微积分习题解答（第二章）
1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
(2)0,
12
, 0,
14
, 0,
16
,
⎡1+(-1)⎤
⎦2n ⎣1
n
解：一般项
u n =
该数列收敛，其极限为零。
(3)
1111
, , , , 261220
u n =
1n (n +1)
解：一般项
该数列收敛，其极限为零。
(4)2,
5101726, , , , 2345
u n =
1+n n
2
解：一般项
该数列发散。
3. 利用定义证明下列极限；
⎛-1⎫
(1)lim ⎪
n →∞
⎝6⎭
n
=0
证明：对于任给ε>0，要使
⎛-1⎫⎛1⎫
-0= ⎪ ⎪
⎝6⎭⎝6⎭
只要
ln n >
1
n
n
ln 6
1⎤⎡
ln ⎢ε⎥+1, N =⎢⎥
ln 6⎢⎥⎣⎦
取正整数当n >N 时
总有不等式
⎛-1⎫ ⎪-0
⎝6⎭
n n
=0
(
3)lim
=0
n →∞
证明：对于任给ε>0，要使
只要
n >
1-0=
1
ε
2
取正整数
总有不等式
N =
⎡1⎤
+1, ⎢2⎥⎣ε⎦
当n >N 时
∴lim
n →∞
-0
4. 试判断下列论点断是否正确。
(1)如果n 越大,
错误 例如
1n
u n -A 越接近零, 则有lim u n =A (⨯)
n →∞
-(-1)=
1n
+1
随着n 越大，而越加接近零，但
lim
n →∞
1n
=0≠-1
(3)如果对于任给ε
则有lim u n =A
n →∞
>0，在数列中除有限项外，都满足不等式u n -A
(∠)
正确
设N 1为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给ε>0，只要取正整数N =N 1+1，当n >N 时，{u n } 总有不等式
u n -1=0
n →∞
满足
(5)有界数列必定收敛
错误 例如
u n =s in n
(⨯)
显然u n =s in n ≤1，但{u n }发散
6．利用定义证明下列极限：
(1)lim (3x -1)
x →1
=2
证明：对于任意给定的ε>0，要使
(3x -1)-
只需取δ=
2=3(x -1)
ε
3
，则当0
2
(3x -1)-
成立，于是，由极限定义可知
lim (3x -1)=2
x →1
(3)
lim ln x =-∞
x →0
+
证明：对于任意给定的M >0， y =l n x 单调增加，∴要使
ln x
只需取δ=e
-M
-M
，则当0
ln x
成立，于是，由极限定义可知
lim ln x =-∞
x →0
+
(4)lim
x 2x +1
=
12
x →∞
证明：对于任意给定的ε>0，要使
x 2x +1
只需取X =
1-12=
12x +1
ε
x
，则当x >X 时, 总有
12
2x +1
-
成立，于是，由极限定义可知
lim
x →∞
x 2x +1
=
12
(5)
lim e
x →-∞
x
=0
证明：对于任意给定的ε>0(不妨设0
e -0=e
x
x
=e
x
只需取x =ln ε( 0
取正数X =-l n ε, 则当x X 时, 总有
e
x
成立，于是，由极限定义可知
lim e
x →-∞
x
=0
7。指出下列变量当x →? 时，是无穷小量：
(1)
x -1x +1
x -1x +1x -1x +1
22
2
解： lim
x →1
=0, lim
x →∞
x -1x +1
2
=0
∴变量当x →1或x →∞时, 是无穷小量。
(3)
1e
1-x
1
解： lim
x →1
11-x 1e
1-x
+
=-∞, ⇒lim e
x →1
+
+
1-x
=0,
∴变量当x →1时, 是无穷小量。
(5)
1ln (3-x )
1ln (3-x )
1ln (3-x )
=0, lim
x →3
解： lim
x →-∞
1ln (3-x )
-
-
=0
∴变量当x →3或x →-∞时, 是无穷小量。
8指出下列变量当x →? 时，是无穷大量：
(1)
x +2x -1
x -1x +2
2
2
解： 当x →1或x →-1, 变量
x +2x -1
2
→0
∴当x →1或x →-1, 为无穷大量。
1
(3)e x
解： lim
x →0
1x
1
+
=+∞, lim e x =+∞
x →01
+
∴当x →0, e x 为无穷大量。
+
9. 当x →0时，比较下面无穷小量的阶。
(1)x
3
+2x , x
x +2x x
3
解 lim
x →03
=2
∴x +2x 是x 的同阶无穷小量
(3)ln (1+x ), x
解 lim
x →0
ln (1+x )
x
1
x →0
x →0
1
=lim ln (1+x )x =ln lim (1+x )x =ln e =1
∴ln (1+x )是x 的等价无穷小量
(5)a rc ta n
解 lim
x →0
x -x , x
x ⎫⎛a rc ta n x
=lim -⎪=(1-1)=0 x →0x x ⎭⎝
a rc ta n x -x
x
∴a rc ta n x -x 是x 的高阶无穷小量
10. 判别正误。
(1)无穷小量是非常小的正数(⨯)
错。无穷小量是以零为极限的变量
(2)无穷小量是零(⨯)
错。零是无穷小量, 但是无穷小量不一定是零。
1x
(3)是无穷小量(⨯)
11
错。如当x →1时→1≠0不是无穷小量,
x x 11
但是当x →∞时→0是无穷小量。
x x
(4)两个无穷大量之和仍为无穷大量(
⨯)
错。例如，当x →+∞时但lim x →+∞-
(
均为无穷大量，1
=0(
⎤=lim ⎦x →+∞
即，当x →+∞时(
不是无穷大量，而是无穷小量。
(5)两个无穷大量之积仍为无穷大量(∠)
对。证明：设lim f (x )=∞，lim g (x )=∞均为无穷大量，
x →x 0
x →x 0
要证lim
x →x 0
(f (x ) g (x ))=∞
对于任给的M >0，因为当x →x 0时f (x )与g (x )均为
无穷大量，所有，存在δ1>0, δ2>0, 使得当 0
f
(x )
>c , g
(
x )
> 取δ=m a x {δ1, δ2}，则当0
f
即
lim
x →x 0
(x ) g (x )
=f
(x ) g (
x )
>=M
(f (x ) g (x ))=∞
(6)任意两个无穷小量都可以比较阶的高低(⨯)
错。例如，当x →0时，x 与x s in
x s in
但lim
x →0
1x
均为无穷小量，
1x
=lim s in
x →0
1x
1x
阶的高低。不存在
x
所以，不能比较x 与x s in
(7)无界变量一定为无穷大量(⨯)
错。例如，当x →∞时，变量x s in
但不是无穷大量。
1x
为无界变量，
12．求下列极限：
(
1)lim
2n +32n +3n →∞
2+
=lim
n →∞
3
=2
解：原式=lim
n →∞
(3)lim
3x -32x +1
3-32+1
=0
3
2
x →1
解：原式=
(5)lim
(3t +4)(2t -2)
(t -1)
2
2
t →7
解：原式=
(3⋅7+4)(2⋅7-2)
(7-1)
2
2
=100
(7)lim
x →1
3⎫⎛1- ⎪⎝5-x ⎭
3⎫1⎛
解：原式= 1-= ⎪
4⎝5-1⎭
(
9)
lim
x →+∞
-
⎛
解：原式=lim x
x →+∞
⎝
=+∞
(
9)
lim
x →+∞
-
2
=+∞解：原式=lim
x →+∞
x -x -2
(11)lim
2x +1x +3x +1
1⎫4⎛2
x +4⎪
x ⎭⎝x
4⎛
x 1+3
x ⎝
4
3
x →∞
=0
解：原式=lim
x →∞
3
1⎫+4⎪x ⎭
(13)lim
(x -3)(2x +1)
(3x -1)
20
14
146
x →∞
解：原式=lim
x →∞
3⎫⎛1- ⎪
x ⎭⎝1⎫⎛
2+ ⎪
x ⎭⎝
20
6
6
=23
20
1⎫⎛
3- ⎪
x ⎭⎝
(
15)lim
x →∞
(
x +
(
解：原式=lim
x →∞
x +
⎛2 x -
1
=lim
x →∞
=0
(
17)
lim
x →+∞
(
a >0且a ≠1，讨论a 的各种可能情况)
解：原式=lim
x →+∞
⎧1，当0
=⎨
⎩0，当1
15. 求下列极限：
(1)lim
s in x 2x s in x 2x
=12lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
s in x x
=
12
(3)lim
(x -s in x )
2x
2
2
x →0
解： lim
x →0
(x -s in x )
2x
2
2
=lim
x →0
s in x ⎫2⎛
x 1-⎪
x ⎭⎝
2x
2
2
=0
(5)lim
s in 3x s in 2x s in 3x s in 2x
=lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
2x s in 3x 33x s in 2x 2
=
32
(7)lim
a r c ta n 4x a r c s in 2x a r c ta n 4x a r c s in 2x
=lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
4x 2x
=2
(9)lim x s in
x →∞
1x 1x
s in
=lim
x →∞
1x =1
解： lim x s in
x →∞
1x
(11)lim
5x -s in 3x ta n 2x 5x -s in 3x ta n 2x
5s in 3x ⎫53⎛2x
=lim -=-=1⎪x →0ta n 2x ⎭22⎝ta n 2x 2
x →0
解： lim
x →0
3⎫⎛
(13)lim 1-⎪
x →∞x ⎭⎝
x
-⎡
3⎫3⎫3⎛⎛
解： lim 1-⎪=lim ⎢ 1-⎪
x →∞x →∞⎢x ⎭x ⎭⎝⎝
⎣
x
x
⎤⎥⎥⎦
-3
-3
=e
1
(15)lim (1-s in x )x
x →0
1
x →0
x →0
1
解： lim (1-s in x )x =lim e x
ln (1-s in x )
x →0, ln (1-s in x )~-s in x
-s in x x
=e
-1
==========lim e
x →0
2⎫⎛17lim 1-() ⎪x →∞x ⎭⎝
x -3
2⎫⎛解： lim 1-⎪
x →∞x ⎭⎝
x -3
-⎡
2⎫2⎛
=lim ⎢ 1-⎪x →∞⎢x ⎭⎝
⎣
x
⎤⎥⎥⎦
-2
2⎫⎛1- ⎪
x ⎭⎝
-3
=e
-2
18．指出下列函数的间断点类型；
⎧1-x
, x ≠1⎪
(1)f (x )=⎨1+x
⎪0, x =-1⎩解： f
2
(-1)
=0，而=lim
x →-1
lim f
x →-1
(x )
1-x
2
1+x
=lim (1-x )=2≠0=f
x →-1
(-1)
∴x =-1是函数f 只要将f
(x )的可去间断点
2
(x )在x
=-1处定义由0改为2，所得函数
⎧1-x
, x ≠1⎪
f 1(x )=⎨1+x
⎪2, x =-1⎩
即为连续函数
(3)
f
(x )
=
e
3x -1
-1
x (x -1)=e
3x -1
解： f
(x )
-1
x (x -1)
在x =0处无定义，而e
3x -1
lim f
x →0
(x )=lim
-1
x →0
x (x -1)
=-3
∴x =0是该函数的一个可去间断点。只需要补充定义，得函数
⎧e -1
, ⎪
f 1(x )=⎨x (x -1)
⎪⎩-3,
在x =0处, f 1(x )连续又 lim f
x →1
3x -1
x ≠0x =
(x )
=lim
x →1
e
3x -1
-1
x (x -1)
=∞
∴x =1是该函数的一个无穷间断点
19．讨论下列函数的连续性：
⎧a rc ta n x ⎪x ⎪
(1)f (x )=⎨2-x
⎪
(x -1)s in x -1, ⎪⎩解： f
f
-1
(0-0)(0+0)
=lin f
x →0
-
(x )(x )
=lin
x →0
a rc ta n x
-
x
=1
=lin f
x →0
+
=lin 2-x =2
x →0
+
即，f ∴f
(0-0)
≠f
(0+0)，lin
f
x →0
(x )不存在，
(x )在x
=0处不连续
x →1
-
f (1-0)=lin f f (1+0)=lin f
x →1
+
(x )(x )
=lin 2-x =1
x →1
-
=lin ⎡(x -1)s in x -1⎤⎦=-1+⎣x →1
x →1
即，f (1-0)≠f (1+0)，lin f ∴f f
(x )不存在，
(x )在x
=1处不连续
(x )在区间(-1, 0), (0,1), (1, +∞)内有定义，
(x )的连续区间为
(-1, 0) (0,1) (1, +∞)
⎧
1⎪x e , ⎪⎪
f (x )=⎨0,
⎪2
ln (1+x )⎪
,
⎪x ⎩
且为初等函数∴f
x 0
1
(2)
解： f
(0)
=0，且f
(0-0)
=lim e x =0, f
x →0
-
(0+0)
=lim
x →0
ln (1+x
+
2
)
x
=lim
x →0
x
+
2
x
=0,
即lin f
x →0
(x )
=0=f
(0)，故
∴f
(x )在x
=0处连续f
显然f
(x )在(-∞, 0)及(0, +∞)内连续, ∴(x )连续区间为(-∞, +∞)
20 研究下列函数在x =0的连续性：
(1)f (
x )=⎪x +2, ⎩解： f
x
x =2
=0连续。
x 1+
=lim
x →0
-
(0)
=
(x +2)x =0
=lim f
x →0
-
且f f
(0-0)(0+0)
x →0
(
x )(x )
=lim
x →0
(
x
=2
-
=lim f
x →0
+
=lim
x →0
+
(x +2)
∴lim f
(x )
=2=f
(0)，故函数在x
(2)
⎧1-c o s x
, ⎪2
f (x )=⎨x
⎪x +1, ⎩
x
x
2
解： f
(0)
=
(x +1)x =0
=12≠1=f
且f
(0-0)=lim f
x →0
-
(x )=lim
x →0
1-c o s x
x
2
-
=lim
x →0
x
2
-
(0)
故函数在x =0不连续。
21. 确定下列函数的定义域，并求常数a 和b ，使函数在各自定义域内连续：
⎧1
s in x ⎪x ⎪
(1)f (x )=⎨a -1
⎪1⎪x s in +b
x ⎩
解： D
f
x 0
=(-∞, +∞)，在D f 的子区间(-∞, 0)与(0, +∞)内，
函数均为初等函数∴f (x )在(-∞, 0) (0, +∞)内连续，
现讨论f (x )在分界点x
=0处的连续性
已知f (0)
=a -1
且有f
(0-0)=lim f
x →0
-
(x )=lim
s in x x →0
-
=1
x
f (0+0)
=lim f
x →0
-
(x )
=lim ⎛1⎫
→0 x s in +b ⎝x ⎪=b
x -
⎭
若要f
(x )连续，仅当f (0-0)
=f
(0+0)
=f
(0)，⇒⎧b =1
⎨
⎩a -1=1
时，f
(x )在x
=0处连续，解到
当a =2, b =1时，函数f
(x )在其定义域内连续
即
(()⎧+1x ≤12)f
x =⎪a x ⎨⎪2
⎩x +x +b
x >0
解： D
f
=(-∞, +∞)，
f
(-1)
=1-a
且有f
(-1-0)=lim
f
x →-1
-
(x )=lim
x
2
+x +b x →-1
-
()=b
f (-1+0)=lim f
(x )
=lim
)
=1-a
x →1
+
x →1
+
(a x +1若要f
(x )在x
=-1处连续，仅当f
(-1-0)=f
(-1+0)=
f
(-1)，1-a =b ⇒a +b =1
时，f (x )在x
=-1处连续.
f (1)=a +1
且有f (1-0)=lim f
=lim
(a x +1)=
a +1
x →1
-
(x )x →1
-
f (1+0)=lim f
=lim
x →1
+
(x )
+
x
2
+x +b
x →1
()=
2+b
若要f
(x )在x =1处连续，仅当f (1-0)=f (1+0)=f (1)，即
1+a =2+b ⇒a -b =1
时，f
(x )在x
=1处连续
综合上述，得到⎧a +b =1
⎨
⎩a -b =1
即当a =1, b =0时，函数f
(x )在其定义域内连续
23．证明方程x 3
-3x =1在(1, 2)内至少有一个实根
证明：设函数f (x )
=x 3
-3x -1
显然f (x )在[1, 2]上连续，且
f (1)=(x
3
-3x -1)
=13
-3 1-1=-3
f
(2)
=
(x
3
-3x -1)
=23
-3 2-1=1>0
x =2
所以f
(x )在[1, 2]上满零值定理条件。因此在(1, 2)内，
方程x 3
-3x =1至少有一个实根。
即
微积分习题解答（第二章）
1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。
(2)0,
12
, 0,
14
, 0,
16
,
⎡1+(-1)⎤
⎦2n ⎣1
n
解：一般项
u n =
该数列收敛，其极限为零。
(3)
1111
, , , , 261220
u n =
1n (n +1)
解：一般项
该数列收敛，其极限为零。
(4)2,
5101726, , , , 2345
u n =
1+n n
2
解：一般项
该数列发散。
3. 利用定义证明下列极限；
⎛-1⎫
(1)lim ⎪
n →∞
⎝6⎭
n
=0
证明：对于任给ε>0，要使
⎛-1⎫⎛1⎫
-0= ⎪ ⎪
⎝6⎭⎝6⎭
只要
ln n >
1
n
n
ln 6
1⎤⎡
ln ⎢ε⎥+1, N =⎢⎥
ln 6⎢⎥⎣⎦
取正整数当n >N 时
总有不等式
⎛-1⎫ ⎪-0
⎝6⎭
n n
=0
(
3)lim
=0
n →∞
证明：对于任给ε>0，要使
只要
n >
1-0=
1
ε
2
取正整数
总有不等式
N =
⎡1⎤
+1, ⎢2⎥⎣ε⎦
当n >N 时
∴lim
n →∞
-0
4. 试判断下列论点断是否正确。
(1)如果n 越大,
错误 例如
1n
u n -A 越接近零, 则有lim u n =A (⨯)
n →∞
-(-1)=
1n
+1
随着n 越大，而越加接近零，但
lim
n →∞
1n
=0≠-1
(3)如果对于任给ε
则有lim u n =A
n →∞
>0，在数列中除有限项外，都满足不等式u n -A
(∠)
正确
设N 1为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给ε>0，只要取正整数N =N 1+1，当n >N 时，{u n } 总有不等式
u n -1=0
n →∞
满足
(5)有界数列必定收敛
错误 例如
u n =s in n
(⨯)
显然u n =s in n ≤1，但{u n }发散
6．利用定义证明下列极限：
(1)lim (3x -1)
x →1
=2
证明：对于任意给定的ε>0，要使
(3x -1)-
只需取δ=
2=3(x -1)
ε
3
，则当0
2
(3x -1)-
成立，于是，由极限定义可知
lim (3x -1)=2
x →1
(3)
lim ln x =-∞
x →0
+
证明：对于任意给定的M >0， y =l n x 单调增加，∴要使
ln x
只需取δ=e
-M
-M
，则当0
ln x
成立，于是，由极限定义可知
lim ln x =-∞
x →0
+
(4)lim
x 2x +1
=
12
x →∞
证明：对于任意给定的ε>0，要使
x 2x +1
只需取X =
1-12=
12x +1
ε
x
，则当x >X 时, 总有
12
2x +1
-
成立，于是，由极限定义可知
lim
x →∞
x 2x +1
=
12
(5)
lim e
x →-∞
x
=0
证明：对于任意给定的ε>0(不妨设0
e -0=e
x
x
=e
x
只需取x =ln ε( 0
取正数X =-l n ε, 则当x X 时, 总有
e
x
成立，于是，由极限定义可知
lim e
x →-∞
x
=0
7。指出下列变量当x →? 时，是无穷小量：
(1)
x -1x +1
x -1x +1x -1x +1
22
2
解： lim
x →1
=0, lim
x →∞
x -1x +1
2
=0
∴变量当x →1或x →∞时, 是无穷小量。
(3)
1e
1-x
1
解： lim
x →1
11-x 1e
1-x
+
=-∞, ⇒lim e
x →1
+
+
1-x
=0,
∴变量当x →1时, 是无穷小量。
(5)
1ln (3-x )
1ln (3-x )
1ln (3-x )
=0, lim
x →3
解： lim
x →-∞
1ln (3-x )
-
-
=0
∴变量当x →3或x →-∞时, 是无穷小量。
8指出下列变量当x →? 时，是无穷大量：
(1)
x +2x -1
x -1x +2
2
2
解： 当x →1或x →-1, 变量
x +2x -1
2
→0
∴当x →1或x →-1, 为无穷大量。
1
(3)e x
解： lim
x →0
1x
1
+
=+∞, lim e x =+∞
x →01
+
∴当x →0, e x 为无穷大量。
+
9. 当x →0时，比较下面无穷小量的阶。
(1)x
3
+2x , x
x +2x x
3
解 lim
x →03
=2
∴x +2x 是x 的同阶无穷小量
(3)ln (1+x ), x
解 lim
x →0
ln (1+x )
x
1
x →0
x →0
1
=lim ln (1+x )x =ln lim (1+x )x =ln e =1
∴ln (1+x )是x 的等价无穷小量
(5)a rc ta n
解 lim
x →0
x -x , x
x ⎫⎛a rc ta n x
=lim -⎪=(1-1)=0 x →0x x ⎭⎝
a rc ta n x -x
x
∴a rc ta n x -x 是x 的高阶无穷小量
10. 判别正误。
(1)无穷小量是非常小的正数(⨯)
错。无穷小量是以零为极限的变量
(2)无穷小量是零(⨯)
错。零是无穷小量, 但是无穷小量不一定是零。
1x
(3)是无穷小量(⨯)
11
错。如当x →1时→1≠0不是无穷小量,
x x 11
但是当x →∞时→0是无穷小量。
x x
(4)两个无穷大量之和仍为无穷大量(
⨯)
错。例如，当x →+∞时但lim x →+∞-
(
均为无穷大量，1
=0(
⎤=lim ⎦x →+∞
即，当x →+∞时(
不是无穷大量，而是无穷小量。
(5)两个无穷大量之积仍为无穷大量(∠)
对。证明：设lim f (x )=∞，lim g (x )=∞均为无穷大量，
x →x 0
x →x 0
要证lim
x →x 0
(f (x ) g (x ))=∞
对于任给的M >0，因为当x →x 0时f (x )与g (x )均为
无穷大量，所有，存在δ1>0, δ2>0, 使得当 0
f
(x )
>c , g
(
x )
> 取δ=m a x {δ1, δ2}，则当0
f
即
lim
x →x 0
(x ) g (x )
=f
(x ) g (
x )
>=M
(f (x ) g (x ))=∞
(6)任意两个无穷小量都可以比较阶的高低(⨯)
错。例如，当x →0时，x 与x s in
x s in
但lim
x →0
1x
均为无穷小量，
1x
=lim s in
x →0
1x
1x
阶的高低。不存在
x
所以，不能比较x 与x s in
(7)无界变量一定为无穷大量(⨯)
错。例如，当x →∞时，变量x s in
但不是无穷大量。
1x
为无界变量，
12．求下列极限：
(
1)lim
2n +32n +3n →∞
2+
=lim
n →∞
3
=2
解：原式=lim
n →∞
(3)lim
3x -32x +1
3-32+1
=0
3
2
x →1
解：原式=
(5)lim
(3t +4)(2t -2)
(t -1)
2
2
t →7
解：原式=
(3⋅7+4)(2⋅7-2)
(7-1)
2
2
=100
(7)lim
x →1
3⎫⎛1- ⎪⎝5-x ⎭
3⎫1⎛
解：原式= 1-= ⎪
4⎝5-1⎭
(
9)
lim
x →+∞
-
⎛
解：原式=lim x
x →+∞
⎝
=+∞
(
9)
lim
x →+∞
-
2
=+∞解：原式=lim
x →+∞
x -x -2
(11)lim
2x +1x +3x +1
1⎫4⎛2
x +4⎪
x ⎭⎝x
4⎛
x 1+3
x ⎝
4
3
x →∞
=0
解：原式=lim
x →∞
3
1⎫+4⎪x ⎭
(13)lim
(x -3)(2x +1)
(3x -1)
20
14
146
x →∞
解：原式=lim
x →∞
3⎫⎛1- ⎪
x ⎭⎝1⎫⎛
2+ ⎪
x ⎭⎝
20
6
6
=23
20
1⎫⎛
3- ⎪
x ⎭⎝
(
15)lim
x →∞
(
x +
(
解：原式=lim
x →∞
x +
⎛2 x -
1
=lim
x →∞
=0
(
17)
lim
x →+∞
(
a >0且a ≠1，讨论a 的各种可能情况)
解：原式=lim
x →+∞
⎧1，当0
=⎨
⎩0，当1
15. 求下列极限：
(1)lim
s in x 2x s in x 2x
=12lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
s in x x
=
12
(3)lim
(x -s in x )
2x
2
2
x →0
解： lim
x →0
(x -s in x )
2x
2
2
=lim
x →0
s in x ⎫2⎛
x 1-⎪
x ⎭⎝
2x
2
2
=0
(5)lim
s in 3x s in 2x s in 3x s in 2x
=lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
2x s in 3x 33x s in 2x 2
=
32
(7)lim
a r c ta n 4x a r c s in 2x a r c ta n 4x a r c s in 2x
=lim
x →0
x →0
解： lim
x →0
4x 2x
=2
(9)lim x s in
x →∞
1x 1x
s in
=lim
x →∞
1x =1
解： lim x s in
x →∞
1x
(11)lim
5x -s in 3x ta n 2x 5x -s in 3x ta n 2x
5s in 3x ⎫53⎛2x
=lim -=-=1⎪x →0ta n 2x ⎭22⎝ta n 2x 2
x →0
解： lim
x →0
3⎫⎛
(13)lim 1-⎪
x →∞x ⎭⎝
x
-⎡
3⎫3⎫3⎛⎛
解： lim 1-⎪=lim ⎢ 1-⎪
x →∞x →∞⎢x ⎭x ⎭⎝⎝
⎣
x
x
⎤⎥⎥⎦
-3
-3
=e
1
(15)lim (1-s in x )x
x →0
1
x →0
x →0
1
解： lim (1-s in x )x =lim e x
ln (1-s in x )
x →0, ln (1-s in x )~-s in x
-s in x x
=e
-1
==========lim e
x →0
2⎫⎛17lim 1-() ⎪x →∞x ⎭⎝
x -3
2⎫⎛解： lim 1-⎪
x →∞x ⎭⎝
x -3
-⎡
2⎫2⎛
=lim ⎢ 1-⎪x →∞⎢x ⎭⎝
⎣
x
⎤⎥⎥⎦
-2
2⎫⎛1- ⎪
x ⎭⎝
-3
=e
-2
18．指出下列函数的间断点类型；
⎧1-x
, x ≠1⎪
(1)f (x )=⎨1+x
⎪0, x =-1⎩解： f
2
(-1)
=0，而=lim
x →-1
lim f
x →-1
(x )
1-x
2
1+x
=lim (1-x )=2≠0=f
x →-1
(-1)
∴x =-1是函数f 只要将f
(x )的可去间断点
2
(x )在x
=-1处定义由0改为2，所得函数
⎧1-x
, x ≠1⎪
f 1(x )=⎨1+x
⎪2, x =-1⎩
即为连续函数
(3)
f
(x )
=
e
3x -1
-1
x (x -1)=e
3x -1
解： f
(x )
-1
x (x -1)
在x =0处无定义，而e
3x -1
lim f
x →0
(x )=lim
-1
x →0
x (x -1)
=-3
∴x =0是该函数的一个可去间断点。只需要补充定义，得函数
⎧e -1
, ⎪
f 1(x )=⎨x (x -1)
⎪⎩-3,
在x =0处, f 1(x )连续又 lim f
x →1
3x -1
x ≠0x =
(x )
=lim
x →1
e
3x -1
-1
x (x -1)
=∞
∴x =1是该函数的一个无穷间断点
19．讨论下列函数的连续性：
⎧a rc ta n x ⎪x ⎪
(1)f (x )=⎨2-x
⎪
(x -1)s in x -1, ⎪⎩解： f
f
-1
(0-0)(0+0)
=lin f
x →0
-
(x )(x )
=lin
x →0
a rc ta n x
-
x
=1
=lin f
x →0
+
=lin 2-x =2
x →0
+
即，f ∴f
(0-0)
≠f
(0+0)，lin
f
x →0
(x )不存在，
(x )在x
=0处不连续
x →1
-
f (1-0)=lin f f (1+0)=lin f
x →1
+
(x )(x )
=lin 2-x =1
x →1
-
=lin ⎡(x -1)s in x -1⎤⎦=-1+⎣x →1
x →1
即，f (1-0)≠f (1+0)，lin f ∴f f
(x )不存在，
(x )在x
=1处不连续
(x )在区间(-1, 0), (0,1), (1, +∞)内有定义，
(x )的连续区间为
(-1, 0) (0,1) (1, +∞)
⎧
1⎪x e , ⎪⎪
f (x )=⎨0,
⎪2
ln (1+x )⎪
,
⎪x ⎩
且为初等函数∴f
x 0
1
(2)
解： f
(0)
=0，且f
(0-0)
=lim e x =0, f
x →0
-
(0+0)
=lim
x →0
ln (1+x
+
2
)
x
=lim
x →0
x
+
2
x
=0,
即lin f
x →0
(x )
=0=f
(0)，故
∴f
(x )在x
=0处连续f
显然f
(x )在(-∞, 0)及(0, +∞)内连续, ∴(x )连续区间为(-∞, +∞)
20 研究下列函数在x =0的连续性：
(1)f (
x )=⎪x +2, ⎩解： f
x
x =2
=0连续。
x 1+
=lim
x →0
-
(0)
=
(x +2)x =0
=lim f
x →0
-
且f f
(0-0)(0+0)
x →0
(
x )(x )
=lim
x →0
(
x
=2
-
=lim f
x →0
+
=lim
x →0
+
(x +2)
∴lim f
(x )
=2=f
(0)，故函数在x
(2)
⎧1-c o s x
, ⎪2
f (x )=⎨x
⎪x +1, ⎩
x
x
2
解： f
(0)
=
(x +1)x =0
=12≠1=f
且f
(0-0)=lim f
x →0
-
(x )=lim
x →0
1-c o s x
x
2
-
=lim
x →0
x
2
-
(0)
故函数在x =0不连续。
21. 确定下列函数的定义域，并求常数a 和b ，使函数在各自定义域内连续：
⎧1
s in x ⎪x ⎪
(1)f (x )=⎨a -1
⎪1⎪x s in +b
x ⎩
解： D
f
x 0
=(-∞, +∞)，在D f 的子区间(-∞, 0)与(0, +∞)内，
函数均为初等函数∴f (x )在(-∞, 0) (0, +∞)内连续，
现讨论f (x )在分界点x
=0处的连续性
已知f (0)
=a -1
且有f
(0-0)=lim f
x →0
-
(x )=lim
s in x x →0
-
=1
x
f (0+0)
=lim f
x →0
-
(x )
=lim ⎛1⎫
→0 x s in +b ⎝x ⎪=b
x -
⎭
若要f
(x )连续，仅当f (0-0)
=f
(0+0)
=f
(0)，⇒⎧b =1
⎨
⎩a -1=1
时，f
(x )在x
=0处连续，解到
当a =2, b =1时，函数f
(x )在其定义域内连续
即
(()⎧+1x ≤12)f
x =⎪a x ⎨⎪2
⎩x +x +b
x >0
解： D
f
=(-∞, +∞)，
f
(-1)
=1-a
且有f
(-1-0)=lim
f
x →-1
-
(x )=lim
x
2
+x +b x →-1
-
()=b
f (-1+0)=lim f
(x )
=lim
)
=1-a
x →1
+
x →1
+
(a x +1若要f
(x )在x
=-1处连续，仅当f
(-1-0)=f
(-1+0)=
f
(-1)，1-a =b ⇒a +b =1
时，f (x )在x
=-1处连续.
f (1)=a +1
且有f (1-0)=lim f
=lim
(a x +1)=
a +1
x →1
-
(x )x →1
-
f (1+0)=lim f
=lim
x →1
+
(x )
+
x
2
+x +b
x →1
()=
2+b
若要f
(x )在x =1处连续，仅当f (1-0)=f (1+0)=f (1)，即
1+a =2+b ⇒a -b =1
时，f
(x )在x
=1处连续
综合上述，得到⎧a +b =1
⎨
⎩a -b =1
即当a =1, b =0时，函数f
(x )在其定义域内连续
23．证明方程x 3
-3x =1在(1, 2)内至少有一个实根
证明：设函数f (x )
=x 3
-3x -1
显然f (x )在[1, 2]上连续，且
f (1)=(x
3
-3x -1)
=13
-3 1-1=-3
f
(2)
=
(x
3
-3x -1)
=23
-3 2-1=1>0
x =2
所以f
(x )在[1, 2]上满零值定理条件。因此在(1, 2)内，
方程x 3
-3x =1至少有一个实根。
即