作图及方案设计题
【重点、难点、考点】
重点：学习用图表及图像来表示数量关系 难点：图表中的数量关系及图形的割补
考点：这类问题能较好地考查学生用数学的能力，具有很强的开放性，主要有：统计中的频率分布直方图，函数图像所反映的实际意义，画出符合特殊要求的几何图形，分值在6％左右．
【经典范例引路】
例1 如图某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共70个，请回答下列问题：
（1）本周“百姓热线”共接到热线电话有多少个？ （2）有关道路交通问题的电话有多少个？
解：（1）70÷35％＝200（个） （2）200×20％＝40（个）
答：本周共接到热线电话200个，有关道路问题的电话有40个。
例2 方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连结为边的三角形叫做格点三角形．请你在下图10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明，要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母。
解：所画图形如图所示，证明如下：
证明：设方格纸中每个小正方形的边长为a ，则 A 1B 1＝2a,B 1C 1＝2a,A 1C 1＝a A 2B 2=a ，B 2C 2=5a ，A 2C 2＝5a
∴
A 1B 1B C A C 2a a 2a == 11== 11==
555a 5A 2B 2B C A C a a 2222A 1B 1B 1C 1A 1C 1
== 故△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2 A 2B 2B 2C 2A 2C 2
∴
【解题技巧点拨】
此类问题常用的知识和方法是：①利用统计初步中的频率分布直方图和扇形图解题；②利用函数图象实际应用意义解题；③利用几何图形中的边、角和面积之间联系解题；④利用几何图形的割补、全等、相似等解题，此外还需要丰富的联想、想象能力。
【综合能力训练】
1. 济南市近几年连年干旱，市政府采取各种措施扩大水源，措施之一是投资增建水厂，下图是济南市目前水源结构的圆形统计图，请你根据图中圆心角的大小计算出黄河水在供水中所占的百分比为（ ） ［2001，济南市］
A.64％ B.60％ C.54％ D.74％
1题图 2题图
2. 近年来国内生产总值年增长率的变化情况如图，从图上看，下列结论中不正确的是（ ）（2001，安徽省）
A ．1995—1999年，国内生产总值的年增率逐年减小 B ．2000年国内生产总值的年增长率开始回升 C ．这7年中，每年的国内生产总值不断增长 D ．这7年中，每年的国内生产总值有增有减
3．如图，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A 与 对应；B 与 对应；C 与 对应；D 与 对应．
4．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
11
的矩形，接着把面积为的矩22
111
的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进448
11111111
行下去，试利用图形提示的规律计算：+++++++= 。
[**************]
形等分成两个面积为
5. 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中沿着虚线画出四种不同的分法，把4× 4的正方形方格图形分割成两个全等图形（2002，宁波市）
6．在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度，例如正方形 ABCD（如图）有 AB＝BC ＝CD ＝DA ≠AC=BD，请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段．
7. 如图，△ABC 和△DEF 中，已知∠A ＝∠D7O °，∠B ＝50°，∠E ＝30°，画直线l ，m ，使直线l 将△ABC 分为两个小三角形，直线m 将△DEF 分成两个小三角形，并使△ABC 分成的两小三角形分别与DEF 分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数（画图工具不限，不要求写画法，只要画出一种方法）．
8. 两个全等的三角板可以拼出各种不同的图形，下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形要与原三角形有重叠部分）．（2001，福州市）
9. 如图，数轴上点A 对应的数为1
（1）请用尺规作图作出表示2的对应点B ，（只保留作图痕迹，不写已知、求作、作法和证明）；（2）能不能用尺规作图作出对应点，若不能，请说明理由；若能，请简要说明作法．（2001，临沂市）
10. 为了参加北京市申办2008年奥运会的活动．
（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没能制作，因此这班其余学生人均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？
（2）如果有两边长分别为1和a 其中(a＞1) 的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每面彩旗的长与宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法示意图，并写出相应a 的值（不写计算过程）．（2001，北京市）
11．数学课上，老师让每个同学用他们课前准备好的全等等腰三角形在桌面上拼出四边形，要求每个四边形只能由两个全等的等腰三角形拼合而成，请问用这种拼合的方法，最多可拼出几种不同类型的凸四边形？请你将拼出的每一类凸四边形画出一个示意图形（只要求
画出图形和标出图中相等的线段）．（2001，北京市大兴县）
【创新备考训练】
12. 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形。请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法按如图的实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）．
（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图形互不全等，能画几个画几个，至少画三个）．（2001，徐州市）
13. 苏学美同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图的含义．如图（1）请你用最基本的几何图形（如直线、射线、线段、角、三角形、四边形、多边形、圆、圆弧和函数图象等中若干个，为“环保专栏”在图（2）方框中设计一个报头图案，并简要说明图案的含义（有创意另加1分）．（2001，三明市）
14. 在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使
扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．（2002，黄冈市）
15. 阅读下面短文：
如图①△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个，矩形ACBD 和矩形AEFB （如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1 S2（填“＜”，“=”或“＞”) ．（2）如图③，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC 是锐角三角形，且BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图④把它画出来．（4）（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（2002，陕西省）
参考答案
【综合能力训练】
1．A 2．D 3．M P Q N， 4．5. 如图
255
256
6.
①OA ＝OB ＝OC ，AB=BC＝CA ②AB ＝AC=AD=BD，BC=CD ③OA=OB=OC=BC，AB=AC ④AB ＝BD ＝DC ＝CA=BC，AD ⑤AB=AD=DC，BD=AC＝BC
7.
8.
9．能 10.（1）30，（2）3，11. （略） 12.如图
13. 略 14.解：可以设计如下四种方案：
15. （1）= （2）1，如图答①所示 （3）3，如图答②所示 （4）以AB 为边的矩形
周长最小设矩形 BCED、ACHQ 、ABGF 的周长分别为L 1、L 2、L 3，BC ＝a ，AC=b，AB=c．易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S ．则有
2S 2S 2S 2S 2S +2a，L 2=+2b，L 3=+2c， ∴L 1-L 2=+2a(+2b) a b c a b
ab S
=2（a-b ），而ab ＞S,a ＞b, ∴L 1-L 2＞0即L 1＞L 2，同理L 2、L 3。
ab
L 1＝
作图及方案设计题
【重点、难点、考点】
重点：学习用图表及图像来表示数量关系 难点：图表中的数量关系及图形的割补
考点：这类问题能较好地考查学生用数学的能力，具有很强的开放性，主要有：统计中的频率分布直方图，函数图像所反映的实际意义，画出符合特殊要求的几何图形，分值在6％左右．
【经典范例引路】
例1 如图某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共70个，请回答下列问题：
（1）本周“百姓热线”共接到热线电话有多少个？ （2）有关道路交通问题的电话有多少个？
解：（1）70÷35％＝200（个） （2）200×20％＝40（个）
答：本周共接到热线电话200个，有关道路问题的电话有40个。
例2 方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连结为边的三角形叫做格点三角形．请你在下图10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明，要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母。
解：所画图形如图所示，证明如下：
证明：设方格纸中每个小正方形的边长为a ，则 A 1B 1＝2a,B 1C 1＝2a,A 1C 1＝a A 2B 2=a ，B 2C 2=5a ，A 2C 2＝5a
∴
A 1B 1B C A C 2a a 2a == 11== 11==
555a 5A 2B 2B C A C a a 2222A 1B 1B 1C 1A 1C 1
== 故△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2 A 2B 2B 2C 2A 2C 2
∴
【解题技巧点拨】
此类问题常用的知识和方法是：①利用统计初步中的频率分布直方图和扇形图解题；②利用函数图象实际应用意义解题；③利用几何图形中的边、角和面积之间联系解题；④利用几何图形的割补、全等、相似等解题，此外还需要丰富的联想、想象能力。
【综合能力训练】
1. 济南市近几年连年干旱，市政府采取各种措施扩大水源，措施之一是投资增建水厂，下图是济南市目前水源结构的圆形统计图，请你根据图中圆心角的大小计算出黄河水在供水中所占的百分比为（ ） ［2001，济南市］
A.64％ B.60％ C.54％ D.74％
1题图 2题图
2. 近年来国内生产总值年增长率的变化情况如图，从图上看，下列结论中不正确的是（ ）（2001，安徽省）
A ．1995—1999年，国内生产总值的年增率逐年减小 B ．2000年国内生产总值的年增长率开始回升 C ．这7年中，每年的国内生产总值不断增长 D ．这7年中，每年的国内生产总值有增有减
3．如图，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A 与 对应；B 与 对应；C 与 对应；D 与 对应．
4．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
11
的矩形，接着把面积为的矩22
111
的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进448
11111111
行下去，试利用图形提示的规律计算：+++++++= 。
[**************]
形等分成两个面积为
5. 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中沿着虚线画出四种不同的分法，把4× 4的正方形方格图形分割成两个全等图形（2002，宁波市）
6．在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度，例如正方形 ABCD（如图）有 AB＝BC ＝CD ＝DA ≠AC=BD，请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段．
7. 如图，△ABC 和△DEF 中，已知∠A ＝∠D7O °，∠B ＝50°，∠E ＝30°，画直线l ，m ，使直线l 将△ABC 分为两个小三角形，直线m 将△DEF 分成两个小三角形，并使△ABC 分成的两小三角形分别与DEF 分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数（画图工具不限，不要求写画法，只要画出一种方法）．
8. 两个全等的三角板可以拼出各种不同的图形，下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形要与原三角形有重叠部分）．（2001，福州市）
9. 如图，数轴上点A 对应的数为1
（1）请用尺规作图作出表示2的对应点B ，（只保留作图痕迹，不写已知、求作、作法和证明）；（2）能不能用尺规作图作出对应点，若不能，请说明理由；若能，请简要说明作法．（2001，临沂市）
10. 为了参加北京市申办2008年奥运会的活动．
（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没能制作，因此这班其余学生人均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？
（2）如果有两边长分别为1和a 其中(a＞1) 的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每面彩旗的长与宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法示意图，并写出相应a 的值（不写计算过程）．（2001，北京市）
11．数学课上，老师让每个同学用他们课前准备好的全等等腰三角形在桌面上拼出四边形，要求每个四边形只能由两个全等的等腰三角形拼合而成，请问用这种拼合的方法，最多可拼出几种不同类型的凸四边形？请你将拼出的每一类凸四边形画出一个示意图形（只要求
画出图形和标出图中相等的线段）．（2001，北京市大兴县）
【创新备考训练】
12. 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形。请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法按如图的实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）．
（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图形互不全等，能画几个画几个，至少画三个）．（2001，徐州市）
13. 苏学美同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图的含义．如图（1）请你用最基本的几何图形（如直线、射线、线段、角、三角形、四边形、多边形、圆、圆弧和函数图象等中若干个，为“环保专栏”在图（2）方框中设计一个报头图案，并简要说明图案的含义（有创意另加1分）．（2001，三明市）
14. 在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使
扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．（2002，黄冈市）
15. 阅读下面短文：
如图①△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个，矩形ACBD 和矩形AEFB （如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1 S2（填“＜”，“=”或“＞”) ．（2）如图③，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC 是锐角三角形，且BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图④把它画出来．（4）（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（2002，陕西省）
参考答案
【综合能力训练】
1．A 2．D 3．M P Q N， 4．5. 如图
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6.
①OA ＝OB ＝OC ，AB=BC＝CA ②AB ＝AC=AD=BD，BC=CD ③OA=OB=OC=BC，AB=AC ④AB ＝BD ＝DC ＝CA=BC，AD ⑤AB=AD=DC，BD=AC＝BC
7.
8.
9．能 10.（1）30，（2）3，11. （略） 12.如图
13. 略 14.解：可以设计如下四种方案：
15. （1）= （2）1，如图答①所示 （3）3，如图答②所示 （4）以AB 为边的矩形
周长最小设矩形 BCED、ACHQ 、ABGF 的周长分别为L 1、L 2、L 3，BC ＝a ，AC=b，AB=c．易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S ．则有
2S 2S 2S 2S 2S +2a，L 2=+2b，L 3=+2c， ∴L 1-L 2=+2a(+2b) a b c a b
ab S
=2（a-b ），而ab ＞S,a ＞b, ∴L 1-L 2＞0即L 1＞L 2，同理L 2、L 3。
ab
L 1＝