如果你可以放大或缩小10倍…… 如果把我们的身体所有部分按照比例放大或者缩小 10 倍，成为一名巨人或迷你人，你还能正常地存活吗？为什么蚂蚁之类体型很小的生物在相对于他们身高好多好多倍的地方摔下来也不会被摔死，而我们人类就不行？跳蚤真的是传说中生物界的跳高冠军？只要经过简单的物理分析，答案都将变得显然。 不靠谱的巨人国
不知道的人，常常以为世界可以按照任意比例放大或缩小而不会引起什么严重后果。比如著名的小说《格列佛游记》中，主人公就游历了巨人国和小人国这样神奇的地方，里面的巨人和小人正是常人的放大或缩小版本。虽说这些仅是荒诞小说中的情节，但并不妨碍我们去一探究竟，看看这种放缩是否存在着物理上的 bug。
先看看巨人国的情况。首先要说明的是，我们假设当体型放大之后，身体的基本构造都是一样的，即都是同样的元素、同样的分子、同样的蛋白质在起作用。也就是说，巨人们的身体密度和普通人类都是一样的。因此，他们的体重 m = ρV ∝ l 3 ，其中 l 为身高。那么单位面积上，他们骨头要承受的力为： F／S = mg／S ∝ ( l 3 )／( l 2 ) = l。这能说明什么呢？那就是，体型越大，单位面积上骨头要承受的力就越大，这将直接导致巨人国里的人要比我们容易骨折得多。 实际上，生物界里这一现象尤为明显。如果把一张蚂蚁的照片和一张大象的照片放大到同等大小去比较，很容易发现大象的腿要粗得多。如果真的把蚂蚁按照自身的比例放大到大象那么大，按照上一段中的分析，它一定站不起来，而大象为了能站立，它必须让自己的腿很粗才行。
当标度变换后，情况也会变得不一样。物理界的开山鼻祖伽利略在其著名的《关于两种新科学的对话》中提到过这一事实。下图就出自该书，如果一个动物的体型长度被放大了两倍，那么其骨头的粗细程度必须和原来不成比例。
小人国的视力问题
那小人国里的生活又是怎样的呢？根据前文的分析可知，他们骨折的可能性要小得多，但是他们也有自己的困扰，比如视力问题。按照光学的理论，眼睛最小分辨角的极限 θ = λ／D， D 为瞳孔直径，前面已经说过，由于他们是按比例缩小的，因此 θ ∝ l -1 。这导致的一个比较悲剧的后果就是：假定他们的身形比我们小 10 倍，明视距离（最适合正常人眼观察近处较小物体的距离）也就比我们小 10 倍，那么只有当他们的书上印的字和我们的一样大，而书中每行的字数必须比我们少 10 倍，每页里的行数也要少 10 倍时，他们才能看清。 在动物界中也确实存在着类似的问题，为了视力不至于太差，体型较小的动物的眼睛在身体中占得比例都偏大。婴儿一生下来的时候体型比我们小很多倍，可是眼睛的大小却基本已经和成人一样了。像老鼠之类的小动物也是，他们的体型只有人类体型的 1／10，可是眼睛大小却明显比人眼睛的 1／10 要大。为了保持一样的视力，眼睛大小与身型其实是呈几次方的关系，这里就不详细讨论了。 蚂蚁为什么摔不死
你见过蚂蚁从高处跌落到地上摔死吗？尽管这个跌落的高度是它身长的很多倍。要知道我们人类只要从比身高高几倍，也就是几米高的地方摔下来就会一命呜呼。这是为什么呢？
除了前面提到的体型越小越不容易骨折这方面的原因，还有另一个很重要的原因，就是空气阻力。当从很高的高处跌落时，由于空气阻力的作用（在速度很小时，空气阻力正比于面积且正比于速度），最终下落速度将是匀速的，称之为极限速度 v，此时空气阻力和重力平衡。又因为 Mg ∝ l 3 ，而空气阻力 f ∝ S ∝ l 2 ，因此 v ∝ l。对于蚂蚁来说，它的体型如此之小，以至于极限速度就会变得很小，不论从多高的地方落下，只要蚂蚁能承受这么大的落地速度就不会摔死了。
跳蚤是生物界的跳高冠军？
有一个流传很广的说法是，跳蚤是自然界中的跳高冠军，它以那么小的体型就能跳出 1 米的高度，如果它长得像人那么高，就能跳出 1 千米的高度了！这个说法显然并不靠谱，它仍然是犯了直接按照几何比例去放大的错误。
要研究不同生物能跳到的最大高度，合理的假设是设对所有的动物，每单位质量上的肌肉所提供的能量大体相等。如果按照这个假设，那么跳到高度 h 所需要的能量就为 mgh∝ m ∝ l^3，而肌肉所能提供的能量 E ∝ m ∝ l^3，由这两个式子，我们很容易发现能跳到的高度 h 与身高 l 无关！理论上来说，不论多大的动物，它们能跳出的最高高度都应当是大体相等的（有些动物没有进化出特别适合跳跃的肌肉，自然没有办法跳的高）。因此，要比较各种生物里到底谁是跳高冠军，那只要直接比较跳高高度就好了。倘若除以身高，必然就会让矮个占了便宜。
其实，上述的这几个例子，都属于物理中称为量纲分析的方法。虽然得出的结论并不精确，但是至少它在定性上是正确的。在定量研究问题之前，先通过简单的分析得到定性的结论，往往是十分重要的。
参考资料： 《定性与半定量物理学》
如果你可以放大或缩小10倍…… 如果把我们的身体所有部分按照比例放大或者缩小 10 倍，成为一名巨人或迷你人，你还能正常地存活吗？为什么蚂蚁之类体型很小的生物在相对于他们身高好多好多倍的地方摔下来也不会被摔死，而我们人类就不行？跳蚤真的是传说中生物界的跳高冠军？只要经过简单的物理分析，答案都将变得显然。 不靠谱的巨人国
不知道的人，常常以为世界可以按照任意比例放大或缩小而不会引起什么严重后果。比如著名的小说《格列佛游记》中，主人公就游历了巨人国和小人国这样神奇的地方，里面的巨人和小人正是常人的放大或缩小版本。虽说这些仅是荒诞小说中的情节，但并不妨碍我们去一探究竟，看看这种放缩是否存在着物理上的 bug。
先看看巨人国的情况。首先要说明的是，我们假设当体型放大之后，身体的基本构造都是一样的，即都是同样的元素、同样的分子、同样的蛋白质在起作用。也就是说，巨人们的身体密度和普通人类都是一样的。因此，他们的体重 m = ρV ∝ l 3 ，其中 l 为身高。那么单位面积上，他们骨头要承受的力为： F／S = mg／S ∝ ( l 3 )／( l 2 ) = l。这能说明什么呢？那就是，体型越大，单位面积上骨头要承受的力就越大，这将直接导致巨人国里的人要比我们容易骨折得多。 实际上，生物界里这一现象尤为明显。如果把一张蚂蚁的照片和一张大象的照片放大到同等大小去比较，很容易发现大象的腿要粗得多。如果真的把蚂蚁按照自身的比例放大到大象那么大，按照上一段中的分析，它一定站不起来，而大象为了能站立，它必须让自己的腿很粗才行。
当标度变换后，情况也会变得不一样。物理界的开山鼻祖伽利略在其著名的《关于两种新科学的对话》中提到过这一事实。下图就出自该书，如果一个动物的体型长度被放大了两倍，那么其骨头的粗细程度必须和原来不成比例。
小人国的视力问题
那小人国里的生活又是怎样的呢？根据前文的分析可知，他们骨折的可能性要小得多，但是他们也有自己的困扰，比如视力问题。按照光学的理论，眼睛最小分辨角的极限 θ = λ／D， D 为瞳孔直径，前面已经说过，由于他们是按比例缩小的，因此 θ ∝ l -1 。这导致的一个比较悲剧的后果就是：假定他们的身形比我们小 10 倍，明视距离（最适合正常人眼观察近处较小物体的距离）也就比我们小 10 倍，那么只有当他们的书上印的字和我们的一样大，而书中每行的字数必须比我们少 10 倍，每页里的行数也要少 10 倍时，他们才能看清。 在动物界中也确实存在着类似的问题，为了视力不至于太差，体型较小的动物的眼睛在身体中占得比例都偏大。婴儿一生下来的时候体型比我们小很多倍，可是眼睛的大小却基本已经和成人一样了。像老鼠之类的小动物也是，他们的体型只有人类体型的 1／10，可是眼睛大小却明显比人眼睛的 1／10 要大。为了保持一样的视力，眼睛大小与身型其实是呈几次方的关系，这里就不详细讨论了。 蚂蚁为什么摔不死
你见过蚂蚁从高处跌落到地上摔死吗？尽管这个跌落的高度是它身长的很多倍。要知道我们人类只要从比身高高几倍，也就是几米高的地方摔下来就会一命呜呼。这是为什么呢？
除了前面提到的体型越小越不容易骨折这方面的原因，还有另一个很重要的原因，就是空气阻力。当从很高的高处跌落时，由于空气阻力的作用（在速度很小时，空气阻力正比于面积且正比于速度），最终下落速度将是匀速的，称之为极限速度 v，此时空气阻力和重力平衡。又因为 Mg ∝ l 3 ，而空气阻力 f ∝ S ∝ l 2 ，因此 v ∝ l。对于蚂蚁来说，它的体型如此之小，以至于极限速度就会变得很小，不论从多高的地方落下，只要蚂蚁能承受这么大的落地速度就不会摔死了。
跳蚤是生物界的跳高冠军？
有一个流传很广的说法是，跳蚤是自然界中的跳高冠军，它以那么小的体型就能跳出 1 米的高度，如果它长得像人那么高，就能跳出 1 千米的高度了！这个说法显然并不靠谱，它仍然是犯了直接按照几何比例去放大的错误。
要研究不同生物能跳到的最大高度，合理的假设是设对所有的动物，每单位质量上的肌肉所提供的能量大体相等。如果按照这个假设，那么跳到高度 h 所需要的能量就为 mgh∝ m ∝ l^3，而肌肉所能提供的能量 E ∝ m ∝ l^3，由这两个式子，我们很容易发现能跳到的高度 h 与身高 l 无关！理论上来说，不论多大的动物，它们能跳出的最高高度都应当是大体相等的（有些动物没有进化出特别适合跳跃的肌肉，自然没有办法跳的高）。因此，要比较各种生物里到底谁是跳高冠军，那只要直接比较跳高高度就好了。倘若除以身高，必然就会让矮个占了便宜。
其实，上述的这几个例子，都属于物理中称为量纲分析的方法。虽然得出的结论并不精确，但是至少它在定性上是正确的。在定量研究问题之前，先通过简单的分析得到定性的结论，往往是十分重要的。
参考资料： 《定性与半定量物理学》