第六章 数理统计的基本概念
一. 填空题
1. 若ξ1, ξ2, , ξn 是取自正态总体N (μ, σ2) 的样本，
σ1n
则=∑ξi 服从分布N (μ, ) n i =1n
2(n -1) 2χ(n -1) ； 2
S ~2. 样本(X 1, X 2, , X n ) 来自总体X ~N (μ, σ) 则 n
σ2
1n n 2
(X -X ) 2。 (X -μ) ~ _t (n -1) __。其中为样本均值，S n =∑n -1i =1S n
3. 设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体N (0. 22) X =a
2
4.
(y 1, U
5. 设X 为X
6. 令T =, 则T 2~(1,n .
X 22
解：由T =, 得T =. 因为随机变量X ~N (0,1), 所以X 2~χ2(1).
n X 22
~F (1,n ). 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得T =Y n
49
1n X k 2
7. 设X 1, X 2, , X n 是总体N (0,1)的样本, 则统计量服从的分布为 ∑2
n -1k =2X 1
F (n -1,1) (需写出分布的自由度).
解：由X i ~N (0,1),i =1,2, , n 知X ~χ(1),∑X k 2~χ2(n -1) , 于是
21
2
n
∑X
k =1
n
2k
k =2
n -1)
X 12/1
2
1n X k 2=~F (n -1,1). ∑2n -1k =2X 1
8. 总体X ~N (1,2), X 1, X 2, X 3, X 4为总体X 的一个样本,
设
从
9. 对”)
(1) 在 ， 则 样 本 对 )
ˆ) -θ≠0则 称 θ(2) 若 E (θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )
(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，x 1, x 2 是X 的一个样本 ，
12
则统计量x 1+x 2是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )
33
θθˆˆˆ) =E (θˆ) =θ且 D (θ)
1
2
1
2
计 θ 有 效 。 ( 错 )
50
ˆ-θ|≥ε}=0 则称 θn (5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果lim P {|θn
n →∞
是θ 的一致估计量 。 ( 对 )
21n
（6）样本方差D n =是总体X ~N (μ, σ2) 中σ2 的无偏 X -X ∑i
n -1i =1
()
1n
估计量。D =∑X i -X 是总体X 中σ2的有偏估计。 （ 对 ）
n i =1
10. 设X 1, X 2, X 3是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量
5X 313111ˆ1=X 1+X 2+X 3, u ˆ2=X 1+X 2+ˆ3X 3
μ, u
51023412 都
*
()
2
是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则
1、ξA C n
2、(ξi -) 2，i =112S 2=n i n -1的A 3A 、C 、
2-1
~N (0, 1)
~N (0, 1)
B 、D 、
4
~N (0. 1)
-1
2/n /n
4、设ξ1, ξ2, ξn 是总体ξ~N (0, 1) 的样本，ξ, S 分别是样本的均值和样本标准差，
则有( C )
A 、n ~N (0, 1) B、~N (0, 1) C、
~N (0, 1)
∑ξ
i =1
n
2i
~x 2(n ) D、/S ~t (n -1)
, X n ) 来 自 某 正 态 总 体， 为 样 本 平 5.. 简 单 随 机 样 本 (X 1, X 2,
均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
51
( A ) 与 ( C )
∑(X
i =1
n
i
-¡) 2独 立
独 立
( B )X i 与X j 独 立 ( 当 i
≠j ) ≠j )
∑X
i =1
n
i 与
∑X
i =1
n
2i ( D )X i 与X 2j 独 立 ( 当 i
6. 设 X 1, X 2, , X n 1， 来自总体X , X
体Y £, Y
2
S 1n 1
2
~N (μ1, σ1), Y 1, Y 2, , Y n 2 来自总
~N (μ
2
, σ22) ， 且 X 与 Y 独 立。n 21
1n 11
=X , Y =∑i , n 1i =1n 2
∑Y i , ,
i =1
n 2
1n 1122
=(X -) , S =∑i , 2n 2
n 1i =1n 2
∑(Y i , -) 2,
i =1
2
21+2~N (0, 1)
则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) ξ
=[(X -) -(μ1--μ2)]
7. 2的无偏估计量是1n
、X i ∑n -1i =131
1+X 2+X 3，8. 3102
ˆ2列说法正确的是μ
1, 2, 3都是=E (X ) 的无偏估计且有效性顺序为1>μˆ2>μˆ3 A 、A ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为B 、μ
ˆ2>μˆ1>μˆ3 μ
ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C 、μ
ˆ3>μˆ2>μˆ1 μ
ˆ1, μˆ2, μˆ3不全是μ=E (X ) 的无偏估计，无法比 D 、μ
52
三. 计算题
1、在总体X ~N (30, 22) 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.
22122
解：因X ~N (30, 2) ，故X ~N (30, ) ，即X ~N (30, () )
216
X -30
∴P (20
2
2、设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N (1000, σ2) (单位：小时) ，抽取一容量 为9的样本，其均方差S =100，问P (X
, 解：因σ未知，不能用X =N (1000
而T 2
σ2
) 来解题，
∴
(T >1. 8) ∴ 3、设X X i 2>4) .
解：X ∴
∑(2i =1
7
16) ≈0. 025
4、设总体X ~N (0, 1) ，从此总体中取一个容量为6的样本X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6， 设Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，试决定常数C ，使随机变量CY 服 从x 2分布.
解：X 1+X 2+X 3~N (0, 3) ，X 4+X 5+X 6~N (0, 3)
∴
X 1+X 2+X 33
X 1+X 2+X 3
~N (0, 1) ，) 2+(
X 4+X 5+X 6
3
~N (0, 1)
∴(
X 4+X 5+X 6
) 2~x 2(2)
53
2
即(X 1+X 2+X 3) +
131
(X 4+X 5+X 6) 2~x 2(2) 3
∴C =
1
时，CY ~x 2(2) 3
5、设随机变量T 服从t (n ) 分布，求T 2的分布.
X
解：因为T =，其中X ~N (0, 1) ，Y ~x 2(n ) ，
/n
X 2X 2/12
T == X 2~x 2(1) ∴T 2~F (1, n )
Y /n Y /n
6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 。
( 已 知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ
解
。
而 ≈ 2
7. 设 心 矩 μr 的 总
体r 阶
证 μr
r 估 计 。
上 相 等 , 说 明 样
本 的
8. 设总体X ~N (0,22) , X 1, X 2, , X 10为来自总体X 的样本. 令
⎫⎛⎫⎛10
Y = ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪.
⎝i =1⎭⎝j =6⎭
5
2
2
试确定常数C , 使CY 服从χ2分布, 并指出其自由度.
解：由X ~N (0,22) , 得
X i
~N (0,1),i =1, 2, ,10. 2
又X 1, X 2, , X 10互相独立,
54
故
15110
X j ~N (0,5), ∑X i ~N (0,5),2∑2i =1j =6
∑X
5
i
∑X
~N (0,1),
10
j
~N (0,1),
且二者独立.
从而有 得C =
⎫1⎡⎛5⎫⎛10
⎢ ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪20⎢⎝i =1⎭⎝j =6⎭⎣
2
2
⎤
⎥~χ2(2), ⎥⎦
1
, χ2分布的自由度为2. 20
9. 设X 1, X 2, , X 4与Y 1, Y 2, , Y 5分别是来自正态N (0,1)与Y 的样本,
Z =
解:
+4=7.
10. 设 两 个 相 互 独 立 、Y n 的 均 值 ，
试 σ 的 概 率 大 ⎛σ⎫22⎫⎪则 -~N ⎛ 解 ： 由 于 及 均 服 从 N μ, 0, σ⎪ ⎪n ⎭⎝n ⎭⎝
要 P ->σ=P -(n σ) >n 2≈0. 01
即
P -(2n σ)
))
即 2Φ
n 2-1=0. 99 即 Φ
n 2=0. 995
)
2=2. ∴ 取 n = 14 58.
55
第六章 数理统计的基本概念
一. 填空题
1. 若ξ1, ξ2, , ξn 是取自正态总体N (μ, σ2) 的样本，
σ1n
则=∑ξi 服从分布N (μ, ) n i =1n
2(n -1) 2χ(n -1) ； 2
S ~2. 样本(X 1, X 2, , X n ) 来自总体X ~N (μ, σ) 则 n
σ2
1n n 2
(X -X ) 2。 (X -μ) ~ _t (n -1) __。其中为样本均值，S n =∑n -1i =1S n
3. 设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体N (0. 22) X =a
2
4.
(y 1, U
5. 设X 为X
6. 令T =, 则T 2~(1,n .
X 22
解：由T =, 得T =. 因为随机变量X ~N (0,1), 所以X 2~χ2(1).
n X 22
~F (1,n ). 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得T =Y n
49
1n X k 2
7. 设X 1, X 2, , X n 是总体N (0,1)的样本, 则统计量服从的分布为 ∑2
n -1k =2X 1
F (n -1,1) (需写出分布的自由度).
解：由X i ~N (0,1),i =1,2, , n 知X ~χ(1),∑X k 2~χ2(n -1) , 于是
21
2
n
∑X
k =1
n
2k
k =2
n -1)
X 12/1
2
1n X k 2=~F (n -1,1). ∑2n -1k =2X 1
8. 总体X ~N (1,2), X 1, X 2, X 3, X 4为总体X 的一个样本,
设
从
9. 对”)
(1) 在 ， 则 样 本 对 )
ˆ) -θ≠0则 称 θ(2) 若 E (θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )
(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，x 1, x 2 是X 的一个样本 ，
12
则统计量x 1+x 2是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )
33
θθˆˆˆ) =E (θˆ) =θ且 D (θ)
1
2
1
2
计 θ 有 效 。 ( 错 )
50
ˆ-θ|≥ε}=0 则称 θn (5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果lim P {|θn
n →∞
是θ 的一致估计量 。 ( 对 )
21n
（6）样本方差D n =是总体X ~N (μ, σ2) 中σ2 的无偏 X -X ∑i
n -1i =1
()
1n
估计量。D =∑X i -X 是总体X 中σ2的有偏估计。 （ 对 ）
n i =1
10. 设X 1, X 2, X 3是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量
5X 313111ˆ1=X 1+X 2+X 3, u ˆ2=X 1+X 2+ˆ3X 3
μ, u
51023412 都
*
()
2
是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则
1、ξA C n
2、(ξi -) 2，i =112S 2=n i n -1的A 3A 、C 、
2-1
~N (0, 1)
~N (0, 1)
B 、D 、
4
~N (0. 1)
-1
2/n /n
4、设ξ1, ξ2, ξn 是总体ξ~N (0, 1) 的样本，ξ, S 分别是样本的均值和样本标准差，
则有( C )
A 、n ~N (0, 1) B、~N (0, 1) C、
~N (0, 1)
∑ξ
i =1
n
2i
~x 2(n ) D、/S ~t (n -1)
, X n ) 来 自 某 正 态 总 体， 为 样 本 平 5.. 简 单 随 机 样 本 (X 1, X 2,
均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
51
( A ) 与 ( C )
∑(X
i =1
n
i
-¡) 2独 立
独 立
( B )X i 与X j 独 立 ( 当 i
≠j ) ≠j )
∑X
i =1
n
i 与
∑X
i =1
n
2i ( D )X i 与X 2j 独 立 ( 当 i
6. 设 X 1, X 2, , X n 1， 来自总体X , X
体Y £, Y
2
S 1n 1
2
~N (μ1, σ1), Y 1, Y 2, , Y n 2 来自总
~N (μ
2
, σ22) ， 且 X 与 Y 独 立。n 21
1n 11
=X , Y =∑i , n 1i =1n 2
∑Y i , ,
i =1
n 2
1n 1122
=(X -) , S =∑i , 2n 2
n 1i =1n 2
∑(Y i , -) 2,
i =1
2
21+2~N (0, 1)
则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) ξ
=[(X -) -(μ1--μ2)]
7. 2的无偏估计量是1n
、X i ∑n -1i =131
1+X 2+X 3，8. 3102
ˆ2列说法正确的是μ
1, 2, 3都是=E (X ) 的无偏估计且有效性顺序为1>μˆ2>μˆ3 A 、A ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为B 、μ
ˆ2>μˆ1>μˆ3 μ
ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C 、μ
ˆ3>μˆ2>μˆ1 μ
ˆ1, μˆ2, μˆ3不全是μ=E (X ) 的无偏估计，无法比 D 、μ
52
三. 计算题
1、在总体X ~N (30, 22) 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.
22122
解：因X ~N (30, 2) ，故X ~N (30, ) ，即X ~N (30, () )
216
X -30
∴P (20
2
2、设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N (1000, σ2) (单位：小时) ，抽取一容量 为9的样本，其均方差S =100，问P (X
, 解：因σ未知，不能用X =N (1000
而T 2
σ2
) 来解题，
∴
(T >1. 8) ∴ 3、设X X i 2>4) .
解：X ∴
∑(2i =1
7
16) ≈0. 025
4、设总体X ~N (0, 1) ，从此总体中取一个容量为6的样本X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6， 设Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，试决定常数C ，使随机变量CY 服 从x 2分布.
解：X 1+X 2+X 3~N (0, 3) ，X 4+X 5+X 6~N (0, 3)
∴
X 1+X 2+X 33
X 1+X 2+X 3
~N (0, 1) ，) 2+(
X 4+X 5+X 6
3
~N (0, 1)
∴(
X 4+X 5+X 6
) 2~x 2(2)
53
2
即(X 1+X 2+X 3) +
131
(X 4+X 5+X 6) 2~x 2(2) 3
∴C =
1
时，CY ~x 2(2) 3
5、设随机变量T 服从t (n ) 分布，求T 2的分布.
X
解：因为T =，其中X ~N (0, 1) ，Y ~x 2(n ) ，
/n
X 2X 2/12
T == X 2~x 2(1) ∴T 2~F (1, n )
Y /n Y /n
6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 。
( 已 知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ
解
。
而 ≈ 2
7. 设 心 矩 μr 的 总
体r 阶
证 μr
r 估 计 。
上 相 等 , 说 明 样
本 的
8. 设总体X ~N (0,22) , X 1, X 2, , X 10为来自总体X 的样本. 令
⎫⎛⎫⎛10
Y = ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪.
⎝i =1⎭⎝j =6⎭
5
2
2
试确定常数C , 使CY 服从χ2分布, 并指出其自由度.
解：由X ~N (0,22) , 得
X i
~N (0,1),i =1, 2, ,10. 2
又X 1, X 2, , X 10互相独立,
54
故
15110
X j ~N (0,5), ∑X i ~N (0,5),2∑2i =1j =6
∑X
5
i
∑X
~N (0,1),
10
j
~N (0,1),
且二者独立.
从而有 得C =
⎫1⎡⎛5⎫⎛10
⎢ ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪20⎢⎝i =1⎭⎝j =6⎭⎣
2
2
⎤
⎥~χ2(2), ⎥⎦
1
, χ2分布的自由度为2. 20
9. 设X 1, X 2, , X 4与Y 1, Y 2, , Y 5分别是来自正态N (0,1)与Y 的样本,
Z =
解:
+4=7.
10. 设 两 个 相 互 独 立 、Y n 的 均 值 ，
试 σ 的 概 率 大 ⎛σ⎫22⎫⎪则 -~N ⎛ 解 ： 由 于 及 均 服 从 N μ, 0, σ⎪ ⎪n ⎭⎝n ⎭⎝
要 P ->σ=P -(n σ) >n 2≈0. 01
即
P -(2n σ)
))
即 2Φ
n 2-1=0. 99 即 Φ
n 2=0. 995
)
2=2. ∴ 取 n = 14 58.
55