第一章（一上）部分参考答案
练习1
1. ④ 22×32×7×13 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13
2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3
6. 10010，99990 7. 9996，1000
8. 6：② 8：⑥⑦ 9：②④ 11：⑦⑧ 9. 16；27
10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11. 仿例2，A ＝5. 12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13. [1**********]. 14. 化为1001×xyz .
15. 6，∵1+2+3+…+9＝45是9的倍数. 16. 6，95.
17. 7. ∵1993除以4余数是1
18. 8个，只有1+4的和与2+3的和相减的差为0，能被11整除.
练习2
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18
2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693
5. 1155；990. ∵［3，5，11］＝165，其答案是165的整数倍.
6. A ＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90
8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15.
9. 119. ∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
10. ①105；②90. ①m ＝15，n ＝90它们都是15的倍数，最小值为15；②m ＝n ＝45它们
都是45的约数，最大值为45.
11. 2521， n(23×32×5×7)+1 (n为正整数) 12. −3a b c . 设==＝k, 则k 3＝1, … 2b c a
练习3
1. 25个 2. 2，9 3. 2，43
4. 1，19； 1，73或－1，－73； 3，5.
5 ⎨⎧x =13⎧x =7 ⎨ ⎩y =7⎩y =13
6. 1990＝2×5×199 有6组：
⎧a =2, ⎧a =2, ⎧a =5, ⎧a =5, ⎧a =199, ⎧a =199, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨b =5, ⎨b =199, ⎨b =2, ⎨b =199, ⎨b =2, ⎨b =5,
⎪c =199; ⎪c =5; ⎪c =199; ⎪c =2; ⎪c =5; ⎪c =2. ⎩⎩⎩⎩⎩⎩
⎧A =2⎧A =977. （A ） 8. ⎨ ⎨B =97B =2⎩⎩
9. 令N ＝2×3×5×7＝210，所求合数为N ＋2，N ＋3，……，N+7.
10. 分母只含2和5的质因数 11. 11×11 12. 37
13. 19, 31，37. 14. 128 ∵510510＝2×3×5×7×11×13×17
15. （A ） 16. 17 17. （B ）
练习4
2.
5.
6.
7. 只一个（最后一个） 3. 4 4. 无数多个，0 ①X ≠0，② 0或3 ③. X=1且Y ＝－3 （注意或与且的区别） 都不正确，0没有倒数；当n=0时2n －1不表示正整数. ①X>1或X0. 8. 四个（－2，－1，0，2） 练习5
1. 6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶
数次幂的差为0
2. 7 3. 算出个位数的差为零
4. 由32＋1写出通解 m=2＋4k (k为非负整数)
5. 可列表观察其个位数的规律
n=
2n =
2n +7n+2123 7n+26. 5； 1，3，7，9； 2，4，6，8； 3，7. 7. 5；0；5.
8. （B ）连续自然数平方的个位数规律是0，1，4，9，6，5，6，9，4，1；
9. （A ） (51+341)×30÷2 10. （C ）
11. 5. 因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
练习6
1. 2，－12，0，0 2. 5, －2, －2,1
3. ①2 ②－4 ③－1 ④7 ⑤4≤x ＜5 ⑥n
4. 7,4,1. 5. 20,10 6. －2, －2
7. ①78294， ②， ③， ④ 8. 399 9. 1 872211
8110. －2. 设2x －=t(t是整数) ，t ≤3x+1
12. 16个. ∵n n n n n n ++正好等于n, 若n 不能被2、3、6整除，则++＜n, 236236
⎡100⎤个. ⎥⎣6⎦∴适合的n 的个数是⎢
13. y=7. S=232+7y,除以11的余式是7y+1≠0，∴余数r=11－j=6，
⎛7y ⎞⎛7y +1⎞R ⎜⎟=6, R ⎜⎟=5，∴7y=11m=5(m是正整数) 且0≤y ≤9…… ⎝11⎠⎝11⎠
14. ②－x －y ， ⑤3x x −y
练习7
1. x ≠2，a>0, n 是整数
2. ①2n －1（n 是整数）②2n(n 是正整数)
③100a+10b+c(a是1到9的整数,b 、c 是0到9的整数)
④a n (n是正整数) ⑤a ＝－a(a
3. ①(1+n ) n m (m −1) ②（n －4）（n+6）(n≥5) ③ 22
n (n −1) 24. 10n －1 5. 121， 12321， 123…n …321 6. 4＋3＋2＋1＝10，1＋2＋3＋…＋（n －1）=
，⑤0.5×3n (n为自然数) 7. ①2n+1(n≥－2的整数) ，③2n －1（n 是正整数）
8. d％＝1－111 9. ①－，②6，0. ③. ④2，－4. 1+p ％32
10. 3－x 11.(A)
练习8
1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只，23只 5. 12
6. ∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，……
7. 设1表示红色，2代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9
列必与前8种中的一种相同 8. 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，
有2个 同是奇数或同是偶数，……
9. 如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同
10. 用A ，B ，C ，D ，E ，F 表示6个人.A 与其他5个人的关系有相识或不相识两种，其中必有一种不少于3人，不妨设A 与B ，C ，D3人都相识，这时，若B ，C ，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立. 若B ，C ，D3人都互不相识，那么结论也成立. 所以……
11. 仿例2. 把11个正整数放入｛1，2｝，｛3，4｝，｛5，6｝，…｛19，20｝这10个集合中，
必有一个集合放入两个，而两个连续正整数必互质.
12. 17. 先把任选3个数而一定不能组成三角形的所有数找出来：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共16个；若在这16个之外再任加一个数，必符合题意，故k 的最小值是17.
练习 9
1. 3， 30， 3×102， 3×10n-1. 2. 10n-1a 1+10n-2a 2_＋……+10an-1+an
3. 10，22+32+42+52，1+2+3+4+……+n
4. ①33333, 3333 ②3334， 3334 5.①192位， ②901 L L L [1**********]43n 个9位n 位
6. 9111（∵＝－ …… ） 22011×121112
7. a=1,2时，a a+1
8. 4,14,6； 4, 2m+2n－8, (m－2)(n－2)
9. 8,24,24,8； 8， 4×［（m －2）＋（n －2）+(p－2) ］,
2［（m －2）(n－2)+(m－2) ］(p－2)+(n－2)(p－2) ］, (m－2)(n－2)(p－2).
10. 64,8 11. 3333， 3334 12. n 个梯形时，周长为5n －2(n－1)
13. 9是9个数字的平均数；适当移动后关系仍不变；a ±1,a ±6,a ±7，a ±8；9≤a ≤23的整数 14. 22005－1, 2n+1－1 15. （A ）
16. 520. ∵每次所产生的新数串的各数和都比前一数串各数和增加了5（即8－3）
第一章（一上）部分参考答案
练习1
1. ④ 22×32×7×13 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13
2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3
6. 10010，99990 7. 9996，1000
8. 6：② 8：⑥⑦ 9：②④ 11：⑦⑧ 9. 16；27
10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11. 仿例2，A ＝5. 12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13. [1**********]. 14. 化为1001×xyz .
15. 6，∵1+2+3+…+9＝45是9的倍数. 16. 6，95.
17. 7. ∵1993除以4余数是1
18. 8个，只有1+4的和与2+3的和相减的差为0，能被11整除.
练习2
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18
2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693
5. 1155；990. ∵［3，5，11］＝165，其答案是165的整数倍.
6. A ＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90
8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15.
9. 119. ∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
10. ①105；②90. ①m ＝15，n ＝90它们都是15的倍数，最小值为15；②m ＝n ＝45它们
都是45的约数，最大值为45.
11. 2521， n(23×32×5×7)+1 (n为正整数) 12. −3a b c . 设==＝k, 则k 3＝1, … 2b c a
练习3
1. 25个 2. 2，9 3. 2，43
4. 1，19； 1，73或－1，－73； 3，5.
5 ⎨⎧x =13⎧x =7 ⎨ ⎩y =7⎩y =13
6. 1990＝2×5×199 有6组：
⎧a =2, ⎧a =2, ⎧a =5, ⎧a =5, ⎧a =199, ⎧a =199, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨b =5, ⎨b =199, ⎨b =2, ⎨b =199, ⎨b =2, ⎨b =5,
⎪c =199; ⎪c =5; ⎪c =199; ⎪c =2; ⎪c =5; ⎪c =2. ⎩⎩⎩⎩⎩⎩
⎧A =2⎧A =977. （A ） 8. ⎨ ⎨B =97B =2⎩⎩
9. 令N ＝2×3×5×7＝210，所求合数为N ＋2，N ＋3，……，N+7.
10. 分母只含2和5的质因数 11. 11×11 12. 37
13. 19, 31，37. 14. 128 ∵510510＝2×3×5×7×11×13×17
15. （A ） 16. 17 17. （B ）
练习4
2.
5.
6.
7. 只一个（最后一个） 3. 4 4. 无数多个，0 ①X ≠0，② 0或3 ③. X=1且Y ＝－3 （注意或与且的区别） 都不正确，0没有倒数；当n=0时2n －1不表示正整数. ①X>1或X0. 8. 四个（－2，－1，0，2） 练习5
1. 6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶
数次幂的差为0
2. 7 3. 算出个位数的差为零
4. 由32＋1写出通解 m=2＋4k (k为非负整数)
5. 可列表观察其个位数的规律
n=
2n =
2n +7n+2123 7n+26. 5； 1，3，7，9； 2，4，6，8； 3，7. 7. 5；0；5.
8. （B ）连续自然数平方的个位数规律是0，1，4，9，6，5，6，9，4，1；
9. （A ） (51+341)×30÷2 10. （C ）
11. 5. 因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
练习6
1. 2，－12，0，0 2. 5, －2, －2,1
3. ①2 ②－4 ③－1 ④7 ⑤4≤x ＜5 ⑥n
4. 7,4,1. 5. 20,10 6. －2, －2
7. ①78294， ②， ③， ④ 8. 399 9. 1 872211
8110. －2. 设2x －=t(t是整数) ，t ≤3x+1
12. 16个. ∵n n n n n n ++正好等于n, 若n 不能被2、3、6整除，则++＜n, 236236
⎡100⎤个. ⎥⎣6⎦∴适合的n 的个数是⎢
13. y=7. S=232+7y,除以11的余式是7y+1≠0，∴余数r=11－j=6，
⎛7y ⎞⎛7y +1⎞R ⎜⎟=6, R ⎜⎟=5，∴7y=11m=5(m是正整数) 且0≤y ≤9…… ⎝11⎠⎝11⎠
14. ②－x －y ， ⑤3x x −y
练习7
1. x ≠2，a>0, n 是整数
2. ①2n －1（n 是整数）②2n(n 是正整数)
③100a+10b+c(a是1到9的整数,b 、c 是0到9的整数)
④a n (n是正整数) ⑤a ＝－a(a
3. ①(1+n ) n m (m −1) ②（n －4）（n+6）(n≥5) ③ 22
n (n −1) 24. 10n －1 5. 121， 12321， 123…n …321 6. 4＋3＋2＋1＝10，1＋2＋3＋…＋（n －1）=
，⑤0.5×3n (n为自然数) 7. ①2n+1(n≥－2的整数) ，③2n －1（n 是正整数）
8. d％＝1－111 9. ①－，②6，0. ③. ④2，－4. 1+p ％32
10. 3－x 11.(A)
练习8
1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只，23只 5. 12
6. ∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，……
7. 设1表示红色，2代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9
列必与前8种中的一种相同 8. 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，
有2个 同是奇数或同是偶数，……
9. 如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同
10. 用A ，B ，C ，D ，E ，F 表示6个人.A 与其他5个人的关系有相识或不相识两种，其中必有一种不少于3人，不妨设A 与B ，C ，D3人都相识，这时，若B ，C ，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立. 若B ，C ，D3人都互不相识，那么结论也成立. 所以……
11. 仿例2. 把11个正整数放入｛1，2｝，｛3，4｝，｛5，6｝，…｛19，20｝这10个集合中，
必有一个集合放入两个，而两个连续正整数必互质.
12. 17. 先把任选3个数而一定不能组成三角形的所有数找出来：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共16个；若在这16个之外再任加一个数，必符合题意，故k 的最小值是17.
练习 9
1. 3， 30， 3×102， 3×10n-1. 2. 10n-1a 1+10n-2a 2_＋……+10an-1+an
3. 10，22+32+42+52，1+2+3+4+……+n
4. ①33333, 3333 ②3334， 3334 5.①192位， ②901 L L L [1**********]43n 个9位n 位
6. 9111（∵＝－ …… ） 22011×121112
7. a=1,2时，a a+1
8. 4,14,6； 4, 2m+2n－8, (m－2)(n－2)
9. 8,24,24,8； 8， 4×［（m －2）＋（n －2）+(p－2) ］,
2［（m －2）(n－2)+(m－2) ］(p－2)+(n－2)(p－2) ］, (m－2)(n－2)(p－2).
10. 64,8 11. 3333， 3334 12. n 个梯形时，周长为5n －2(n－1)
13. 9是9个数字的平均数；适当移动后关系仍不变；a ±1,a ±6,a ±7，a ±8；9≤a ≤23的整数 14. 22005－1, 2n+1－1 15. （A ）
16. 520. ∵每次所产生的新数串的各数和都比前一数串各数和增加了5（即8－3）