解直角三角形及其应用
知识精要
一 解直角三角形
1. 直角三角形角的关系∠A +∠B=90° 2. 直角三角形边的关系a 2+b 2=c 2 3. 直角三角形边角的关系
tan A =cot B =
a b
, tan B =cot A =
b a
5. 在△ABC 中，AB=c，AC=b 则S ∆A B C =
12
bc sin ∠B A C
m
cot C -cot ∠A D B
6. 如图，若∠CAB=90°，CD=m, 则AB=
B
二 解直角三角形的应用问题经常接触到的名称 1. 坡度 2. 仰角和俯角 3. 方位角
C D A
一 填空
1. 在R t △ABC 中，∠C=90°,CD ⊥AB 于点D. 如果sin ∠B C D =
13
，则sinA=_______
B D =3
2. 在R t △ABC 中，∠C=90°, 点D 是BC 上一点，∠DAC =30
，若A C =则cosB=________ 3.
已知直线y =
+3与x 轴所夹的锐角为α，则sin α=___________
4. 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，则cosB=________
5. 有一斜坡，坡角α=30°，则坡度=___________
6. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为___________米
7. 某人沿坡度i=1:3的山坡走了400米，这时他离地面的铅垂高度为_______米
8. 一水坝的截面是等腰梯形，它的上底为6米，高为3米，坡度i=1:2.5，那么水坝的下底长为________米
9. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长为10米，则这棵树高___________米
10米
10. 一艘船上午9时位于灯塔A 的东北方向，在与灯塔A 相距64海里的B 港出发，向正西方向航行，到10时半恰好在灯塔的正北方向C 处，则此船的速度为________海里/时
11. 飞机在离地面180千米的上空飞行，地面上的雷达测出仰角为30°，则雷达与飞机的距离为__________千米
12. R t △ABC 中，一锐角的正切值为0.75，此三角形的周长为24，则此三角形三边长分别为____________
13 一等腰三角形的腰长为20
，面积为，则此等腰三角形底角的正弦值为_________
二 选择
1. R t △ABC 中，∠C=90°, 则下列各式中必成立的是（ ）
A a =c sin A B a =c cos A C a =b tan B D a =c cot B
2. 一段斜坡的坡度是1：2，这段斜坡的坡面长250米，那么下列正确的是（ ） A
这段斜坡的水平宽度为 B
这段斜坡的铅直高度为 C 这段斜坡的坡角为30°
D
5
3. 在高度为h 的房顶P 处看地面上A 点的俯角为α，则P 、A 两点间的距离是（ ） A h sin α B h cos α C
2
h sin α
D
h cos α
4. 在△ABC
中，sin A =, cot B =，则△ABC 是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
5. 如图，楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基之间的水平距离BD=50米，塔高DC 为
3
米，下列结论正确的是（ ）
A 由楼顶望塔顶仰角为60° B由楼顶望塔顶俯角为60° C 由楼顶望塔顶仰角为30° D由楼顶望塔顶俯角为60°
B D
三 解答题
1. 在Rt △ABC 中，∠C =90
，b =A 的平分线
AD=
2. 在Rt △ABC 中，∠C =90 ，sin A =
3. 在Rt △ABC 中，∠C =90 ，sin A +cos A =
4. 在△ABC 中，∠B =30, ∠C =45, BC =2，求△ABC 的面积. （若∠C=135°呢？）
3
, 解此三角形
35
，D 在AC 上，AD=2, tan ∠B D C =
65
, 求BD
75
, 周长为24，求△ABC 各边的长
5. 在钝角三角形ABC 中，∠A 为钝角，AD 为BC 边上的高，已知BD=d, ∠B =α, ∠C =β, 求CD 的长
6. 如图，A D ∥BC, 坡角∠B =30 ，AB=10米，斜坡DC 的坡度i=1:1.4，AD=10米，求
BC 的长
C
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，点D 在AC 上，D E ⊥AB, E为垂足，AE=3, tan ∠D B E =
15
, ∠D B C =45, 求△ABD 的面积
D
8. 在以O 为坐标原点的直角坐标系中，已知A(-4,6),B(-3,-2),求sin ∠ABO
9. 如图，甲乙两幢楼高分别为AB 、CD ，AB ⊥BD,CD ⊥BD. 从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C
的仰角为30°，测得乙楼底部D 的俯角为60°，已知甲楼AB 高24米，求乙楼高CD
B D
10. 如图，从点A 观察一高台CE 上电线杆的顶端D 的仰角为45°，向前走离6米到达点B ，
测得电线杆的顶端D 和杆底E 的仰角分别为60°和30°，求：
（1） 电线杆顶D 距离地面AC 的距离DC （2） 电线杆的高度DE
E
B C
11. 如图，一登山运动员在山脚点A 测得山顶B 的仰角∠CAB=45°，当沿倾斜角为30°的斜
坡前进了100米后，在点D 处测得B 的仰角为60°，求山高BC
A
12. 如图，已知测速站P 到公路l 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车
从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米？并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度
.
O
l
P
13. 如图，某船向正西方向航行，在A 点见某岛C 在北偏西60°处；前进20海里后到B 点，
测得该岛在北偏西30°处. 已知该岛周围15海里有暗礁，如果船继续向正西方向航行，有无触礁危险？
西
解直角三角形及其应用
知识精要
一 解直角三角形
1. 直角三角形角的关系∠A +∠B=90° 2. 直角三角形边的关系a 2+b 2=c 2 3. 直角三角形边角的关系
tan A =cot B =
a b
, tan B =cot A =
b a
5. 在△ABC 中，AB=c，AC=b 则S ∆A B C =
12
bc sin ∠B A C
m
cot C -cot ∠A D B
6. 如图，若∠CAB=90°，CD=m, 则AB=
B
二 解直角三角形的应用问题经常接触到的名称 1. 坡度 2. 仰角和俯角 3. 方位角
C D A
一 填空
1. 在R t △ABC 中，∠C=90°,CD ⊥AB 于点D. 如果sin ∠B C D =
13
，则sinA=_______
B D =3
2. 在R t △ABC 中，∠C=90°, 点D 是BC 上一点，∠DAC =30
，若A C =则cosB=________ 3.
已知直线y =
+3与x 轴所夹的锐角为α，则sin α=___________
4. 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，则cosB=________
5. 有一斜坡，坡角α=30°，则坡度=___________
6. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为___________米
7. 某人沿坡度i=1:3的山坡走了400米，这时他离地面的铅垂高度为_______米
8. 一水坝的截面是等腰梯形，它的上底为6米，高为3米，坡度i=1:2.5，那么水坝的下底长为________米
9. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长为10米，则这棵树高___________米
10米
10. 一艘船上午9时位于灯塔A 的东北方向，在与灯塔A 相距64海里的B 港出发，向正西方向航行，到10时半恰好在灯塔的正北方向C 处，则此船的速度为________海里/时
11. 飞机在离地面180千米的上空飞行，地面上的雷达测出仰角为30°，则雷达与飞机的距离为__________千米
12. R t △ABC 中，一锐角的正切值为0.75，此三角形的周长为24，则此三角形三边长分别为____________
13 一等腰三角形的腰长为20
，面积为，则此等腰三角形底角的正弦值为_________
二 选择
1. R t △ABC 中，∠C=90°, 则下列各式中必成立的是（ ）
A a =c sin A B a =c cos A C a =b tan B D a =c cot B
2. 一段斜坡的坡度是1：2，这段斜坡的坡面长250米，那么下列正确的是（ ） A
这段斜坡的水平宽度为 B
这段斜坡的铅直高度为 C 这段斜坡的坡角为30°
D
5
3. 在高度为h 的房顶P 处看地面上A 点的俯角为α，则P 、A 两点间的距离是（ ） A h sin α B h cos α C
2
h sin α
D
h cos α
4. 在△ABC
中，sin A =, cot B =，则△ABC 是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
5. 如图，楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基之间的水平距离BD=50米，塔高DC 为
3
米，下列结论正确的是（ ）
A 由楼顶望塔顶仰角为60° B由楼顶望塔顶俯角为60° C 由楼顶望塔顶仰角为30° D由楼顶望塔顶俯角为60°
B D
三 解答题
1. 在Rt △ABC 中，∠C =90
，b =A 的平分线
AD=
2. 在Rt △ABC 中，∠C =90 ，sin A =
3. 在Rt △ABC 中，∠C =90 ，sin A +cos A =
4. 在△ABC 中，∠B =30, ∠C =45, BC =2，求△ABC 的面积. （若∠C=135°呢？）
3
, 解此三角形
35
，D 在AC 上，AD=2, tan ∠B D C =
65
, 求BD
75
, 周长为24，求△ABC 各边的长
5. 在钝角三角形ABC 中，∠A 为钝角，AD 为BC 边上的高，已知BD=d, ∠B =α, ∠C =β, 求CD 的长
6. 如图，A D ∥BC, 坡角∠B =30 ，AB=10米，斜坡DC 的坡度i=1:1.4，AD=10米，求
BC 的长
C
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，点D 在AC 上，D E ⊥AB, E为垂足，AE=3, tan ∠D B E =
15
, ∠D B C =45, 求△ABD 的面积
D
8. 在以O 为坐标原点的直角坐标系中，已知A(-4,6),B(-3,-2),求sin ∠ABO
9. 如图，甲乙两幢楼高分别为AB 、CD ，AB ⊥BD,CD ⊥BD. 从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C
的仰角为30°，测得乙楼底部D 的俯角为60°，已知甲楼AB 高24米，求乙楼高CD
B D
10. 如图，从点A 观察一高台CE 上电线杆的顶端D 的仰角为45°，向前走离6米到达点B ，
测得电线杆的顶端D 和杆底E 的仰角分别为60°和30°，求：
（1） 电线杆顶D 距离地面AC 的距离DC （2） 电线杆的高度DE
E
B C
11. 如图，一登山运动员在山脚点A 测得山顶B 的仰角∠CAB=45°，当沿倾斜角为30°的斜
坡前进了100米后，在点D 处测得B 的仰角为60°，求山高BC
A
12. 如图，已知测速站P 到公路l 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车
从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米？并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度
.
O
l
P
13. 如图，某船向正西方向航行，在A 点见某岛C 在北偏西60°处；前进20海里后到B 点，
测得该岛在北偏西30°处. 已知该岛周围15海里有暗礁，如果船继续向正西方向航行，有无触礁危险？
西