784.17 2031 94090 7840.83 36600 3050 2032 95680 7973.33 39930 3327.5 2033 97110 8092.5 43380 3615 2034 98400 8200 46930 3910.83 2035 99560 8296.67 50540 4211.67 2036 100600 8708.45 54180 4515 2037 101500 9132.66 57820 4818.33 2038 102300 9569.68 61430 5119.17 2039 103100 10019.89 64970 5414.17 2040 103700 10483.69 68430 5702.5 2041 104300 10961.48 74760 6230 2042 104800 11453.69 74950 6245.83 2043 105200 11960.74 77980 6498.33 2044 105600 12483.08 80840 6736.67 2045 105900 13021.17
83510 6959.17 2046 106300 13575.49 86000 7166.67 2047 106500 14146.51 88290 7357.5 2048 106700 14734.75 90400 7533.33 2049 107000 15340.71 92330 7694.17 2050 107100 15964.93
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030
5.2 问题二 根据附件 3 可知，能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资”指标的计算公式 为：
c c c x1 × 1 + x2 × 1 +L+ xm × 1 c1 c2 cm S= n
即
x x1 x2 + ... + m + c c2 cm s = c1 1 n x x1 x2 + + ... + m c c2 cm 因为 1 n 为平均缴费指数，根据题目要求，用 2009 年该企业平均缴费指
数代表平均缴费指数，可得“本人指数化月平均缴费工资”函数表达式为 s = c1λ 2009
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中山火炬职业技术学院 根据附件 2 的数据，可以得出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资 之比如表 4 所示： 表 4 各年龄段的缴费指数值 各年龄段职工 职工缴费指数的参考值 20-24 岁职工数 0.67 25-29 岁职工数 0.80 30-34 岁职工数 0.98 35-39 岁职工数 1.07 40-44 岁职工数 1.17 45-49 岁职工数 1.27 50-54 岁职工数 1.21 55-59 岁职工数 1.16 运用 excel 可以求出企业职工自 2000 年分别从 30 岁、 岁开始缴养老保险， 40 一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁）各种情况下的养老金替代率，具体数据如 表 5 所示： 表 5 养老金替代率 30 岁开始缴纳养老金 40 岁开始缴纳养老金 退休年龄 55 岁 60 岁 65 岁 55 岁 60 岁 65 岁 个人账户养老金 655.92 980.2 1378.38 224.14 493.71 1104.03 养老金 2323.25 3265.36 4253.17 861.21 1669.67 2933.04 替代率 0.35 0.43 0.52 0.19 0.26 0.37 由表 5 可以看出，当开始缴纳养老保险年龄相同时，退休越晚，替代率越高；当退休年 龄不变时，开始缴纳养老保险越早，替代率越高：但都没有达到我国未来基本养老保险 的目标替代率 58.5%。 5.3 问题三 5.3.1 模型建立与求解 缴存的养老保险基金与每年领取的养老金的总和的差为该职工养老保险基金的 收支差，当养老保险基金的收支差为负数时，即出现缺口。 其缴存的养老保险基金 J 由两部分组成：
J = qt + s
q t = 8% Z1 + (1 + 3%)qt −1
s = 20% Z
由以上两个问题的结论，可得各年份的年均工资，个人账户储存额。将数据代入上 式，运用 excel 进行运算，可得该职工每年缴存的养老保险基金如表 6 所示：
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中山火炬职业技术学院 表 6 每年缴存的养老保险基金表 社会统筹基金 社会统筹基金 年份 个人账户储存额 年份 个人账户储存额 账户 账户 2000 701.76 2193 2026 121533.05 288391 2001 1523.37 4694.75 2027 132059.04 309891 2002 2478.99 7538.25 2028 143084.02 331963.5 2003 3558.72 10680 2029 154608.54 354563.5 2004 4812.05 14263 2030 166633.19 377646 2
005 6285.53 18416.5 2031 179159.39 401168.5 2006 8012.33 23223.5 2032 192188.57 425088.5 2007 10080.22 28934.5 2033 205723.03 449366 2008 12494.95 35535.5 2034 219766.72 473966 2009 15244.84 42957.5 2035 234324.52 498856 2010 18268.1 50976 2036 249402.26 524006 2011 21488.95 59328.5 2037 265004.32 549381 2012 25061.61 68478.5 2038 281138.45 574956 2013 29007.86 78461 2039 297820.61 600731 2014 33348.5 89306 2040 315051.22 626656 2015 38103.35 101038.5 2041 332846.76 652731 2016 43289.65 113673.5 2042 351216.16 678931 2017 48922.74 127218.5 2043 370168.65 705231 2018 55016.03 141673.5 2044 389721.71 731631 2019 61580.91 157031 2045 409885.36 758106 2020 68625.93 173273.5 2046 430685.92 784681 2021 76159.11 190381 2047 452126.5 811306 2022 84424.69 209071 2048 474226.29 837981 2023 92953.43 227808.5 2049 497013.08 864731 2024 101980.43 247303.5 2050 520491.47 891506 2025 111507.04 267513.5 由表 6 得出 55 岁， 岁， 岁退休时， 60 65 其缴存的养老保险基金分别为 379020.54 元、544279.19 元、733180.52 元， 运用 excel 分别求得 55 岁，60 岁，65 岁退休时每月所领工资如表 7，表 8，表 9 所示： 表 7 55 岁退休每月所领工资表 年份 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 2026 110851.12 2374.46 2027 113505.02 2441.43 2028 116222.47 2504.64 2029 119004.97 2564.53 2030 121854.09 2621.10 2031 124771.42 2674.56 2032 127758.59 2724.92 2033 130817.29 2772.41
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中山火炬职业技术学院 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 133949.21 137156.11 140439.79 143802.08 147244.87 150770.09 154379.70 158075.73 161860.25 165735.37 169703.27 173766.17 2817.44 2860.23 2900.99 2939.33 2976.08 3013.32 3046.93 3081.04 3113.62 3144.66 3176.25 3206.34
年份 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045
表 8 60 岁退休每月所领工资 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 165434.39 3518.90 169171.54 3585.14 172993.12 3648.03 176901.02 3708.07 180897.20 3765.53 184983.65 3820.67 189162.42 3873.01 193435.59 3923.55 197805.28 3974.78 202273.69 4021.78 206843.04 4069.50 211515.61 4115.50 216293.73 4159.77 221179.79 4204.82 226176.23 4248.19 表 9 65 岁退休每月所领工资 剩余的个人账户储存额 每月领取的养老金 232004.47 5224.87 236598.62 5400.14 241283.74 5577.72 246061.64 5760.56 250934.15 5943.06 255903.14 6130.98 260970.53 6321.61 266138.26 6515.04 271408.33 6714.24 276782.75 6916.49
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年份 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045
中山火炬职业技术学院 该职工从退休开始一直领取养老金，直至 75 岁，所以可得 领养老金总额=退休后每月所领养老金总和 再由表 7，表 8，表 9 分别可以求出其从 55 岁、60 岁、65 岁退休后所领养老金分 别为 683451.35 元、703646.88 元、726056.50 元。 在 55 岁退休时出现收支差， 其缺口为 304430.80 元， 60 岁时退休时出现收支 在 差， 其缺口为 159367.69 元
， 65 岁退休时收支差为 7124.02 元没出现缺口.其所缴 在 存的基金仍有剩余。 由以上数据可得缴存的养老基金与其每年领取的养老金。将缴存的养老基金逐 次减去历年领取的养老金，通过计算，当出现负值时，可得知该职工领取养老金到 多少岁时，其缴存的养老基金与其领取的养老金相等，即养老保险基金收支平衡。 55 岁退休时，该职工领取养老金到 2042 年即在他 72 岁时，其缴存的养老基金 与其领取的养老金之间达到平衡。 60 岁退休时，该职工领取养老金到 2039 年即在他 69 岁时，其缴存的养老基金 与其领取的养老金之间达到平衡。 65 岁退休时，该职工领取养老金到 2045 年即在他 75 岁时，其缴存的养老基金 大于其领取的养老金。 5.4 问题四 如何能够既达到目标替代率， 又能维持养老保险基金收支平衡是完善我国养老保险 制度的一个核心问题，根据以上三个问题的分析结果，针对企业退休职工养老金制度的 改革提出如下措施： 1．提高退休年龄，降低当期支付规模。 由问题二的结论可知，退休年龄是影响养老保险基金负担水平的一个基本因素。一 般在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，退休年龄提高，则平均享受养老金年限就 缩短，养老保险基金负担就能降低。 2 保持较高水平的收缴率是稳定养老保险制度的重要条件之一。 我国养老保险制度实际运行情况表明， 企业普遍存在逃避缴纳和欠缴养老保险费的 动机，在经营状况不好的时候，逃缴和欠缴养老保险费的情况更是难以避免。这样，势 必对基金的收支平衡产生负面影响。 3．扩大参保人数的覆盖面。 目前， 城市中实际参保人员与实际退休享受退休金待遇人员的负担比很低， 只有不 断扩大实际参保并缴纳保险费人员的覆盖面，扩大当期实际保费的收缴水平，才能从根 本上解决基金不足的问题。 4．对养老保险基金进行有效运营使之保值增值。 既安全又高效地管理和运营养老保险基金， 无论对于保证养老金定额支付需求， 还 是对于提高经济效益，促进国家经济发展，都是非常重要的。 5．加强养老保险法制建设。进一步完善规范养老保险基金管理条例。
六、模型的改进与推广
6.1 模型的改进 在模型中要求职工的工资是山东省的职工平均工资，但为了满足该条件，对职工要 求比较苛刻，根据中国的情况，经常是一个亿带着几千个千的组成的平均工资，人人都 是年均十万的高薪白领了，这情况不太符合现实情况，如果选取的职工的工资水平按不 同工资段来算，会大大增加模型的说服力，而且能够比较符合实际情况。
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中山火炬职业技术学院 6.2 模型的推广 仅仅
是从经济方面考虑年均工资的增长率有很大的局限性，工资的增长率与人文， 体制改革[4]着密切的联系，比如十四届三中全会掀起的经济领域更多方面的改革，如财 税、金融、外贸、投资、物价、产权等体制在目前已经发生重大改革，这些都将会使国 家经济更快发展，国民的平均工资增长。 参考文献 [1] 姜启源，数学模型（第四版） ，高等教育出版社，2011 年 [2] 胡晓冬，MATLAB 从入门到精通，人民邮电出版社，2011 年 [3] 何青、王丽芬, Maple 教程, 科学出版社,2006 年 [4] 杜志峰，阻碍中国经济发展的的十个制约因素 http://www.csscipaper.com/eco/marketeconomy/49122.html，2011-9-10.
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附 录 附录 1：运用 maple 拟合指数模型 > restart; > with(stats); > with(statplots); >x1:=[1978,1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991 ,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006 ,2007,2008,2009,2010]; >y1:=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3 149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228, 22844,26404,29688,32074]; > scatterplot(x1,y1,color=black); > g:=x->ln(x); > y2:=evalf(map(g,y1)); > with(fit); > leastsquare[[x,y],y=a+b*x,{a,b}]([x1,y2]); > eq:=ln(a)=-254.6316339; > solve(eq,a); > y:=.2599479993e-110*exp(.1318520134*x); > plot(y,x=1978..2010);
附录 2：运用 matlab 拟合阻滞模型 clear; clc; x=1978:1:2010; y=[0.566,0.632,0.745,0.755,0.769,0.789,0.985,1.110,1.313,1.428,1.782,1.920, 2.150,2.292,2.601,3.149,4.338,5.145,5.809,6.241,6.854,7.656,8.772,10.007,11 .374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074]; plot(x,y,'*'); a0=[0.0001,0.02]; a=lsqcurvefit('gun',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); xi=1978:1:2050; yi=gun(a,xi); hold on; grid on; plot(xi,yi); x1=2050; y1=gun(a,x1) hold off xlabel('年份'); ylabel('平均工资/千元');
function py=gun(a,t) py=-a(1)./(exp(a(1)*((1978*a(2) + log(1 - a(1)/0.566))/a(1) - (a(2)*t)/a(1))) - 1) dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(1978)=0.566') ans = -xm/(exp(xm*((1978*r + log(1 - xm/0.566))/xm - (r*t)/xm)) - 1)
附 件
附件一
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 平均工资 566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074
附件二
年龄段 20-24 岁职工数 25-29 岁职工数 30-34 岁职工数 35-39 岁职工数 40-44 岁职工数 45-49 岁职工数 50-54 岁职工数 55-59 岁职工数 月收入范围（元） 1000-1499 74 36 0 0 0 0 0 0 1500-1999 165 82 32 11 0 3 7 6 2000-2499 26 94 83 74 43 32 23 17 2500-2999 16 42 95 83 86 32 29 27 3000-3499 1 6 24 36 55 64 44 37 3500-3999 0 3 6 16 21 41 21 7 4000-4999 0 0 2 4 13 18 8 7 5000-8000 0 0 0 2 3 4 3 0
附
件二
养老金的计算办法
参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年 龄，实际缴费年限满 15 年以上的，按月计发基本养老金。 按照 2005 年颁布的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》和《百 度百科：养老金》（http://baike.baidu.com/view/407916.htm）等材料，可以得到 养老金的如下计算方法： 职工退休时的养老金由两部分组成： 养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一） 基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资） ÷2×缴费年限×1% 本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴 费指数 能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”指标的计算公式为： x1 × S= c1 c c + x2 × 1 + L + xm × 1 c1 c2 cm n
(1)
公式(1)中， x1 , x2 ,K , xm 为参保人员退休前 1 年、2 年、……、 m 年本人缴费工 资额； c1 , c2 ,K , cm 为参保人员退休前 1 年、2 年、……、m 年全国/省/地市“职工平 均工资”或称“社会平均工资”； n 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数 合计（可以简单认为等于 12 m， m 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。
xi 称为退休前第 i 年的缴费指数， i=1,…,m. ci
参保人员 i 年度的本人缴费工资 xi 通过工资指数
c1 c 得到指数化缴费工资 xi × 1 ，从 ci ci
而使各年度不可比的 xi 换算为相当于参保人员退休前 1 年社会平均工资 c1 水平的、可比 的各年度指数化缴费工资 xi ×
c1 c ，各年度指数化缴费工资 xi × 1 加总再除以参保人员实 ci ci
际缴费月数和 n，进而得到本人指数化月平均缴费工资 S。由此，该指标能够反映参保 人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。
表一： 表一：个人账户养老金计发月数表 退休年龄 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 计发月数 233 230 226 223 220 216 212 208 204 199 195 190 185 180 175 170 退休年龄 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 计发月数 164 158 152 145 139 132 125 117 109 101 93 84 75 65 56