河道淤泥堆积简单计算
由于河水在流动中吸纳了沿岸的泥沙，并在河床上沉积，形成河底下的淤泥层，淤泥可以有利于水下植物生根成长，对于生活在河水下方的鱼类意义也同样重大，但是在一些河道的入海口，淤积过多的泥沙会影响河道船只的安全，现有处理淤泥的手段多数还是大型船只的打捞清理，如果可以将河道淤泥沉积与时间的关系找到，一定程度上可以更好的安排处理淤泥的工作时间，可以将成本尽量降到最低。
一、
首先对河水建立理论模型，平静的河水可看做是匀速运动的流体，更理想化可看做整条河整体保持同一速度。
河床上的淤泥是由于河水中携带的泥沙在随河水运动时沉淀下来，逐步积累成一层厚厚的淤泥河床。在此不讨论沙粒一类的可视颗粒，而着眼于形成淤泥的细微颗粒，由于肉眼无法感知每一个粒子的存在，姑且视之为无穷小颗粒。 接下来着重分析此类无穷小颗粒的性质：
①首先由于此类颗粒随河水流动而来，并下沉淤积在河床上，所以其密度较水要大，故有一个向下的力，相似与浑浊的静水发生内部的沉淀一般，故在向下的方向按静水沉淀来计算；
②其次，颗粒具有相对的附着力，当颗粒附着于河床上会与河床之间产生作用力，能够抵抗横向的水流冲击力，而此附着力的计算就以其在一定压力下能够抵抗的最大水流速度来计算，同时颗粒之间也会有附着力，并且此类附着力随着空间中颗粒密度的增大而增大，实际中当颗粒悬浮于水中，其空间密度小，附着力小，自由度高，当淤积沉淀后空间密度大，不容易随河水自由移动，越是压的紧实，淤泥能维持自身状态的时间越长，主要是在压实的块状淤泥的表面上，与河水直接接触的颗粒其空间密度相对较小，最先移动，同时颗粒之间还是存在一定的附着力，表面分离的颗粒会对下一层的颗粒有一定的牵引力，加上空间密度的减小造成附着力的减小，双重作用下块状淤泥逐渐瓦解； ③再者，由于个体颗粒质量非常小，在水流作用下便随之运动，所以在横向上，颗粒的速度可视为水流速度；
④最后，由于颗粒被视为淤泥所具有的最小情况，所以体积不会减少，形状上可以有所变化，包括在空间密度增大下的挤压作用下的变形造成接触面增大，在自由度较高的情况下形状可视为球体，水流对其的作用面可视为球体的大圆面积，并且在所有的挤压中粒子的表面积不会增大。
接下来考虑粒子在河床上的堆积情形，首先是假设河床是水平，粒子自上而下落在河床上，受到横向水流的冲击力，同时又对于河床的附着力做抵抗，其次，水流中的其他粒子运动过程中会与河床上的粒子产生附着力，有可能留在河床上增加淤泥的空间密度，或者将粒子带离河床在后面某处沉积下来。当河床恰好被粒子全部覆盖，之后的计算就完全按照粒子之间的关系考虑，并且随着预计厚度的升高，底部受到的压力也越大，内部的空间密度增大，更加不易受到水流的干扰，而淤泥随着压力升高而发生的体积变化可由实验总结。 二、
对于静水中的粒子而言，只需要考虑上下的作用力，计算运动距离和时间的
关系，这一关系相对而言较为简单，应用普通的力学知识可知，粒子首先受到向下的重力mg与向上的浮力ρVg，在运动中还有随速度ν变化的阻力f,于是有微分方程，
dνm=mg-ρVg-fdt
是可设 ① 将mg-ρVg记作M,其中已知物体在水中受到的阻力与速度平方成正比，又
f=kν2②
结合①，②得
dνm=M-kν2
③ dt
解方程得
ν=
令Me-1mt k1+e2kMmt2kMm为a,接下来对上式左右对t积分，左端即为运动距离l, 2kM
⎰νdt=
1l=a
1=aMeat-1lnb1at,令e=b,t=,dt=k⎰1+eataabMb-11db⎰k1+bbM(1+b)lnkb2
于是得到运动距离与时间的关系
2Mk1+el=lnmeat(at2)④
三、
接下来需要考虑的是淤泥沉积到河床上后由于不断的堆压，下方的粒子会发生一定的形变，以及粒子之间挤压填充之前的缝隙。由此，当一批粒子到达河床
或已经堆积起来后，形成的高度为粒子直径的粒子层在之后的粒子到达产生压力之后，由于粒子之间有着较强的附着力不会轻易滑动，所以可视为粒子层之间的纵向挤压，更为理想化的情形是，每一层的高度是由这一层最高的粒子决定，即每一层堆积的粒子有可能有许多是填充缝隙空间的，但整体高度仍然考虑单一粒子的逐个叠加所达到的高度，并且当淤积到一定厚度的淤泥后，再有粒子堆积到下方的粒子上方时，可以将其下方的淤泥视为粒子不断叠加的结果，这样考虑，是由于填充了缝隙之后，作为整体可视为粒子本身的放大，因此其物理性质与单一粒子相似。
下面就考虑单一粒子逐一叠加的情形，当叠加到一定程度，最下方的空间完全被填满则无法再压缩（当相对于粒子而言空隙仍然较小，则可以认为已经填满，这种情况主要发生在同一横向的粒子之间发生作用力，由于上下受到的力基本相同，横向的作用力同样一致，在底面积固定同时粒子饱和的情况下互相保持平衡，即无法再进行压缩），因此存在一定的上限无法进行压缩，而在未达到上限的时候，可认为粒子保持自由状态，即除了上方的压力外不受其他作用力影响粒子形态。
可以认为粒子自身对一定的压强有抵抗力，即当表面受到的压强达到这样一个数值，粒子不会再发生形变，又粒子在形变中接触面会随着高度的变化而变化，高度是纵向的一维变量，而接触面积是横向的二维变量，同时二者有反比例关系，c可写作S=2,S为接触面积，c为常数，h为高度，粒子可以承受的极限压强为p0，h
粒子受到力的作用发生的高度的变化与中间的过程无关，所以最后的高度h与压力F的关系就为p0=cp0FF2C,并且有=h,于是h=,令cp0为C,即有公式h=ScFF条件C
2≥F≥C2,R为粒子的直径,H为上述达到相互平衡的状态下所具有的高度。 HR
C，λ为粒子的个数，若R2
此时一个粒子上方堆积了n个粒子，对于粒子产生作用的力为nM，
CμM恰好小于等于2,μ为粒子个数， H
1.当n
2.当n>μ,下方的粒子高度均为H；
3.当λ
nM;
因此，在堆积较厚的淤泥中存在三个不同的淤泥层，最上层个数小于λ为粒子高度不发生变化的原层，中间相对应的是渐变层，最下方即为高度不会再发生变化的不变层。由于通常河道底部都已经堆积了较厚的淤泥层，而通常情况下这些不会对航路产生影响，故需要考虑的是在此基础上不断堆积所造成的高度变化与时间的关系，首先要考虑单个粒子堆积对于底层高度的影响，并且有一个显然的结论，处于原层和渐变层的粒子个数在此条件下恒定不变，则得到此时原层的高度为λR,处于渐变层的整体的第i个粒子所具有的高度hi=C,渐变层与原层iM
的总高度为λR+∑hi，可见渐变层与原层的高度不发生变化，当另一粒子堆积
i=λμ-1
下来之后，由于上面两层不变，于是原本渐变层最后一个粒子处于不变层当中，则原本的两层加上一个粒子后的高度为λR+∑hi+H，于是得到新粒子堆积对于
i=λμ-1
原本高度的贡献为H，在此基础上之后堆积上来的n个粒子所产生的高度变化是nH。
四、
假设静水中淤泥均匀分布在水中，因为水中的粒子落下后产生的高度为H，相当于落下的粒子被纳入不变层当中抬高了原有的淤泥层，即水中的粒子全部落下后产生的高度是他们处于不变层是的效果，因此测定水中的淤泥含量选择单位高度的水体中所含有的淤泥在处于不变层时所具有的高度。
测量方法可利用离心机分离水中的淤泥，经过压实后在相应的底面积上测量高度，即得到单位高度的水体中的淤泥含量。假设淤泥含量用η表示，在河道原有基础上再堆积的与你高度不得超过ζ。且默认水体中的淤泥含量大于ζ。
计算多高的水体有这样的淤泥含量，只要求得这样的距离所需的运动时间就得到何时需要清理一次河道，由于考虑到成本问题则要求平均每天所花成本最低的时间。
现有的清理淤泥的手段基本为按立方收费，对于我们的工作而言，工作的面
τ为常系数，平均积一定，则收费标准ϕ=τh，ϕ为花费，h为清理淤泥的厚度，
每天的成本为φ=τh
t，其中h=ηl，l为距离一开始淤泥表面的高度，于是
at2Mk1+eφ==，并且l=lnttmeatτηlωl()2(1+e)=θlneatat2φ对t求导得到式子如下， f(t)=a-a-ln1+eat，通过计算得到， at1+e()
ate1.当a>1,f(t)图像先增后减，在=a-1有最大值-lna,且a>1,则最大值小于
0，即f(t)
aa≤12.当，f(t)为减函数，在t=0时，函数值为2-ln2
综上，f(t)在定义域上恒小于0，即φ是一个减函数，当一次处理的淤泥高度越高成本越低，且我们又高度不能大于ζ，所以成本最低的做法是在淤泥堆积到ζ时进行清理工作。
ζ2M(1+eat)堆积到ζ的高度即水体中距离l=η，代入l=mlneat，有2
(1+eζ=θlnηeat
(1+e)
eatat2at2)=eζθη
接下来解方程得到
⎧⎪(λ-2)+λ2-4λ⎫⎪ln⎨⎬ζ2⎪⎪⎭,λ=eθηt=⎩
a。
上述仅讨论了静水下的淤泥沉积的过程，在动态水中还需考虑水流对于粒子的冲击作用，在实际河道中还需考虑一年四季不同时节的河道水流的变化，一般这种水流的变化为周期性，可用三角函数做近似处理。
此外，在前文的公式中还有许多待测量，诸如假设的淤泥的最小状态的粒子做具有直径以及压缩后的极限高度，但是从最后的结果来看，并没有涉及这些量，需要的有粒子的质量以及在水中向下的加速度，这些量的测量可以通过在纯水中放入已知含量的淤泥液体，测量可知的运动距离与时间的关系，反代入公式中得到系数。
河道淤泥堆积简单计算
由于河水在流动中吸纳了沿岸的泥沙，并在河床上沉积，形成河底下的淤泥层，淤泥可以有利于水下植物生根成长，对于生活在河水下方的鱼类意义也同样重大，但是在一些河道的入海口，淤积过多的泥沙会影响河道船只的安全，现有处理淤泥的手段多数还是大型船只的打捞清理，如果可以将河道淤泥沉积与时间的关系找到，一定程度上可以更好的安排处理淤泥的工作时间，可以将成本尽量降到最低。
一、
首先对河水建立理论模型，平静的河水可看做是匀速运动的流体，更理想化可看做整条河整体保持同一速度。
河床上的淤泥是由于河水中携带的泥沙在随河水运动时沉淀下来，逐步积累成一层厚厚的淤泥河床。在此不讨论沙粒一类的可视颗粒，而着眼于形成淤泥的细微颗粒，由于肉眼无法感知每一个粒子的存在，姑且视之为无穷小颗粒。 接下来着重分析此类无穷小颗粒的性质：
①首先由于此类颗粒随河水流动而来，并下沉淤积在河床上，所以其密度较水要大，故有一个向下的力，相似与浑浊的静水发生内部的沉淀一般，故在向下的方向按静水沉淀来计算；
②其次，颗粒具有相对的附着力，当颗粒附着于河床上会与河床之间产生作用力，能够抵抗横向的水流冲击力，而此附着力的计算就以其在一定压力下能够抵抗的最大水流速度来计算，同时颗粒之间也会有附着力，并且此类附着力随着空间中颗粒密度的增大而增大，实际中当颗粒悬浮于水中，其空间密度小，附着力小，自由度高，当淤积沉淀后空间密度大，不容易随河水自由移动，越是压的紧实，淤泥能维持自身状态的时间越长，主要是在压实的块状淤泥的表面上，与河水直接接触的颗粒其空间密度相对较小，最先移动，同时颗粒之间还是存在一定的附着力，表面分离的颗粒会对下一层的颗粒有一定的牵引力，加上空间密度的减小造成附着力的减小，双重作用下块状淤泥逐渐瓦解； ③再者，由于个体颗粒质量非常小，在水流作用下便随之运动，所以在横向上，颗粒的速度可视为水流速度；
④最后，由于颗粒被视为淤泥所具有的最小情况，所以体积不会减少，形状上可以有所变化，包括在空间密度增大下的挤压作用下的变形造成接触面增大，在自由度较高的情况下形状可视为球体，水流对其的作用面可视为球体的大圆面积，并且在所有的挤压中粒子的表面积不会增大。
接下来考虑粒子在河床上的堆积情形，首先是假设河床是水平，粒子自上而下落在河床上，受到横向水流的冲击力，同时又对于河床的附着力做抵抗，其次，水流中的其他粒子运动过程中会与河床上的粒子产生附着力，有可能留在河床上增加淤泥的空间密度，或者将粒子带离河床在后面某处沉积下来。当河床恰好被粒子全部覆盖，之后的计算就完全按照粒子之间的关系考虑，并且随着预计厚度的升高，底部受到的压力也越大，内部的空间密度增大，更加不易受到水流的干扰，而淤泥随着压力升高而发生的体积变化可由实验总结。 二、
对于静水中的粒子而言，只需要考虑上下的作用力，计算运动距离和时间的
关系，这一关系相对而言较为简单，应用普通的力学知识可知，粒子首先受到向下的重力mg与向上的浮力ρVg，在运动中还有随速度ν变化的阻力f,于是有微分方程，
dνm=mg-ρVg-fdt
是可设 ① 将mg-ρVg记作M,其中已知物体在水中受到的阻力与速度平方成正比，又
f=kν2②
结合①，②得
dνm=M-kν2
③ dt
解方程得
ν=
令Me-1mt k1+e2kMmt2kMm为a,接下来对上式左右对t积分，左端即为运动距离l, 2kM
⎰νdt=
1l=a
1=aMeat-1lnb1at,令e=b,t=,dt=k⎰1+eataabMb-11db⎰k1+bbM(1+b)lnkb2
于是得到运动距离与时间的关系
2Mk1+el=lnmeat(at2)④
三、
接下来需要考虑的是淤泥沉积到河床上后由于不断的堆压，下方的粒子会发生一定的形变，以及粒子之间挤压填充之前的缝隙。由此，当一批粒子到达河床
或已经堆积起来后，形成的高度为粒子直径的粒子层在之后的粒子到达产生压力之后，由于粒子之间有着较强的附着力不会轻易滑动，所以可视为粒子层之间的纵向挤压，更为理想化的情形是，每一层的高度是由这一层最高的粒子决定，即每一层堆积的粒子有可能有许多是填充缝隙空间的，但整体高度仍然考虑单一粒子的逐个叠加所达到的高度，并且当淤积到一定厚度的淤泥后，再有粒子堆积到下方的粒子上方时，可以将其下方的淤泥视为粒子不断叠加的结果，这样考虑，是由于填充了缝隙之后，作为整体可视为粒子本身的放大，因此其物理性质与单一粒子相似。
下面就考虑单一粒子逐一叠加的情形，当叠加到一定程度，最下方的空间完全被填满则无法再压缩（当相对于粒子而言空隙仍然较小，则可以认为已经填满，这种情况主要发生在同一横向的粒子之间发生作用力，由于上下受到的力基本相同，横向的作用力同样一致，在底面积固定同时粒子饱和的情况下互相保持平衡，即无法再进行压缩），因此存在一定的上限无法进行压缩，而在未达到上限的时候，可认为粒子保持自由状态，即除了上方的压力外不受其他作用力影响粒子形态。
可以认为粒子自身对一定的压强有抵抗力，即当表面受到的压强达到这样一个数值，粒子不会再发生形变，又粒子在形变中接触面会随着高度的变化而变化，高度是纵向的一维变量，而接触面积是横向的二维变量，同时二者有反比例关系，c可写作S=2,S为接触面积，c为常数，h为高度，粒子可以承受的极限压强为p0，h
粒子受到力的作用发生的高度的变化与中间的过程无关，所以最后的高度h与压力F的关系就为p0=cp0FF2C,并且有=h,于是h=,令cp0为C,即有公式h=ScFF条件C
2≥F≥C2,R为粒子的直径,H为上述达到相互平衡的状态下所具有的高度。 HR
C，λ为粒子的个数，若R2
此时一个粒子上方堆积了n个粒子，对于粒子产生作用的力为nM，
CμM恰好小于等于2,μ为粒子个数， H
1.当n
2.当n>μ,下方的粒子高度均为H；
3.当λ
nM;
因此，在堆积较厚的淤泥中存在三个不同的淤泥层，最上层个数小于λ为粒子高度不发生变化的原层，中间相对应的是渐变层，最下方即为高度不会再发生变化的不变层。由于通常河道底部都已经堆积了较厚的淤泥层，而通常情况下这些不会对航路产生影响，故需要考虑的是在此基础上不断堆积所造成的高度变化与时间的关系，首先要考虑单个粒子堆积对于底层高度的影响，并且有一个显然的结论，处于原层和渐变层的粒子个数在此条件下恒定不变，则得到此时原层的高度为λR,处于渐变层的整体的第i个粒子所具有的高度hi=C,渐变层与原层iM
的总高度为λR+∑hi，可见渐变层与原层的高度不发生变化，当另一粒子堆积
i=λμ-1
下来之后，由于上面两层不变，于是原本渐变层最后一个粒子处于不变层当中，则原本的两层加上一个粒子后的高度为λR+∑hi+H，于是得到新粒子堆积对于
i=λμ-1
原本高度的贡献为H，在此基础上之后堆积上来的n个粒子所产生的高度变化是nH。
四、
假设静水中淤泥均匀分布在水中，因为水中的粒子落下后产生的高度为H，相当于落下的粒子被纳入不变层当中抬高了原有的淤泥层，即水中的粒子全部落下后产生的高度是他们处于不变层是的效果，因此测定水中的淤泥含量选择单位高度的水体中所含有的淤泥在处于不变层时所具有的高度。
测量方法可利用离心机分离水中的淤泥，经过压实后在相应的底面积上测量高度，即得到单位高度的水体中的淤泥含量。假设淤泥含量用η表示，在河道原有基础上再堆积的与你高度不得超过ζ。且默认水体中的淤泥含量大于ζ。
计算多高的水体有这样的淤泥含量，只要求得这样的距离所需的运动时间就得到何时需要清理一次河道，由于考虑到成本问题则要求平均每天所花成本最低的时间。
现有的清理淤泥的手段基本为按立方收费，对于我们的工作而言，工作的面
τ为常系数，平均积一定，则收费标准ϕ=τh，ϕ为花费，h为清理淤泥的厚度，
每天的成本为φ=τh
t，其中h=ηl，l为距离一开始淤泥表面的高度，于是
at2Mk1+eφ==，并且l=lnttmeatτηlωl()2(1+e)=θlneatat2φ对t求导得到式子如下， f(t)=a-a-ln1+eat，通过计算得到， at1+e()
ate1.当a>1,f(t)图像先增后减，在=a-1有最大值-lna,且a>1,则最大值小于
0，即f(t)
aa≤12.当，f(t)为减函数，在t=0时，函数值为2-ln2
综上，f(t)在定义域上恒小于0，即φ是一个减函数，当一次处理的淤泥高度越高成本越低，且我们又高度不能大于ζ，所以成本最低的做法是在淤泥堆积到ζ时进行清理工作。
ζ2M(1+eat)堆积到ζ的高度即水体中距离l=η，代入l=mlneat，有2
(1+eζ=θlnηeat
(1+e)
eatat2at2)=eζθη
接下来解方程得到
⎧⎪(λ-2)+λ2-4λ⎫⎪ln⎨⎬ζ2⎪⎪⎭,λ=eθηt=⎩
a。
上述仅讨论了静水下的淤泥沉积的过程，在动态水中还需考虑水流对于粒子的冲击作用，在实际河道中还需考虑一年四季不同时节的河道水流的变化，一般这种水流的变化为周期性，可用三角函数做近似处理。
此外，在前文的公式中还有许多待测量，诸如假设的淤泥的最小状态的粒子做具有直径以及压缩后的极限高度，但是从最后的结果来看，并没有涉及这些量，需要的有粒子的质量以及在水中向下的加速度，这些量的测量可以通过在纯水中放入已知含量的淤泥液体，测量可知的运动距离与时间的关系，反代入公式中得到系数。