中考压轴题型解法举例(数形结合)

中考压轴题型解法举例（数形结合）

1. 如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A (-4，0) ，B (-2，0) ，E (0，8) ．（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形

MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取

值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点A (-点B (-点E (40，) ，20，) ，08，) 关于原点的对称点分别为D (4，0) ，C (2，0) ，

F (0，-8) ．

设抛物线C 2的解析式是

y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，

⎧16a +4b +c =0，⎪

则⎨4a +2b +c =0， ⎪c =-8．⎩，⎧a =-1⎪

解得⎨b =6，

⎪c =-8．⎩

所以所求抛物线的解析式是y =-x +6x -8．（2）由（1）可计算得点M (-3，-1) ，N (31)，．过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，AD =2OD =8-2t ，NH =1+2t ．根据中心对称的性质OA =OD ，OM =ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以S =2S △ADN ．

所以，四边形MDNA 的面积S =(8-2t )(1+2t ) =-4t +14t +8．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t

所以，所求关系式是S =-4t 2+14t +8，t 的取值范围是0≤t

⎛

⎝7⎫81

（0≤t

4⎭4

781时，S 有最大值． 44

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD ，MN ，所以当AD =MN 时四边形

MDNA 是矩形．

所以OD =ON ．所以OD 2=ON 2=OH 2+NH 2．所以t 2+4t 2-2=

0．解之得t 1=

2，t 2=2（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA

可以形成矩形，此时t =2．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。此题代表了几何代数相结合的这一类题型，他要求学生的基本功扎实，熟练掌握常规的求函数解析式的方法和二次函数求最值的方法。再次需要特别提出的是，绝大多数学生在求二次函数最值的时候用的是配方法或者对称轴坐标代入法，当然这本身是没有错的，只是在用这些方法求二次函数最值的时候要注意，这个二次函数的对称轴在自变量x 的取值范围之内吗？如果不在，那又该怎么做？当然这个题中二次函数的对称轴是在自变量x 的取值范围之内的，但是希望不要因此而产生错觉，觉得每个题都是如此。另外本题的第四问就是一个典型的由几何图形关系转变成代数关系的问题（由四边形为矩形得出对角线段相等）。那么相似的，当某三个点连接而成的图形成等腰或等边或直角三角形时，能转变成怎样的线段关系？当某四个点连接而成的图形是正方形是时，有怎样的线段关系？这些都是我们平时要思考的问题。

x +bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，43

点A 的横坐标为-1，过点C (0，点P 是线段BC 上3) 的直线y =-x +3与x 轴交于点Q ，

的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y =-（1）确定b ，c 的值：b =_____，c =_____；

（2）写出点B ，Q ，P 的坐标（其中Q ，P 用含t 的式子表示）：

B (___，___)，Q (___，___)，P (___，___)；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使△PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

[解]（1）b =9

c =3

（2）B (4，0) Q (4t ，0) P (4-4t ，3t )

（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ =PB 时

PH ⊥OB ，则GH =HB ∴4-4t -4t =4t ∴t =

②当PB =QB 时得4-4t =5t ∴t =

③当PQ =QB 时，如图

解法一：过Q 作QD ⊥BP ，又PQ =QB 则BD =BP 5

2=2

又△BDQ ∽△BOC

∴

BD BQ BO =

BC 5t

∴4-4t 4=5 ∴t =32

解法二：作Rt △OBC 斜边中线OE

C O

则OE =BE ，BE =

BC 5

=， 22

此时△OEB ∽△PQB

BE OB

∴ =

BQ PB

∴=

4-4t 5t 32

∴t =

解法三：在Rt △PHQ 中有QH +PH =PQ ∴(8t -4) +(3t ) =(4-4t ) ∴57t 2-32t =0 ∴t =

，t =0（舍去） 57

又 0

1432

∴当t =或或时，△PQB 为等腰三角形．

3957

解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时

需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析

Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直接直接用t

表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的0

3. 如图1，已知直线y =-

，B 两点． x 与抛物线y =-x 2+6交于A

（1）求A ，B 两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A ，B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A ，B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

图1 图2

12⎧y =-x +6⎪⎧x 1=6⎧x 2=-4⎪4 ⎨[解]（1）解：依题意得⎨解之得⎨

⎩y 1=-3⎩y 2=2⎪y =-1x

⎪⎩2∴A (6，-3) ，B (-4，2)

（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C ，D 两点，交AB 于M （如图1）由（1

）可知：OA =

OB =∴AB =

∴OM =

1 AB -OB =

2图1

过B 作BE ⊥x 轴，E 为垂足

OC OM 5

由△BEO ∽△OCM ，得：=，∴OC =，

OB OE 4

同理：OD =，∴C ，0⎪，D 0，-设CD 的解析式为y =kx +b (k ≠

⎛5⎝4⎫⎭⎛⎝5⎫⎪ 2⎭

第26题

5⎧0=k +b ⎧k =2⎪⎪⎪4∴⎨ ∴⎨5

b =-⎪-5=b ⎪⎩2⎪⎩2

∴AB 的垂直平分线的解析式为：y =2x -．

（3）若存在点P 使△APB 的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交

点的直线y =-x +m 上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G ，H 两点（如图2）．

1⎧y =-x +m ⎪⎪2∴⎨

1⎪y =-x 2+6⎪⎩4

∴x 2-x +m -6=0 42

抛物线与直线只有一个交点， 1⎛1⎫

∴ -⎪-4⨯(m -6) =0，

4⎝2⎭

∴m =

25⎛23⎫ ∴P 1⎪ 4⎝4⎭

在直线GH ：y =-

125

x +中， 24

⎛25⎫⎛25⎫

∴G 0⎪，H 0

⎪

⎝2⎭⎝4⎭

∴GH =

设O 到GH 的距离为d ，

11∴GH d = OG OH 22112525∴⨯d =⨯⨯24224

∴d = AB ∥GH ，

∴P 到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．

图2

另解：过P 做PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h

与PC 夹角固定），则S △PBA 最大→问题转化为求PC 最大值，设P （x,

）,C （x,

）, 从而可以表示PC 长度，进行极值求取。

最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。存在某点，使得某个图形的面积最大，这是我们遇见过不少次数的题型。这类题型一般有两种解法，通过作图的几何方法得到最大的高（底相同时），或者把这个图形的面积表示成关于某个自变量的二次函数，通过求二次函数的最值来求图形面积的最值。本题介绍的是两种几何方法，具体题目中要根据计算的繁简程度灵活确定解题方法。（此题中出现求已知线段的垂直评分线解析式，在其他的题目中，可能不是求垂直平分线，而是求已知线段的一条垂线解析式，只不过垂足不是中点而已。这一类的直线方程该怎么求，是常考的考点，自己要熟练掌握。

10)，4)，顶点C ，D 在第一象4. 如图①，正方形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(0，(8，0)出发，限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点E (4，

沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P ，Q 两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P ，Q 两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）若点P ，Q 保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使∠OPQ =90的点P 有个．

⎛b 4ac -b 2⎫

（抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的顶点坐标是 -⎪． 2a 4a ⎝⎭

[解]（1）作BF ⊥y 轴于F ．

A (0，10)，B (8，4)，

∴FB =8，FA =6． ∴AB =10．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又 AB =1010，÷10=1．

∴P ，Q 两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG ⊥y 轴于G ，则PG ∥BF ．

∴

GA FA =AP AB ，即GA 6=t

．

∴GA =3

t ．

∴OG =10-3

t ．

OQ =4+t ，

∴S =12⨯OQ ⨯OG =1⎛

3⎫2(t +4) ⎝

10-5t ⎪⎭．

即S =-

310t 2+19

t +20． 19 -b 2a =-=19，且0≤19≤102⨯⎛ 3⎫3

3， ⎝-10⎪⎭

∴当t =

3时，S 有最大值．此时GP =476331

5t =15，OG =10-5t =5

，

∴点P 的坐标为⎛ 7631⎫

⎝155⎪⎭

．

8分）（

方法二：当t =5时，OG =7，OQ =9，S =设所求函数关系式为S =at 2+bt +20．

163

． OG OQ =

⎛63⎫

28)，抛物线过点(10， 5⎪，

⎝2⎭

⎧100a +10b +20=28，⎪∴⎨63

25a +5b +20=. ⎪⎩23⎧a =-，⎪⎪10∴⎨

19⎪b =. ⎪5⎩∴S =-

3219

t +t +20． 105

19b 1919 -=-=，且0≤≤10， 2a 3⎛3⎫3

2⨯ -⎪⎝10⎭

∴当t =

时，S 有最大值． 37631

此时GP =，OG =，

155

⎛7631⎫

∴点P 的坐标为 ⎪．

⎝155⎭

（4）2．

．

5. 如图①，Rt △ABC 中，∠B =90 ，∠CAB =30 ．它的顶点A 的坐标为(10，0) ，顶点B

，AB =10，点P 从点A 出发，沿A →B →C 的方向匀速运动，同时点的坐标为(52) 出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运Q 从点D (0，

动，设运动的时间为t 秒．（1）求∠BAO 的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）如果点P ，Q 保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点

P 沿这两边运动时，使∠OPQ =90 的点P 有几个？请说明理由．

x t （第29题图①）

（第29题图②）

解:（1）∠BAO =60 ．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒．（3

）P (10-t ) （0≤t ≤5）

S =1

2(2t +2)(10-t )

=-⎛ ⎝t -9⎫121

2⎪⎭

4． ∴当t =

92时，S 有最大值为1214

，

此时P

⎛11 2． ⎝⎭

（4）当点P 沿这两边运动时，∠OPQ =90

的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，∠OPQ

，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，作∠OPM =90 交y 轴于点M ，作PH ⊥y 轴于点H ，

由△OPH ∽△

OPM 得：OM =

=11.5，所以OQ >OM ，从而∠OPQ >90

．

所以当点P 在AB 边上运动时，∠OPQ =90

的点P 有1个．

第29题图①

②同理当点P 在BC

边上运动时，可算得OQ =12+

=17.8． 3

⎛而构成直角时交y

轴于 0

，3=20.2>17.8， 3⎝⎭

所以∠OCQ

点评：稍微留心点的同学不难发现，虽然第四题和第五题图像数据都不相同，但是可以说他们基本上就是同一个题。动点问题一直是学生们觉得比较难理解的问题，其实在动点问题中，某些函数关系却是“静止不变”的，另外，由函数关系画函数图像，或是由函数图像求函数关系式，都是初三数学里面应该牢牢掌握的基本功。在这里再重新说一遍动点问题的一般解题步骤：设出合适的未知数x （或者是题目已经给出的自变量x ）、用含自变量x 的整式表示相关量、根据题目直接给出或间接给出（即对题目条件进行转化得到的）的条件建立方程，解出x 的值，并保留符合题意及实际情况的值。另外，对题目已知条件进行转化往往是解题的关键，一些转化方法，比如两直线平行时，四边形为特殊四边形时该怎么处理。下面的几个题中将会涉及到，希望自己用心体会，总结为自己的方法。 6. （本题满分14分）如图12，直线y =-

x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已3

知二次函数的图象经过点A 、C 和点B (-1, 0).

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒

个单位长度的速度沿折线OAC 2

按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →

当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动. 设D 、E 同时从点O 出发t 秒A 的路线运动，

时，∆ODE 的面积为S .

①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；

若不存在，请说明理由；

②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设S 0是②中函数S 的最大值，那么S 0 = .

解：（1）令x =0，则y =4；

令y =0则x =3．∴A (3，0)．C (0，4) ∵二次函数的图象过点C (0，

4)， ∴可设二次函数的关系式为

y =ax 2+bx +4

又∵该函数图象过点A (3，

0)．B (-1，0) ∴⎨

⎧0=9a +3b +4，

⎩

0=a -b +4．

解之，得a =-

43，b =8

． ∴所求二次函数的关系式为y =-

43x 2+8

x +4（2）∵y =-

43x 2+8

x +4 =-43(x -1)2+163

∴顶点M 的坐标为 ⎛

116⎪⎫⎝3⎭

过点M 作MF ⊥x 轴于F

∴S 四边形AOCM =S △AFM +S 梯形FOCM

=1161⎛16⎫2⨯(3-1)⨯3

+2⨯ ⎝4+3⎪⎭

⨯1=10 ∴四边形AOCM 的面积为10

（3）①不存在DE ∥OC

∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时1

y 1)∴设点E 的坐标为(x 1，

∴

x 13

4t -412t -12

，∴x 1=∵DE ∥OC ， 55

12t -1238

=t ∴t = 5238

∵t =>2，不满足1

∴不存在DE ∥OC ．

②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为

3+4+524

（秒） =

311+42

现分情况讨论如下： ⅰ）当0

⨯t 4t =3t 2； 22

y 2) ⅱ）当1

∴

y 24

5-(4t -4)36-16t

，∴y 2= 55

1336-16t 1227⨯t ⨯=-t 2+t 22555

36-16t 24

y 3)，类似ⅱ可得y 3=ⅲ）当2

511

∴S =

设点D 的坐标为(x 4, y 4)

t -3y 4

∴， =45

6t -12

∴y 4=

∴S =S △AOE -S △AOD

136-16t 16t -12

⨯3⨯-⨯3⨯

25253372=-t +

243

③S 0=

80=

7. 关于x 的二次函数y =-x +(k -4) x +2k -2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴

上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作

x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；

（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

⎛b 4ac -b 2⎫

参考资料：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 的顶点坐标是 -⎪，对称轴是直线

4a ⎭⎝2a

x =-

． 2a

解：（1）据题意得：k 2-4=0，

∴k =±2．

当k =2时，2k -2=2>0．当k =-2时，2k -2=-6

又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴k =2．

∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令-x 2+2=

0，得x =

不0

A 1D 1=2x ，A 1B 1=-x 2+2，

∴l =2(A 1B 1+A 1D 1) =-2x 2+4x +4．

当x >A 2D 2=2x ，

A 2B 2=-(-x +2) =x -2．

∴l =2(A 2D 2+A 2B 2) =2x +4x -4．

∴l 关于x 的函数关系是：

当0

l =-2x 2+4x +4；

当x >l =2x 2+4x -4．（3

）解法一：当0

A 1B 1=A 1D 1，

（第26题）

得x 2+2x -2=0．

解得x =-1

，或x =-1+．

将x =-1+l =-2x 2+4x +4，

得l =8．

当x >A 2B 2=A 2D 2，得x 2-2x -2=0．

解得x =1

，或x =1．

将x =1代入l =2x 2+4x -

4，得l =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

解法二：当0

x =-1．

∴

正方形的周长l =4A 1D 1=8x =8．

当x >

x =1+．

∴

正方形的周长l =4A 2D 2=8x =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，

-x 2+2) ． ∴x >0，且点A 的坐标为(x ，

令AB =AD ，则-x 2+2=2x ．

∴-x 2+2=2x ， ①或-x 2+2=-2x ②

由①解得x =-1

，或x =-1；

由②解得x =1

，或x =1．又l =8x ，

∴

当x =-1

l =8；

当x =1

时l =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

第26题图

解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）（2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得

第26题图(批卷教师用图)

⎧⎪0＝36a －6b ＋8⎨

⎪0＝4a ＋2b ＋8⎩

⎧a ＝－3

解得⎨8

b ＝－⎩3

∴所求抛物线的表达式为y ＝－x 2－x ＋8

33（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF BE EF 8－m

＝AC AB 108

40－5m ∴EF ＝

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB

5∴

FG 4440－5m ∴FG ＝·8－m EF 554

11∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝8－m ）×8－（8－m ）（8－m ）

22111

＝（8－m ）（8－8＋m ）＝（8－m ）m ＝－2＋4m 222自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．

111

理由：∵S 2＋4m m －4）2＋8 且－＜0，

222

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．

9. （14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线y =ax +bx +c 的对称轴为x =-

b ） 2a

（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y =-(x +3)(x -4) =-

13121

x +x +4 33

解法二：设抛物线的解析式为y =ax +bx +c (a ≠0) ，

1⎧a =-⎪⎧9a -3b +4=0⎪3

依题意得：c=4且⎨解得⎨

16a +4b +4=01⎩⎪b =

⎪3⎩

所以所求的抛物线的解析式为y =-

（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，AB =

121

x +

x +4 33

==5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽△CAB

DQ CD DQ 210

即==, DQ =

AB CA 577

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –所以t 的值是

10252525=，t = ÷1=7777

b 1= 2a 2

对称 2

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为x =-

所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线x =连接AQ 交直线x =

于点M ，则MQ+MC的值最小 2

过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ，△DQE ∽△ABO

DE QE DQ DE QE

即 ====

BO AB AO 453

86620208

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q （，）

777777

设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0)

8⎧

8k =⎧20⎪⎪⎪k +m =41

则⎨7 7由此得⎨⎪⎪m =24⎩-3k +m =0⎪⎩41

1⎧

x =⎪824⎪2

所以直线AQ 的解析式为y =联立⎨ x +

8244141⎪y =x +⎪⎩41411⎧

x =⎪128⎪2

由此得⎨所以M (, )

824241⎪y =x +⎪⎩4141

则：在对称轴上存在点M (

10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax +bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

OB ＝OC ，tan∠ACO＝

128

, ) ，使MQ+MC的值最小。 241

1． 3

（1）求这个二次函数的表达式．

（1

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使

以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

⎧a -b +c =0

⎪

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0 „„„„„„„„2分

⎪c =-3⎩⎧a =1⎪

解得：⎨b =-2 „„„„„„„„3分

⎪c =-3⎩

所以这个二次函数的表达式为：y =x -2x -3 „„„„„„„„3分方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） „„„„„„„„„1分设该表达式为：y =a (x +1)(x -3) „„„„„„„„2分将C 点的坐标代入得：a =1 „„„„„„„„3分所以这个二次函数的表达式为：y =x -2x -3 „„„„„„„„3分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） „„„„„„„„4分理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3

∴E 点的坐标为（－3，0） „„„„„„„„4分由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） „„„„„„„„5分方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3

∴E 点的坐标为（－3，0） „„„„„„„„„4分 ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3） „„„„„„„„„5分（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ），代入抛物线的表达式，解得R =

1+ „„„„6

②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），

-1+代入抛物线的表达式，解得r = „„„721+-1+∴圆的半径为或． „„„„„722

（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为y =-x -1．„„„„„8设P （x ，x 2-2x -3），则Q （x ，－x －1），PQ =-x 2+x +2．

S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =

当x =

(-x 2+x +2) ⨯3 „„„„„„„„9分 2

时，△APG 的面积最大 2

⎛1⎝2

15⎫27

⎪，S ∆APG 的最大值为． „„„„„„„„10分 4⎭8

此时P 点的坐标为 , -

11. （12分）已知：如图14，抛物线y =-相交于点B ，点C ，直线y =-

323

点B ，与直线y =-x +b x +3与x 轴交于点A ，

x +b 与y 轴交于点E ． 4

（1）写出直线BC 的解析式．（2）求△ABC 的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出△MNB 的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，△MNB 的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在y =-

x +3中，令y =0 4

∴-x 2+3=0

4∴x 1=2，x 2=-2

·················································· 1分 ∴A (-2，0) ，B (2，0) ·又点B 在y =-

x +b 上 4

∴0=-+b

23b =

···················································································· 2分 ∴BC 的解析式为y =-x + ·

32⎧

y =-x +3⎧x 1=-1x =2⎪⎧2⎪⎪4

（2）由⎨，得⎨ ····························································· 4分 9⎨

y =033y 1=⎩2

⎪⎪y =-x +⎩4⎪⎩429⎫⎛

∴C -1⎪，B (2，0)

4⎭⎝

······································································································· 5分 4

199

································································································ 6分 ∴S △ABC =⨯4⨯= ·

242

（3）过点N 作NP ⊥MB 于点P EO ⊥MB ∴NP ∥EO

······································································································· 7分 ∴△BNP ∽△BEO ·

BN NP

···················································································································· 8分 ∴=

BE EO

∴AB =4，CD =

由直线y =-

33⎛3⎫x +可得：E 0⎪ 42⎝2⎭

，则BE = 22

∴在△BEO 中，BO =2，EO =

∴

62t NP

，∴NP =t ······························································································· 9分 =

52216∴S =

t (4-t )

312

·························································································· 10分 S =-t 2+t (0

55312

···································································································· 11分 S =-(t -2) 2+ ·

此抛物线开口向下，∴当t =2时，S 最大=

··························· 12分 ∴当点M 运动2秒时，△MNB 的面积达到最大，最大为． ·5

中考压轴题型解法举例（数形结合）

值范围；

[解] （1）点A (-点B (-点E (40，) ，20，) ，08，) 关于原点的对称点分别为D (4，0) ，C (2，0) ，

F (0，-8) ．

设抛物线C 2的解析式是

y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，

⎧16a +4b +c =0，⎪

则⎨4a +2b +c =0， ⎪c =-8．⎩，⎧a =-1⎪

解得⎨b =6，

⎪c =-8．⎩

所以所求抛物线的解析式是y =-x +6x -8．（2）由（1）可计算得点M (-3，-1) ，N (31)，．过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，AD =2OD =8-2t ，NH =1+2t ．根据中心对称的性质OA =OD ，OM =ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以S =2S △ADN ．

所以，四边形MDNA 的面积S =(8-2t )(1+2t ) =-4t +14t +8．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t

所以，所求关系式是S =-4t 2+14t +8，t 的取值范围是0≤t

⎛

⎝7⎫81

（0≤t

4⎭4

781时，S 有最大值． 44

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD ，MN ，所以当AD =MN 时四边形

MDNA 是矩形．

所以OD =ON ．所以OD 2=ON 2=OH 2+NH 2．所以t 2+4t 2-2=

0．解之得t 1=

2，t 2=2（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA

可以形成矩形，此时t =2．

x +bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，43

点A 的横坐标为-1，过点C (0，点P 是线段BC 上3) 的直线y =-x +3与x 轴交于点Q ，

的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y =-（1）确定b ，c 的值：b =_____，c =_____；

（2）写出点B ，Q ，P 的坐标（其中Q ，P 用含t 的式子表示）：

B (___，___)，Q (___，___)，P (___，___)；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使△PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

[解]（1）b =9

c =3

（2）B (4，0) Q (4t ，0) P (4-4t ，3t )

（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ =PB 时

PH ⊥OB ，则GH =HB ∴4-4t -4t =4t ∴t =

②当PB =QB 时得4-4t =5t ∴t =

③当PQ =QB 时，如图

解法一：过Q 作QD ⊥BP ，又PQ =QB 则BD =BP 5

2=2

又△BDQ ∽△BOC

∴

BD BQ BO =

BC 5t

∴4-4t 4=5 ∴t =32

解法二：作Rt △OBC 斜边中线OE

C O

则OE =BE ，BE =

BC 5

=， 22

此时△OEB ∽△PQB

BE OB

∴ =

BQ PB

∴=

4-4t 5t 32

∴t =

解法三：在Rt △PHQ 中有QH +PH =PQ ∴(8t -4) +(3t ) =(4-4t ) ∴57t 2-32t =0 ∴t =

，t =0（舍去） 57

又 0

1432

∴当t =或或时，△PQB 为等腰三角形．

3957

解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时

需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析

Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直接直接用t

表示，进行分组讨论即可计算。

3. 如图1，已知直线y =-

，B 两点． x 与抛物线y =-x 2+6交于A

（1）求A ，B 两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

图1 图2

12⎧y =-x +6⎪⎧x 1=6⎧x 2=-4⎪4 ⎨[解]（1）解：依题意得⎨解之得⎨

⎩y 1=-3⎩y 2=2⎪y =-1x

⎪⎩2∴A (6，-3) ，B (-4，2)

（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C ，D 两点，交AB 于M （如图1）由（1

）可知：OA =

OB =∴AB =

∴OM =

1 AB -OB =

2图1

过B 作BE ⊥x 轴，E 为垂足

OC OM 5

由△BEO ∽△OCM ，得：=，∴OC =，

OB OE 4

同理：OD =，∴C ，0⎪，D 0，-设CD 的解析式为y =kx +b (k ≠

⎛5⎝4⎫⎭⎛⎝5⎫⎪ 2⎭

第26题

5⎧0=k +b ⎧k =2⎪⎪⎪4∴⎨ ∴⎨5

b =-⎪-5=b ⎪⎩2⎪⎩2

∴AB 的垂直平分线的解析式为：y =2x -．

（3）若存在点P 使△APB 的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交

点的直线y =-x +m 上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G ，H 两点（如图2）．

1⎧y =-x +m ⎪⎪2∴⎨

1⎪y =-x 2+6⎪⎩4

∴x 2-x +m -6=0 42

抛物线与直线只有一个交点， 1⎛1⎫

∴ -⎪-4⨯(m -6) =0，

4⎝2⎭

∴m =

25⎛23⎫ ∴P 1⎪ 4⎝4⎭

在直线GH ：y =-

125

x +中， 24

⎛25⎫⎛25⎫

∴G 0⎪，H 0

⎪

⎝2⎭⎝4⎭

∴GH =

设O 到GH 的距离为d ，

11∴GH d = OG OH 22112525∴⨯d =⨯⨯24224

∴d = AB ∥GH ，

∴P 到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．

图2

另解：过P 做PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h

与PC 夹角固定），则S △PBA 最大→问题转化为求PC 最大值，设P （x,

）,C （x,

）, 从而可以表示PC 长度，进行极值求取。

最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。

沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P ，Q 两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P ，Q 两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

⎛b 4ac -b 2⎫

（抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的顶点坐标是 -⎪． 2a 4a ⎝⎭

[解]（1）作BF ⊥y 轴于F ．

A (0，10)，B (8，4)，

∴FB =8，FA =6． ∴AB =10．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又 AB =1010，÷10=1．

∴P ，Q 两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG ⊥y 轴于G ，则PG ∥BF ．

∴

GA FA =AP AB ，即GA 6=t

．

∴GA =3

t ．

∴OG =10-3

t ．

OQ =4+t ，

∴S =12⨯OQ ⨯OG =1⎛

3⎫2(t +4) ⎝

10-5t ⎪⎭．

即S =-

310t 2+19

t +20． 19 -b 2a =-=19，且0≤19≤102⨯⎛ 3⎫3

3， ⎝-10⎪⎭

∴当t =

3时，S 有最大值．此时GP =476331

5t =15，OG =10-5t =5

，

∴点P 的坐标为⎛ 7631⎫

⎝155⎪⎭

．

8分）（

方法二：当t =5时，OG =7，OQ =9，S =设所求函数关系式为S =at 2+bt +20．

163

． OG OQ =

⎛63⎫

28)，抛物线过点(10， 5⎪，

⎝2⎭

⎧100a +10b +20=28，⎪∴⎨63

25a +5b +20=. ⎪⎩23⎧a =-，⎪⎪10∴⎨

19⎪b =. ⎪5⎩∴S =-

3219

t +t +20． 105

19b 1919 -=-=，且0≤≤10， 2a 3⎛3⎫3

2⨯ -⎪⎝10⎭

∴当t =

时，S 有最大值． 37631

此时GP =，OG =，

155

⎛7631⎫

∴点P 的坐标为 ⎪．

⎝155⎭

（4）2．

．

5. 如图①，Rt △ABC 中，∠B =90 ，∠CAB =30 ．它的顶点A 的坐标为(10，0) ，顶点B

动，设运动的时间为t 秒．（1）求∠BAO 的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

P 沿这两边运动时，使∠OPQ =90 的点P 有几个？请说明理由．

x t （第29题图①）

（第29题图②）

解:（1）∠BAO =60 ．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒．（3

）P (10-t ) （0≤t ≤5）

S =1

2(2t +2)(10-t )

=-⎛ ⎝t -9⎫121

2⎪⎭

4． ∴当t =

92时，S 有最大值为1214

，

此时P

⎛11 2． ⎝⎭

（4）当点P 沿这两边运动时，∠OPQ =90

的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，∠OPQ

，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，作∠OPM =90 交y 轴于点M ，作PH ⊥y 轴于点H ，

由△OPH ∽△

OPM 得：OM =

=11.5，所以OQ >OM ，从而∠OPQ >90

．

所以当点P 在AB 边上运动时，∠OPQ =90

的点P 有1个．

第29题图①

②同理当点P 在BC

边上运动时，可算得OQ =12+

=17.8． 3

⎛而构成直角时交y

轴于 0

，3=20.2>17.8， 3⎝⎭

所以∠OCQ

x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已3

知二次函数的图象经过点A 、C 和点B (-1, 0).

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒

个单位长度的速度沿折线OAC 2

按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →

当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动. 设D 、E 同时从点O 出发t 秒A 的路线运动，

时，∆ODE 的面积为S .

①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；

若不存在，请说明理由；

②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设S 0是②中函数S 的最大值，那么S 0 = .

解：（1）令x =0，则y =4；

令y =0则x =3．∴A (3，0)．C (0，4) ∵二次函数的图象过点C (0，

4)， ∴可设二次函数的关系式为

y =ax 2+bx +4

又∵该函数图象过点A (3，

0)．B (-1，0) ∴⎨

⎧0=9a +3b +4，

⎩

0=a -b +4．

解之，得a =-

43，b =8

． ∴所求二次函数的关系式为y =-

43x 2+8

x +4（2）∵y =-

43x 2+8

x +4 =-43(x -1)2+163

∴顶点M 的坐标为 ⎛

116⎪⎫⎝3⎭

过点M 作MF ⊥x 轴于F

∴S 四边形AOCM =S △AFM +S 梯形FOCM

=1161⎛16⎫2⨯(3-1)⨯3

+2⨯ ⎝4+3⎪⎭

⨯1=10 ∴四边形AOCM 的面积为10

（3）①不存在DE ∥OC

∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时1

y 1)∴设点E 的坐标为(x 1，

∴

x 13

4t -412t -12

，∴x 1=∵DE ∥OC ， 55

12t -1238

=t ∴t = 5238

∵t =>2，不满足1

∴不存在DE ∥OC ．

②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为

3+4+524

（秒） =

311+42

现分情况讨论如下： ⅰ）当0

⨯t 4t =3t 2； 22

y 2) ⅱ）当1

∴

y 24

5-(4t -4)36-16t

，∴y 2= 55

1336-16t 1227⨯t ⨯=-t 2+t 22555

36-16t 24

y 3)，类似ⅱ可得y 3=ⅲ）当2

511

∴S =

设点D 的坐标为(x 4, y 4)

t -3y 4

∴， =45

6t -12

∴y 4=

∴S =S △AOE -S △AOD

136-16t 16t -12

⨯3⨯-⨯3⨯

25253372=-t +

243

③S 0=

80=

7. 关于x 的二次函数y =-x +(k -4) x +2k -2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴

上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作

x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；

（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

⎛b 4ac -b 2⎫

参考资料：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 的顶点坐标是 -⎪，对称轴是直线

4a ⎭⎝2a

x =-

． 2a

解：（1）据题意得：k 2-4=0，

∴k =±2．

当k =2时，2k -2=2>0．当k =-2时，2k -2=-6

又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴k =2．

∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令-x 2+2=

0，得x =

不0

A 1D 1=2x ，A 1B 1=-x 2+2，

∴l =2(A 1B 1+A 1D 1) =-2x 2+4x +4．

当x >A 2D 2=2x ，

A 2B 2=-(-x +2) =x -2．

∴l =2(A 2D 2+A 2B 2) =2x +4x -4．

∴l 关于x 的函数关系是：

当0

l =-2x 2+4x +4；

当x >l =2x 2+4x -4．（3

）解法一：当0

A 1B 1=A 1D 1，

（第26题）

得x 2+2x -2=0．

解得x =-1

，或x =-1+．

将x =-1+l =-2x 2+4x +4，

得l =8．

当x >A 2B 2=A 2D 2，得x 2-2x -2=0．

解得x =1

，或x =1．

将x =1代入l =2x 2+4x -

4，得l =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

解法二：当0

x =-1．

∴

正方形的周长l =4A 1D 1=8x =8．

当x >

x =1+．

∴

正方形的周长l =4A 2D 2=8x =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，

-x 2+2) ． ∴x >0，且点A 的坐标为(x ，

令AB =AD ，则-x 2+2=2x ．

∴-x 2+2=2x ， ①或-x 2+2=-2x ②

由①解得x =-1

，或x =-1；

由②解得x =1

，或x =1．又l =8x ，

∴

当x =-1

l =8；

当x =1

时l =8．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，

且当x =

1时正方形的周长为8；

当x =

1时，正方形的周长为8．

8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

第26题图

解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

第26题图(批卷教师用图)

⎧⎪0＝36a －6b ＋8⎨

⎪0＝4a ＋2b ＋8⎩

⎧a ＝－3

解得⎨8

b ＝－⎩3

∴所求抛物线的表达式为y ＝－x 2－x ＋8

33（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF BE EF 8－m

＝AC AB 108

40－5m ∴EF ＝

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB

5∴

FG 4440－5m ∴FG ＝·8－m EF 554

11∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝8－m ）×8－（8－m ）（8－m ）

22111

＝（8－m ）（8－8＋m ）＝（8－m ）m ＝－2＋4m 222自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．

111

理由：∵S 2＋4m m －4）2＋8 且－＜0，

222

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．

9. （14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.

（1）求抛物线的解析式.

b ） 2a

（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y =-(x +3)(x -4) =-

13121

x +x +4 33

解法二：设抛物线的解析式为y =ax +bx +c (a ≠0) ，

1⎧a =-⎪⎧9a -3b +4=0⎪3

依题意得：c=4且⎨解得⎨

16a +4b +4=01⎩⎪b =

⎪3⎩

所以所求的抛物线的解析式为y =-

（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，AB =

121

x +

x +4 33

==5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

DQ CD DQ 210

即==, DQ =

AB CA 577

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –所以t 的值是

10252525=，t = ÷1=7777

b 1= 2a 2

对称 2

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为x =-

所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线x =连接AQ 交直线x =

于点M ，则MQ+MC的值最小 2

过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ，△DQE ∽△ABO

DE QE DQ DE QE

即 ====

BO AB AO 453

86620208

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q （，）

777777

设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0)

8⎧

8k =⎧20⎪⎪⎪k +m =41

则⎨7 7由此得⎨⎪⎪m =24⎩-3k +m =0⎪⎩41

1⎧

x =⎪824⎪2

所以直线AQ 的解析式为y =联立⎨ x +

8244141⎪y =x +⎪⎩41411⎧

x =⎪128⎪2

由此得⎨所以M (, )

824241⎪y =x +⎪⎩4141

则：在对称轴上存在点M (

OB ＝OC ，tan∠ACO＝

128

, ) ，使MQ+MC的值最小。 241

1． 3

（1）求这个二次函数的表达式．

（1

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使

⎧a -b +c =0

⎪

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0 „„„„„„„„2分

⎪c =-3⎩⎧a =1⎪

解得：⎨b =-2 „„„„„„„„3分

⎪c =-3⎩

（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） „„„„„„„„4分理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3

∴E 点的坐标为（－3，0） „„„„„„„„4分由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） „„„„„„„„5分方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3

∴E 点的坐标为（－3，0） „„„„„„„„„4分 ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

1+ „„„„6

②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），

-1+代入抛物线的表达式，解得r = „„„721+-1+∴圆的半径为或． „„„„„722

（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为y =-x -1．„„„„„8设P （x ，x 2-2x -3），则Q （x ，－x －1），PQ =-x 2+x +2．

S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =

当x =

(-x 2+x +2) ⨯3 „„„„„„„„9分 2

时，△APG 的面积最大 2

⎛1⎝2

15⎫27

⎪，S ∆APG 的最大值为． „„„„„„„„10分 4⎭8

此时P 点的坐标为 , -

11. （12分）已知：如图14，抛物线y =-相交于点B ，点C ，直线y =-

323

点B ，与直线y =-x +b x +3与x 轴交于点A ，

x +b 与y 轴交于点E ． 4

解：（1）在y =-

x +3中，令y =0 4

∴-x 2+3=0

4∴x 1=2，x 2=-2

·················································· 1分 ∴A (-2，0) ，B (2，0) ·又点B 在y =-

x +b 上 4

∴0=-+b

23b =

32⎧

y =-x +3⎧x 1=-1x =2⎪⎧2⎪⎪4

（2）由⎨，得⎨ ····························································· 4分 9⎨

y =033y 1=⎩2

⎪⎪y =-x +⎩4⎪⎩429⎫⎛

∴C -1⎪，B (2，0)

4⎭⎝

199

242

（3）过点N 作NP ⊥MB 于点P EO ⊥MB ∴NP ∥EO

BN NP

BE EO

∴AB =4，CD =

由直线y =-

33⎛3⎫x +可得：E 0⎪ 42⎝2⎭

，则BE = 22

∴在△BEO 中，BO =2，EO =

∴

62t NP

52216∴S =

t (4-t )

312

·························································································· 10分 S =-t 2+t (0

55312

此抛物线开口向下，∴当t =2时，S 最大=

··························· 12分 ∴当点M 运动2秒时，△MNB 的面积达到最大，最大为． ·5

中考压轴题型解法举例(数形结合)

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