理 工 学 院
本科毕业设计(论文)
题 目： 最少拍数字控制器设计
学 院： 信息工程学院 专 业： 自动化 学 号：
2010
学生姓名： 指导教师：
二○一四年五月二十日
2014届毕业设计(论文)
最少拍数字控制器设计
摘 要
随着工业控制和科学技术发展的进步，传统的控制方法已经不适用于当前的控制要求。数字控制器以其高效的性能满足了人们的要求。其中最少拍数字控制器已成为各个控制领域必不可少的控制器。它的主要性能指标是快速性，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化。本文运用自动控制、计算机控制、MATLAB 仿真技术，实现最少拍数字控制器的设计与分析。并且，本文探讨了改进最少拍数字控制器与扰动系统最少拍数字控制器的设计方法，从而使系统能实现对要求的典型的输入下，运用控制器使闭环系统响应在最少的采样周期内（最少拍）达到采样点上无静差的稳态。
关键词：数字控制器；最少拍数字控制器；无静差
最小拍数字控制器设计
Least-beat Digital Controller Design
Abstract
With the industrial control and the progress of science and technology development, the traditional control method has not meeting the requirements of the current control.Digital controller with its efficient performance meet the requirements of the people.With minimum shoot digital controller has become the indispensable controller control field.Its main performance index is rapidity, output value of the required system as soon as possible to track the given value.In this paper, with automatic control, computer control, the MATLAB simulation technology, achieve a minimum digital controller design and analysis.And, this paper discusses the improved minimum taps digital controller with the least disturbance system design method of digital controller, so that the system can realize the requirement of the typical input, using the controller make the closed-loop system response (at least) in the least amount of sampling cycle sampling point astatic steady state.
Key Words：Digital control; Least-beat Digital Controller; Floating
2014届毕业设计(论文)
目 录
第1章 绪论 ...................................... 1
§1.1 引言 .................................................................................... 1 §1.2内容安排 .............................................................................. 1
第2章 离散控制基础 ......................................................... 3
§2.1离散控制系统的类型 ............................................................ 3 §2.2 信号的采样与复现 ............................................................. 4
§2.1.2 信号的采样与复现 ......................................................... 4
第3章 常规最少拍控制器设计 . .......................................... 8
§3.1最小拍有纹波数字控制器的设计 . .......................................... 8 §3.2 最少拍无纹波数字控制器的设计 . ....................................... 11 §3.2.1 最少拍无纹波控制器的设计条件 .................................... 11 §3.2.2 最少拍无纹波控制器确定Ф(z ) 的步骤 ........................... 12 §3.2.3 无纹波数字控制器的设计 ............................................. 13
第4章 改进的最少拍数字控制器的设计 .......................... 16
§4.1换接程序法 ........................................................................ 16 §4.2 阻尼因子法 . ....................................................................... 16 §4.3 非最少的有限拍控制 ......................................................... 18
第5章 最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真 . ................ 20
§5.1 最少拍有纹波系统的MATLAB 仿真 .................................. 20 §5.1.1 系统的SIMULINK 实现 ................................................. 20 §5.1.2 仿真结果 . ..................................................................... 21 §5.2 最少拍无纹波系统的MATLAB 仿真 ...................................... 21 §5.2.1 系统的SIMULINK 实现 ................................................. 21 §5.2.2 仿真结果 . ..................................................................... 22
第6章 总结 ..................................................................... 23
§6.1 课题工作总结 .................................................................... 23 §6.1 课题未来发展 .................................................................... 23
最小拍数字控制器设计
致 谢 ................................................................................ 25 参考文献 . .......................................................................... 26
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第1章 绪论
§1.1 引言
近年来，随着工业控制技术和航空航天技术的高速发展，人们对控制器的要求也越来越高。一般控制器具有以下几个要求：
1、精确性。指的是对特定输入下的系统，在到达稳态后，系统输出的采样值能准确跟踪输入信号，也就是说采样点上的输出不存在稳态误差。
2、快速性。系统能在有限的拍数下达到稳态的没计状态，也就是系统准确的跟踪输入量所需的采样周期数应为最少。
3、稳定性。控制器必须在物理上可实现且应该是稳定的闭环系统。 离散的数字控制器以其高效的性能满足了人们对系统控制的各项要求，其中最少拍控制是以实现系统快速性为目标的一种离散化设计方法。
最少拍数字控制器的设计步骤：常常包含最少拍有纹波数字控制器设计与最少拍无纹波数字控制器设计两种。在采样点上的输出不存在稳态误差，但是在采样点与采样点之间的输出存在稳态误差的系统为有波纹最少拍控制系统。若在采样点上和采样点之间的输出均没有稳态误差，则这系统为无波纹最少拍控制系统。这两种系统均有各有自的优点，但是也都存在一些不足。相对于最少拍无纹波数字控制系统来说最少拍有纹波数字控制系统能使系统输出达到稳态是的拍数最少，但是，不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零；最少拍无纹波数字控制系统在采样点上和采样点间的输出均不存在稳态误差，但是其缺点是响应速度相对较慢。
不管是最少拍有纹波还是最少拍无纹波控制系统，其控制方程都是由被控对象的数学方程 G(Z)来计算的。其中改进方法包括换接程序法，阻尼因子法与非最少的有限拍控制等方法。
§1.2内容安排
本论文内容主要保函内容有离散控制的基础知识理论简介、数字控制器的设计方法介绍及理论分析、最少拍控制原理、最少拍有纹波数字控制器的设计、最
少拍无纹波数字控制器的设计、改进的最少拍数字控制器的设计、扰动系统最少拍数字控制器的设计、最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真等
本文在第一章绪论之后，第二章离散控制基础部分主要阐述了离散控制系统的类型，信号的采样及复现过程及原理。第三章主要讲述常规最小拍控制器设计，其中包括最小拍有纹波系统与最小拍无纹波系统理论得概述与其设计方法。第四章主要概述最少拍数字控制器的改进算法原理及理论推导。第五章主要为我们展示了最小拍控制器在常见的一些输入下的Matlab 仿真效果图。第六章主要讲述了在设计最小拍控制器过程中的一些方法总结及今后可能的改进措施。
第2章 离散控制基础
从控制系统中的信号形式上看，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。随着计算机技术被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数而是一组离散的脉冲序列，这时就出现了离散控制系统。
§2.1离散控制系统的类型
离散控制系统可进一步分为采样控制系统和数字控制系统两大类。第一种是采样控制系统，第二种是数字控制系统。以下分别简要介绍这两种类型的的系统原理及结构。
1. 采样控制系统
例如图2－1所示的多点信号采样控制系统
图2－1 多点温度采样控制系统
系统内的控制器和对象均是连续信号处理器，用采样开关来达到多个对象共享一个控制器问题。类似系统称为采样控制系统。
二、 数字控制系统
2－2 数字闭环控制系统
如图2－2所示的数字闭环控制系统，控制器只能处理离散信号，控制系统内必有A/D、D/A转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似系统称为数字控制系统。显然，由数字计算机承担控制器功能的系统均可归属于数字控制系统。随着计算机技术的日益普及，数字控制系统的应用会越来越多。
§2.2 信号的采样与复现
在采样控制系统和数字控制系统中，存在一个共同的问题就是怎样把连续信号近似为离散信号，即“整量化” 问题，即连续信号在时间和幅值上均具有无穷多的值，而在计算机上是用有限的时间间隔和有限的数值取代之，这种近似的过程称为整量化。解决这个问题我们必须先输入对信号进行采集，然后对输出信号进行复现。
§2.1.2 信号的采样与复现
由于连续信号不能直接输入到计算机，让计算机进行处理。因此需要对连续信号进行离散化处理，实现把连续信号与离散信号转换的过程称采样。而另一方面，离散信号也不能直接作为控制对象的输入信号，而要将其转换为连续信号。实现把离散信号与连续信号转换的过程称为信号的复现，通常采用“保持器”来实现。
1. 信号的采样
（1）数学描述
信号采样过程的数学描述公式：
f *(t ) =∑f (t ) δ(t -kT ) =f (t ) ∑δ(t -kT )
k =0
∞∞
k =0
∞
t
图2－3 采样器相当于幅值调制器
从物理意义上看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关即采样器是一个幅值调制器，输入的连续信号f (t ) 为调制信号，而单位理想脉冲序列δT (t ) 则为载波信号，采样器的输出则为一串调幅脉冲序列f *(t ) ，如图2-3
所示。
在数字控制系统中，数字计算机接受和处理的是量化后代表脉冲强度的数列。即把幅值连续变化的离散模拟信号用相近的间断的数码（如二进制）来代替，如图7－6示意。图中小圆圈表示的是数码可以实现的数值，是量化单位的整数倍数。由于量化单位是很小的，所以数字控制系统的采样信号f (kT ) ，仍认为与
f (t ) 成线性关系，仍用f *(t ) 表示。
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图2－4 典型数字反馈控制系统
其中： Gc(z)—— 被控对象
⎡1-e -Ts ⎤
G (z ) =Z [H 0(s ) G C (s ) ]=Z ⎢G C (s ) ⎥
⎣s ⎦——广义对象的脉冲传递函数
1-e -Ts
H o (s ) =
s ——零阶保持器
D(z) —— 数字控制器
Φ (z) —— 系统的闭环脉冲传递函数
系统开环脉冲传递函数为：
ΦK (z ) =D (z ) ⋅G (z )
系统的闭环脉冲传递函数为：
Φ(z ) =
ΦK (z ) D (z ) G (z )
=
1+ΦK (z ) 1+D (z ) G (z )
（2）求广义对象的脉冲传递函数G(z)
⎡1-e -Ts ⎤
G (z ) =Z [H 0(s ) G C (s ) ]=Z ⎢G C (s ) ⎥——广义对象的脉冲传递函数
⎣s ⎦
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（3）求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)
系统误差脉冲传递函数：
Φe (z ) =
E (z ) 1
==1-Φ(z ) R (z ) 1+D (z ) G (z )
数字控制器输出闭环脉冲传递函数为：
U (z ) D (z ) Φ(z )
ΦU (z ) ===
R (z ) 1+D (z ) G (z ) G (z )
若已知以上脉冲传递函数，可计算出D(z)：
D (z ) =
已知Φe(z)，可计算出D(z)：
1Φ(z ) ⋅
G (z ) 1-Φ(z )
11-Φe (z )
D (z ) =⋅
G (z ) Φe (z )
已知ΦU(z)，可计算出D(z)：
D (z ) =
ΦU (z ) Φ(z )
=U
1-ΦU (z ) G (z ) 1-Φ(z )
选取不同的闭环脉冲传递函数，D(z)的选取也不同，但是所选的D(z)必须满足以下条件：
①由此而得到的D(z)是物理可实现的，即必须符合因果律。
②D(z)也必须是稳定的，即D(z)的零、极点的分布必须满足稳定条件。 与模拟控制相比，采用全数字化控制具有以下明显优势：
（1）高性能的控制策略和智能控制方案更加易于实现，加快了研究进程； （2）在硬件电路不变的情况下，实现在线修改控制算法，控制更灵活方便； （3）系统可靠性高，易于标准化，维护方便；
（4）系统的一致性较好，体积小，成本低，生产制造方便； （5）使得大规模逆变器并联运行系统的可靠性更高。
综上所述，研究数字控制器设计策略，提高其控制质量，并针对其不足之处加以完善，对于控制技术的发展和应用具有重大意义。
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最小拍数字控制器设计
第3章 常规最少拍控制器设计
随动系统是一种速度跟踪系统，它的主要性能指标是快速性，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化。应用数字控制器设计的随动系统的快速性一般以系统需要多少个采样周期数来表征。通常称一个采样周期为一拍，无疑在越少的拍数内，系统的输出能跟上给定值，则系统的快速性越好。最少拍控制就是为满足这一要求的一种离散化设计方法。
最小拍系统设计原则典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数。
§3.1最小拍有纹波数字控制器的设计
图3－1 控制系统
其中：
1-e -Ts
H 0(s ) =
s ——零阶保持器
G c (s ) =
k v
s (1+T m s ) ——控制对象
C(s) —— 输出 设计步骤:根据以上分析
1）求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)
2）根据输入信号类型以及被控对象G(z)特点确定参数q,d,u,v,j,m,n
Φe (z )
Φ(z )
3）根据上式可求得参数和
4）根据以下式子可求得控制器D(z).
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D (z ) =
1Φ(z ) G (z ) 1-Φ(z )
对于给定一阶惯性加积分环节，时间常数为1S ，增益为10，采样周期T 为1S 的对象，其传递函数为：Gc(S)=10/S(S+1)，针对单位阶跃信号输入，设计最少拍系统如下：
由式（1）可得被控对象的脉冲传递函数为：
⎡1-e -Ts ⎤
[]z H (s ) ∙G (s ) =z ∙G (s ) G(z)=c c ⎢⎥
s ⎣⎦
⎡1⎤
=10(1-z -1) ∙z ⎢2 ⎥
⎣s (s +1) ⎦
z -1(1+0. 717z -1)
=3. 68⨯ (5)
(1-z -1)(1-0. 368z -1)
由（5）式知
d=0， u=0， v=1， j=1， q=2，且j≤q ，则有：m=u+d＝0 ;n=v-j+q＝2
对单位速度输入信号，选择
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1)](1-z -1) q F 1(z ) =(1-z -1) 2
i =1
v -j
Φ(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2
-d
i =1
u
结合
得
Φe (z ) =1-Φ(z )
1-f 21z -1-f 22z -2=(1-z -1) 2
根据多项式相等，其系数相等的的性质，有
f 21=2, f 22=-1
所以，
Φ(z ) =2z -1-z -2
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最小拍数字控制器设计
D (z ) =
1Φ(z ) F 2(z )
=, j ≤q -1q -j
G (z ) 1-Φ(z ) G ' (z )(1-z ) F 1(z )
(1-0. 368z -1)(2z -1-z -2)
=-1-1-1
3. 68z (1+0. 718z )(1-z )
0. 543(1-0. 5z -1)(1-0. 368z -1) =-1-1
(1+0. 718z )(1-z ) （6） 从而，
Tz -1-12-1
E (z ) =R (z ) Φe (z ) =(1-z ) =z -12
(1-z )
Tz -1-1-2-2-3-4
(2z -z ) =2z +3z +4z +... Y (z ) =R (z ) Φ(z ) =-12
(1-z )
-1
0. 543(1-0. 5z -1)(1-0. 368z -1)
U (z ) =E (z ) D (z ) =z .
(1+0. 718z -1)(1-z -1)
即：
U (z ) =0. 54z -1-0. 32z -2+0. 40z -3-0. 12z -4+0. 25z -5+...
其控制器输出与系统输出如下图所示：
u 0.5
y 432
10
图3－2 控制器输出
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§3.2 最少拍无纹波数字控制器的设计
按最少拍有纹波系统设计的控制器，其系统的输出值跟踪输入值后，在非采样点有纹波存在；原因就在于当偏差为0时，数字控制器的输出序列u(k) 不为恒值（常数或零），而是振荡收敛的；非采样时刻的纹波现象不仅造成非采样时刻的偏差，而且浪费执行机构的功率，增加设备磨损，因此必须消除。
§3.2.1 最少拍无纹波控制器的设计条件
1. 被控对象条件
无纹波系统要求系统的输出信号在采样点之间不产生纹波，必须满足： ①对阶跃输入，当t ≥ NT时，有y(t)=常数；
②对速度输入，当t ≥ NT时，有y ’(t)=常数；即G (s)中至少要有一个积分环节，
③对加速度输入，当t ≥ NT时，有y ’’(t)=常数；G (s)中至少要有两个积分环节，
这样，被控对象G (s)必须有能力给出与系统r(t)相同且平滑的输出。因此，设计最少拍无纹波控制器时，被控对象必须有足够的积分环节。
2. 确定Ф(z)的约束条件
要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常值（包括0）。控制信号u(k)的Z 变换：
-k
U (z ) =∑u (k ) z
k =0∞
-1-l -(l +1)
=u (0) +u (1) z +... +u (l ) z +u (l +1) z +...
如果系统经过l 个采样周期到达稳态，无纹波要求：
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最小拍数字控制器设计
u (l ) =u (l +1) =u (l +2) =... =常数(包括0)
设广义对象
G (z ) =z -d
由
B (z ) A (z )
Y (z ) Φ(z ) Φ(z )
Y (z ) =G (z ) U (z ) ⇒U (z ) ==R (z ) =-d A (z ) R (z )
G (z ) G (z ) z B (z )
要使u(k)为常数， u(k)必须是z-1的有限多项式。故闭环传递函数必须包含G(z)的全部零点及滞后环节。
令
Φ(z ) =z B (z ) F 2(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z )
-d
-d
i =1
w
w 为G(z)所有零点数（包括单位圆内、单位圆上以及单位圆外的零点），b1,b2, …,bw为其所有零点。
F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2+... +f 2n z -n
由此可见，有纹波和无纹波设计唯一区别在于：
有纹波设计时，Ф(z)包含G(z) 单位圆上和单位圆外的零点；
无波纹设计时，Ф(z)包含G(z)单位圆内、单位圆上、单位圆外的所有零点。
§3.2.2 最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的步骤
确定Ф(z)必须满足下列条件：
①被控对象中含有足够的积分环节，以满足无纹波系统设计的必要条件； ②按照一下公式
Φ(z ) =z
-d
[∏(1-b i z -1)]F 2(z )
i =1
w
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v -j i =1
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1)](1-z -1) q F 1(z ) , q ≥j
选择Ф(z) ③按照一下公式
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1) ]1(-z -1) j F 1(z ) , q
i =1
v -j
选择Фe(z)；
F1(z)、 F2(z)阶数的确定
F 1(z ) =1+f 11z -1+f 12z -2+... +f 1m z -m
-1-2-n
F (z ) =f z +f z +... +f z 21222n 2
若G(z)有j 个极点在单位圆上，即z ＝1，当j ≤ q，有
m=w+d
n=v-j+q
若G(z)有j 个极点在单位圆上，即z ＝1，当j> q，有m=w+d ；n=v
§3.2.3 无纹波数字控制器的设计
可按照有纹波控制器的设计步骤设计 同样的，由（5）式知
被控对象不含纯滞后z-d ，d=0; 共包含一个零点b1 =-0.718, w=1;
包含一个单位圆外或单位圆上的极点，v=1，且一个极点在单位圆上， j=1； 输入信号为单位速度， q=2，且j
m=w+d＝1 n=v-j+q＝2
因此：
F 1(z ) =1+f 11z -1
F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2
对单位速度输入信号，选择
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最小拍数字控制器设计
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1
)](1-z -1) q F 1(z ) , q ≥j
i =1
v -j
-d
w
=(1-z -1) 2(1+f 11z -1)
Φ(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z ) =(1+0. 718z -1)(f 21z -1+f 22z -2)
i =1
由 得
Φe (z ) =1-Φ(z )
-1-1-2-12-1
=1-(1+0. 718z )(f z +f z ) (1-z ) (1+f z ) 212211
展开有 ：
1+(f 11-2) z -1+(1-2f 11) z -2+f 11z -3
=1-f 21z -1-(f 22+0. 718f 21) z -2-0. 718f 22z -3
对应系数相等，得：f 11=0. 592，f 21=1. 408， f 22=-0. 825
-12-1
Φ(z ) =(1-z ) (1+0. 592z ) e 故有
Φ(z ) =(1+0. 718z -1)(1. 408z -1-0. 825z -2)
得
0. 383⨯(1-0. 5859z -1)(1-0. 368z -1) 1Φ(z )
D (z ) ==-1-1
(1+0. 592z )(1-z ) G (z ) 1-Φ(z ) （7）
Tz -1-1-1-2
Y (z ) =R (z ) Φ(z ) =(1+0. 718z )(1. 408z -0. 825z ) -12
(1-z )
-2-3-4
=1. 41z +3z +4z +...
Tz -1-12-1-1-2
E (z ) =R (z ) Φe (z ) =(1-z ) (1+0. 592z ) =z +0. 592z -12
(1-z )
U (z ) =
Y (z ) R (z ) Φ(z )
=G (z ) G (z )
=0. 38z -1+0. 02z -2+0. 09z -3+0. 09z -4+...
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u
0.4
y 4
3
2
1
图3－3控制器输出
结合图3－3和上述最少拍控制系统的设计可知，显然，无纹波调整时间为拍，控制算法都是依据被控对象的准确的数学模型 G(z)来确定的。因此，在利用最少拍控制算法去控制模拟连续系统时，为了保证良好的控制效果，前提必须保证被控对象的数学模型G(z)很准确。
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最小拍数字控制器设计
第4章 改进的最少拍数字控制器的设计
最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；而最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：换接程序法、阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。
§4.1换接程序法
换接程序法是一种简便，快捷的改进方法，此方法采用两个或多个数字控制器，按照E(z)量的大小来判定使用哪种控制器，从而达到在同一系统中使用到不同算法来调节控制量，使得输出Y(z)满足人们的要求。
用换接程序来改善过渡过程如下：
图4－1 换接程序最少拍系统
最小均方误差系统设计按照均方误差最小这一最优性能指标，综合考虑不同典型输入信号作用，使系统达到“综合最佳”。
§4.2 阻尼因子法
阻尼因子法是一种常规的调节与改进系统性能的方法。为了让最小拍系统能够适应性不同的输入信号，我们常采用采用阻尼因子法，我们可以在最小拍控制系统设计的基础上，在系统的闭环脉冲传函中引入附加的极点（即阻尼因子），使系统输出偏差不立即为零，而出现一定的阻尼衰减特性，逐渐归零。从而，系统输出响应的过渡过程时间将会有一定程度的增加，但整个系统的输出响应的响应特性显得比较平稳，对不同输入信号的适应性也会有所改善。
因此，阻尼因子法的本质是以增加了过渡过程时间，从来提高系统对输入不同第 16 页 共 32
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信号的适应性。它的目标是使系统在输出响应的过渡过程中，纹波、超调量、过渡过程时间等性能综合最佳。
其D(z)推导公式如下:
1-Gc *(z ) =1-Gc (z )
1-az -1
Gc (z ) -az -1
*Gc (z ) =1-az -1
1Gc *(z ) D (z ) =*HG (z ) 1-Gc *(z )
设广义对象脉冲传递函数:
系统的典型输入函数为单位速度输入 0. 005z -1(1-0. 9z -1) HG (Z ) =(1-z -1)(1-0. 905z -1)
Gc (z ) =z -1(Φ0+Φ1z -1) =2z -1-z -2
Ge (z ) =(1-z -1) 2
-1-1-2Gc (z ) -az (2-a ) z -z Gc *(z ) ==-11-az 1-az -1
于是得数字控制器为 :
1Gc *(z ) 200(1-0. 905z -1)((2-a ) -z -1) D
(z ) ==*HG (z ) 1-Gc (z ) (1-0. 9z -1)(1-z -1)
图4－2系统对阶跃的响应 图4－3系统对斜坡的响应
通过适当选择系数值，可以改变控制器中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度。
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最小拍数字控制器设计
§4.3 非最少的有限拍控制
最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。我们可以适当降低闭环系统对参数变化的灵敏度，用非最小的有限拍控制方式来改善系统，使得系统性能达到最佳。
0. 5z -10. 6z -1
HG (z ) =−−→-1(1-0. 5z ) (1-0. 4z -1)
为降低闭环系统对参数变化的灵敏度，试对斜坡输入设计非最少的有限拍控制系统，并验证当实际广义对象HG(z)变化后系统的输出。
0. 5z -1
HG (z ) =(1-0. 5z -1)
显然u=0，v=0，m=1，q=2，并且q+v=2
Gc (z ) =z -m -1-1-q -v +1(1-b z ) (Φ+Φz +... +Φz ) ∏i 01q +v -1
i =1u
⎡v -1⎤Ge (z ) =(1-z ) ⎢∏(1-a i z ) ⎥(1+f 1z -1+... +f m +u -1z -m -u +1) ⎣i =1⎦
Gc (z ) =z -1(Φ0+Φ1z -1) -1q
Ge (z ) =(1-z -1) 2
为降低系统对参数变化的灵敏度，取
H (z ) =1+0. 5z -1
*Gc (z ) ， 设非最少的有限拍控制系统对应的闭环脉冲传递函数为
则有：
*-12-1-1-3(1-Gc (z )) H (z ) =(1-z ) (1+0. 5z ) =1-1. 5z +0. 5z
可得出
Gc *(z ) =1. 5z -1-0. 5z -3
即控制为：
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1Gc *(z ) D (z ) =HG (z ) 1-Gz *(z )
(1-0. 5z -1) 1. 5z -1-0. 5z -3
=0. 5z -11-1. 5z -1+0. 5z -3
(1-0. 5z -1)(3-z -2) =1-1. 5z -1+0. 5z -3
采用D(z)的闭环系统对单位斜坡输入的响应为:
D (z ) HG *(z ) Gc *(z ) =1+D (z ) HG *(z )
0. 6z -1(1-0. 5z -1)(3-z -2) =1-0. 1z -1-0. 3z -2-0. 1z -3+0. 1z -4
当实际广义被控对象变化时，系统闭环传递函数为
Y (z ) =Gc *(z ) R (z )
Tz -1(1. 5z -1-0. 5z -3) =(1-z )
=T (1. 5z -2+3z -3+4z -4+...)
注意到这时， G(Z) 不再是有限阶次的z-1多项式，因此系统响应已不再是有限拍的了。系统对单位速度输入的响应为：
Y (z ) =Gc *(z ) R (z )
0. 6z (1-0. 5z )(3-z ) =-1-2-3-4-11-0. 1z -0. 3z -0. 1z +0. 1z (1-z )
=T (1. 8z -2+2. 88z -3+3. 828z -4+5. 0268z -6+...)
显然，尽管系统参数发生了较大变化，但系统的输出响应仍然是比较好的。 另外，采用非最少的有限拍控制器，还有利于减少控制变量的幅值。 -1-1-2
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最小拍数字控制器设计
第5章 最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真
本章主要运用MATLAB 中的SIMULINK 对系统进行动态系统建模，首先在SIMULINK 中找出典型系统模块, 然后输入已经计算好的参数。最后运行程序，输出结果。
§5.1 最少拍有纹波系统的MATLAB 仿真
§5.1.1 系统的SIMULINK 实现
1. 计算系统参数 U (z ) =E (z )
m 由控制器 D (z ) =∑b z i i =0n i =1m -i 1+∑a i z -i -i n -i U (z ) =b z E (z ) -a z ∑i ∑i U (z ) 推出控制输
i =0i =1
从而得到D(z)的计算机控制递推算式：
U (k ) =∑b i e (k -i ) -∑a i u (k -i ) i -0i -1m n
2. 根据D(z)的计算机控制递推算式，计算出系统最少拍有纹波中传递函中各项参数，最后在MATLAB 的SIMULINK 中编写程序。如下图所示:
图5－1 有纹波数字控制器
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§5.1.2 仿真结果
（1）、数字控制器输出U(z)
图5－2 最少拍有纹波MATLAB 仿真效果图
（2）、系统输出Y(z)
图5－3最少拍有纹波控制系统的仿真
§5.2 最少拍无纹波系统的MATLAB 仿真
§5.2.1 系统的SIMULINK 实现
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最小拍数字控制器设计
根据D(z)的计算机控制递推算式，计算出系统最少拍有纹波中传递函中各项参数，最后在MATLAB 的SIMULINK 中编写程序。如下图所示。
图5－4 无纹波数字控制器
§5.2.2 仿真结果
（1）、数字控制器输出U(z)
图5－5 最少拍无纹波MATLAB 仿真图
（2）、系统输出Y(z)
图5－6最少拍无纹波MATLAB 仿真图
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第6章 总结
§6.1 课题工作总结
论文写作期间，我能按照导师的要求及时完成每个阶段的任务。从对论文进行了选题开始，我的导师洪国辉老师就一直指点我。在导师的指点下，确定最后的论文题目为《最少拍数字控制器设计》，确定题目后，我从武昌理工学院图书馆资料室、武昌理工学院图书馆网站中国知网、武昌理工学院图书馆网站学术期刊网等渠道对文献资料的进行搜集查阅，并对资料进行分析整理、归纳总结，然后撰写开题报告，并与导师进行了理论交流。听取洪老师的意见后，对开题报告进行修改，最后提交给导师。在进行初稿的写作期间，我仔细阅读了胡寿松老师的《自动控制原理胡（第五版）》控制其设计章节，黄一夫老师的《微型计算机控制技术》中离散信号理论部分及MATLAB 的系统分析与设计等书籍。让我对最小拍控制器理论有了更深层次的了解与掌握，并且能够用MATLAB 软件中的SIMULINK 进行仿真设计。之后，经过导师的审阅、修改，我将论文中的出现的所有问题进行了重新修正和进一步完善，并在5月10日之前完成论文二稿，提交给导师进一步审批。根据的导师的审批意见，我对论文进一步修改，最终如期完成三稿。
§6.2 课题未来发展
与连续系统一样，离散系统所要研究的问题也是系统的控制性能，只是由于离散系统含有离散信号，因此采用的数学工具和研究方法跟连续系统有所不同。离散系统的数学模型是差分方程和脉冲传递函数。而在系统分析中，广泛应用基于Z 变换原理的脉冲传递函数。本文详细阐述了系统数学模型的建立以及脉冲传递函数的计算问题，并提出了一种简单实用的求闭环系统脉冲传递函数的方法。
本文仅仅对数字控制器进行了简要介绍，主要介绍了常规最小拍控制器设计，改进的最小拍控制器设计及常见信号输入下典型系统MATLAB 仿真输出效
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最小拍数字控制器设计
果。其实，最小拍控制器理论博大精深，对其改进的算法设计也不计其数，其实际运用场合也非常普遍。如电液比例控制, 数字调节仪表控制器，大型风机，新能源的各个领域。因此，在不久的将来，我们一定会看到更多相关算法及理论的产生。其运用场合也将越来越广阔，控制精度与速度也将越来越好。
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致 谢
时光飞逝，岁月荏苒，此刻已是大学毕业的时节，离开学校日子已经日趋临近了。从开始选择论文课题到论文的顺利完成，离不开学院的指导老师，同学，朋友等给我热情的帮助，在此我表示我最诚挚的谢意！特别是我的指导老师洪老师，经过他的精心指导，让我克服了种种困难完成了本次论文。
在此，也感谢我的父母在生活中给了我无微不至的帮助，感谢大学四年里帮助我，关心我的同学们。最后，还要感谢大学四年的所有老师，谢谢你们认真负责，严谨的教学，让我收获了很多的知识，并教会我要学以致用，同时也给予我很大的自信心去不断地学习，掌握更多的知识。
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最小拍数字控制器设计
参考文献
[1] 夏扬. 计算机控制技术[M]. 北京：机械工业出版社，2004
[2] 张艳兵. 王忠庆，鲜 浩. 计算机控制技术[M].北京：国防工业出版社，2006
[3] 黄一夫. 微型计算机控制技术[M]，北京：机械工业出版社，2004
[4] 胡寿松. 自动控制原理胡（第五版）北京：科学出版社，2007
[5] 楼顺天. 基于MATLAB 的系统分析与设计（第2版），2005
[6] 张养安、刘林章，MATLAB 软件在数据处理中的应用， 2005
[7]王沫然 编著，MATLAB 与科学计算（第二版），电子工业出版.2005
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[9]布斯 A D[英]. 自动化与计算技术. 吴怡，莫莎译. 北京：国防工业出版社，1965
[10]杨位钦, 谢锡祺. 自动控制理论基础,3-5. 北京:北京理工大学出版社,1991
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[12]涂源钊, 最少拍控制器的设计方法；四川联合大学学,1997
[13]高国琴, 微型计算机控制技术, 机械工业出版社,2006
[14] 全瑞琴，海 玲；浅析基于数字控制器实现的最小拍控制系统；科技传播；2010
[15]席爱民, 计算机控制系统（第一版）, 北京：高等教育出版社，2004
[16] 周凯, 最少拍数字化全闭环位置控制系统. 组合机床与自动化加工技术,1998
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理 工 学 院
本科毕业设计(论文)
题 目： 最少拍数字控制器设计
学 院： 信息工程学院 专 业： 自动化 学 号：
2010
学生姓名： 指导教师：
二○一四年五月二十日
2014届毕业设计(论文)
最少拍数字控制器设计
摘 要
随着工业控制和科学技术发展的进步，传统的控制方法已经不适用于当前的控制要求。数字控制器以其高效的性能满足了人们的要求。其中最少拍数字控制器已成为各个控制领域必不可少的控制器。它的主要性能指标是快速性，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化。本文运用自动控制、计算机控制、MATLAB 仿真技术，实现最少拍数字控制器的设计与分析。并且，本文探讨了改进最少拍数字控制器与扰动系统最少拍数字控制器的设计方法，从而使系统能实现对要求的典型的输入下，运用控制器使闭环系统响应在最少的采样周期内（最少拍）达到采样点上无静差的稳态。
关键词：数字控制器；最少拍数字控制器；无静差
最小拍数字控制器设计
Least-beat Digital Controller Design
Abstract
With the industrial control and the progress of science and technology development, the traditional control method has not meeting the requirements of the current control.Digital controller with its efficient performance meet the requirements of the people.With minimum shoot digital controller has become the indispensable controller control field.Its main performance index is rapidity, output value of the required system as soon as possible to track the given value.In this paper, with automatic control, computer control, the MATLAB simulation technology, achieve a minimum digital controller design and analysis.And, this paper discusses the improved minimum taps digital controller with the least disturbance system design method of digital controller, so that the system can realize the requirement of the typical input, using the controller make the closed-loop system response (at least) in the least amount of sampling cycle sampling point astatic steady state.
Key Words：Digital control; Least-beat Digital Controller; Floating
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目 录
第1章 绪论 ...................................... 1
§1.1 引言 .................................................................................... 1 §1.2内容安排 .............................................................................. 1
第2章 离散控制基础 ......................................................... 3
§2.1离散控制系统的类型 ............................................................ 3 §2.2 信号的采样与复现 ............................................................. 4
§2.1.2 信号的采样与复现 ......................................................... 4
第3章 常规最少拍控制器设计 . .......................................... 8
§3.1最小拍有纹波数字控制器的设计 . .......................................... 8 §3.2 最少拍无纹波数字控制器的设计 . ....................................... 11 §3.2.1 最少拍无纹波控制器的设计条件 .................................... 11 §3.2.2 最少拍无纹波控制器确定Ф(z ) 的步骤 ........................... 12 §3.2.3 无纹波数字控制器的设计 ............................................. 13
第4章 改进的最少拍数字控制器的设计 .......................... 16
§4.1换接程序法 ........................................................................ 16 §4.2 阻尼因子法 . ....................................................................... 16 §4.3 非最少的有限拍控制 ......................................................... 18
第5章 最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真 . ................ 20
§5.1 最少拍有纹波系统的MATLAB 仿真 .................................. 20 §5.1.1 系统的SIMULINK 实现 ................................................. 20 §5.1.2 仿真结果 . ..................................................................... 21 §5.2 最少拍无纹波系统的MATLAB 仿真 ...................................... 21 §5.2.1 系统的SIMULINK 实现 ................................................. 21 §5.2.2 仿真结果 . ..................................................................... 22
第6章 总结 ..................................................................... 23
§6.1 课题工作总结 .................................................................... 23 §6.1 课题未来发展 .................................................................... 23
最小拍数字控制器设计
致 谢 ................................................................................ 25 参考文献 . .......................................................................... 26
2014届毕业设计(论文)
第1章 绪论
§1.1 引言
近年来，随着工业控制技术和航空航天技术的高速发展，人们对控制器的要求也越来越高。一般控制器具有以下几个要求：
1、精确性。指的是对特定输入下的系统，在到达稳态后，系统输出的采样值能准确跟踪输入信号，也就是说采样点上的输出不存在稳态误差。
2、快速性。系统能在有限的拍数下达到稳态的没计状态，也就是系统准确的跟踪输入量所需的采样周期数应为最少。
3、稳定性。控制器必须在物理上可实现且应该是稳定的闭环系统。 离散的数字控制器以其高效的性能满足了人们对系统控制的各项要求，其中最少拍控制是以实现系统快速性为目标的一种离散化设计方法。
最少拍数字控制器的设计步骤：常常包含最少拍有纹波数字控制器设计与最少拍无纹波数字控制器设计两种。在采样点上的输出不存在稳态误差，但是在采样点与采样点之间的输出存在稳态误差的系统为有波纹最少拍控制系统。若在采样点上和采样点之间的输出均没有稳态误差，则这系统为无波纹最少拍控制系统。这两种系统均有各有自的优点，但是也都存在一些不足。相对于最少拍无纹波数字控制系统来说最少拍有纹波数字控制系统能使系统输出达到稳态是的拍数最少，但是，不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零；最少拍无纹波数字控制系统在采样点上和采样点间的输出均不存在稳态误差，但是其缺点是响应速度相对较慢。
不管是最少拍有纹波还是最少拍无纹波控制系统，其控制方程都是由被控对象的数学方程 G(Z)来计算的。其中改进方法包括换接程序法，阻尼因子法与非最少的有限拍控制等方法。
§1.2内容安排
本论文内容主要保函内容有离散控制的基础知识理论简介、数字控制器的设计方法介绍及理论分析、最少拍控制原理、最少拍有纹波数字控制器的设计、最
少拍无纹波数字控制器的设计、改进的最少拍数字控制器的设计、扰动系统最少拍数字控制器的设计、最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真等
本文在第一章绪论之后，第二章离散控制基础部分主要阐述了离散控制系统的类型，信号的采样及复现过程及原理。第三章主要讲述常规最小拍控制器设计，其中包括最小拍有纹波系统与最小拍无纹波系统理论得概述与其设计方法。第四章主要概述最少拍数字控制器的改进算法原理及理论推导。第五章主要为我们展示了最小拍控制器在常见的一些输入下的Matlab 仿真效果图。第六章主要讲述了在设计最小拍控制器过程中的一些方法总结及今后可能的改进措施。
第2章 离散控制基础
从控制系统中的信号形式上看，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。随着计算机技术被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数而是一组离散的脉冲序列，这时就出现了离散控制系统。
§2.1离散控制系统的类型
离散控制系统可进一步分为采样控制系统和数字控制系统两大类。第一种是采样控制系统，第二种是数字控制系统。以下分别简要介绍这两种类型的的系统原理及结构。
1. 采样控制系统
例如图2－1所示的多点信号采样控制系统
图2－1 多点温度采样控制系统
系统内的控制器和对象均是连续信号处理器，用采样开关来达到多个对象共享一个控制器问题。类似系统称为采样控制系统。
二、 数字控制系统
2－2 数字闭环控制系统
如图2－2所示的数字闭环控制系统，控制器只能处理离散信号，控制系统内必有A/D、D/A转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似系统称为数字控制系统。显然，由数字计算机承担控制器功能的系统均可归属于数字控制系统。随着计算机技术的日益普及，数字控制系统的应用会越来越多。
§2.2 信号的采样与复现
在采样控制系统和数字控制系统中，存在一个共同的问题就是怎样把连续信号近似为离散信号，即“整量化” 问题，即连续信号在时间和幅值上均具有无穷多的值，而在计算机上是用有限的时间间隔和有限的数值取代之，这种近似的过程称为整量化。解决这个问题我们必须先输入对信号进行采集，然后对输出信号进行复现。
§2.1.2 信号的采样与复现
由于连续信号不能直接输入到计算机，让计算机进行处理。因此需要对连续信号进行离散化处理，实现把连续信号与离散信号转换的过程称采样。而另一方面，离散信号也不能直接作为控制对象的输入信号，而要将其转换为连续信号。实现把离散信号与连续信号转换的过程称为信号的复现，通常采用“保持器”来实现。
1. 信号的采样
（1）数学描述
信号采样过程的数学描述公式：
f *(t ) =∑f (t ) δ(t -kT ) =f (t ) ∑δ(t -kT )
k =0
∞∞
k =0
∞
t
图2－3 采样器相当于幅值调制器
从物理意义上看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关即采样器是一个幅值调制器，输入的连续信号f (t ) 为调制信号，而单位理想脉冲序列δT (t ) 则为载波信号，采样器的输出则为一串调幅脉冲序列f *(t ) ，如图2-3
所示。
在数字控制系统中，数字计算机接受和处理的是量化后代表脉冲强度的数列。即把幅值连续变化的离散模拟信号用相近的间断的数码（如二进制）来代替，如图7－6示意。图中小圆圈表示的是数码可以实现的数值，是量化单位的整数倍数。由于量化单位是很小的，所以数字控制系统的采样信号f (kT ) ，仍认为与
f (t ) 成线性关系，仍用f *(t ) 表示。
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图2－4 典型数字反馈控制系统
其中： Gc(z)—— 被控对象
⎡1-e -Ts ⎤
G (z ) =Z [H 0(s ) G C (s ) ]=Z ⎢G C (s ) ⎥
⎣s ⎦——广义对象的脉冲传递函数
1-e -Ts
H o (s ) =
s ——零阶保持器
D(z) —— 数字控制器
Φ (z) —— 系统的闭环脉冲传递函数
系统开环脉冲传递函数为：
ΦK (z ) =D (z ) ⋅G (z )
系统的闭环脉冲传递函数为：
Φ(z ) =
ΦK (z ) D (z ) G (z )
=
1+ΦK (z ) 1+D (z ) G (z )
（2）求广义对象的脉冲传递函数G(z)
⎡1-e -Ts ⎤
G (z ) =Z [H 0(s ) G C (s ) ]=Z ⎢G C (s ) ⎥——广义对象的脉冲传递函数
⎣s ⎦
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（3）求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)
系统误差脉冲传递函数：
Φe (z ) =
E (z ) 1
==1-Φ(z ) R (z ) 1+D (z ) G (z )
数字控制器输出闭环脉冲传递函数为：
U (z ) D (z ) Φ(z )
ΦU (z ) ===
R (z ) 1+D (z ) G (z ) G (z )
若已知以上脉冲传递函数，可计算出D(z)：
D (z ) =
已知Φe(z)，可计算出D(z)：
1Φ(z ) ⋅
G (z ) 1-Φ(z )
11-Φe (z )
D (z ) =⋅
G (z ) Φe (z )
已知ΦU(z)，可计算出D(z)：
D (z ) =
ΦU (z ) Φ(z )
=U
1-ΦU (z ) G (z ) 1-Φ(z )
选取不同的闭环脉冲传递函数，D(z)的选取也不同，但是所选的D(z)必须满足以下条件：
①由此而得到的D(z)是物理可实现的，即必须符合因果律。
②D(z)也必须是稳定的，即D(z)的零、极点的分布必须满足稳定条件。 与模拟控制相比，采用全数字化控制具有以下明显优势：
（1）高性能的控制策略和智能控制方案更加易于实现，加快了研究进程； （2）在硬件电路不变的情况下，实现在线修改控制算法，控制更灵活方便； （3）系统可靠性高，易于标准化，维护方便；
（4）系统的一致性较好，体积小，成本低，生产制造方便； （5）使得大规模逆变器并联运行系统的可靠性更高。
综上所述，研究数字控制器设计策略，提高其控制质量，并针对其不足之处加以完善，对于控制技术的发展和应用具有重大意义。
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最小拍数字控制器设计
第3章 常规最少拍控制器设计
随动系统是一种速度跟踪系统，它的主要性能指标是快速性，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化。应用数字控制器设计的随动系统的快速性一般以系统需要多少个采样周期数来表征。通常称一个采样周期为一拍，无疑在越少的拍数内，系统的输出能跟上给定值，则系统的快速性越好。最少拍控制就是为满足这一要求的一种离散化设计方法。
最小拍系统设计原则典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数。
§3.1最小拍有纹波数字控制器的设计
图3－1 控制系统
其中：
1-e -Ts
H 0(s ) =
s ——零阶保持器
G c (s ) =
k v
s (1+T m s ) ——控制对象
C(s) —— 输出 设计步骤:根据以上分析
1）求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)
2）根据输入信号类型以及被控对象G(z)特点确定参数q,d,u,v,j,m,n
Φe (z )
Φ(z )
3）根据上式可求得参数和
4）根据以下式子可求得控制器D(z).
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D (z ) =
1Φ(z ) G (z ) 1-Φ(z )
对于给定一阶惯性加积分环节，时间常数为1S ，增益为10，采样周期T 为1S 的对象，其传递函数为：Gc(S)=10/S(S+1)，针对单位阶跃信号输入，设计最少拍系统如下：
由式（1）可得被控对象的脉冲传递函数为：
⎡1-e -Ts ⎤
[]z H (s ) ∙G (s ) =z ∙G (s ) G(z)=c c ⎢⎥
s ⎣⎦
⎡1⎤
=10(1-z -1) ∙z ⎢2 ⎥
⎣s (s +1) ⎦
z -1(1+0. 717z -1)
=3. 68⨯ (5)
(1-z -1)(1-0. 368z -1)
由（5）式知
d=0， u=0， v=1， j=1， q=2，且j≤q ，则有：m=u+d＝0 ;n=v-j+q＝2
对单位速度输入信号，选择
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1)](1-z -1) q F 1(z ) =(1-z -1) 2
i =1
v -j
Φ(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2
-d
i =1
u
结合
得
Φe (z ) =1-Φ(z )
1-f 21z -1-f 22z -2=(1-z -1) 2
根据多项式相等，其系数相等的的性质，有
f 21=2, f 22=-1
所以，
Φ(z ) =2z -1-z -2
第 9 页 共 32 页
最小拍数字控制器设计
D (z ) =
1Φ(z ) F 2(z )
=, j ≤q -1q -j
G (z ) 1-Φ(z ) G ' (z )(1-z ) F 1(z )
(1-0. 368z -1)(2z -1-z -2)
=-1-1-1
3. 68z (1+0. 718z )(1-z )
0. 543(1-0. 5z -1)(1-0. 368z -1) =-1-1
(1+0. 718z )(1-z ) （6） 从而，
Tz -1-12-1
E (z ) =R (z ) Φe (z ) =(1-z ) =z -12
(1-z )
Tz -1-1-2-2-3-4
(2z -z ) =2z +3z +4z +... Y (z ) =R (z ) Φ(z ) =-12
(1-z )
-1
0. 543(1-0. 5z -1)(1-0. 368z -1)
U (z ) =E (z ) D (z ) =z .
(1+0. 718z -1)(1-z -1)
即：
U (z ) =0. 54z -1-0. 32z -2+0. 40z -3-0. 12z -4+0. 25z -5+...
其控制器输出与系统输出如下图所示：
u 0.5
y 432
10
图3－2 控制器输出
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§3.2 最少拍无纹波数字控制器的设计
按最少拍有纹波系统设计的控制器，其系统的输出值跟踪输入值后，在非采样点有纹波存在；原因就在于当偏差为0时，数字控制器的输出序列u(k) 不为恒值（常数或零），而是振荡收敛的；非采样时刻的纹波现象不仅造成非采样时刻的偏差，而且浪费执行机构的功率，增加设备磨损，因此必须消除。
§3.2.1 最少拍无纹波控制器的设计条件
1. 被控对象条件
无纹波系统要求系统的输出信号在采样点之间不产生纹波，必须满足： ①对阶跃输入，当t ≥ NT时，有y(t)=常数；
②对速度输入，当t ≥ NT时，有y ’(t)=常数；即G (s)中至少要有一个积分环节，
③对加速度输入，当t ≥ NT时，有y ’’(t)=常数；G (s)中至少要有两个积分环节，
这样，被控对象G (s)必须有能力给出与系统r(t)相同且平滑的输出。因此，设计最少拍无纹波控制器时，被控对象必须有足够的积分环节。
2. 确定Ф(z)的约束条件
要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常值（包括0）。控制信号u(k)的Z 变换：
-k
U (z ) =∑u (k ) z
k =0∞
-1-l -(l +1)
=u (0) +u (1) z +... +u (l ) z +u (l +1) z +...
如果系统经过l 个采样周期到达稳态，无纹波要求：
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最小拍数字控制器设计
u (l ) =u (l +1) =u (l +2) =... =常数(包括0)
设广义对象
G (z ) =z -d
由
B (z ) A (z )
Y (z ) Φ(z ) Φ(z )
Y (z ) =G (z ) U (z ) ⇒U (z ) ==R (z ) =-d A (z ) R (z )
G (z ) G (z ) z B (z )
要使u(k)为常数， u(k)必须是z-1的有限多项式。故闭环传递函数必须包含G(z)的全部零点及滞后环节。
令
Φ(z ) =z B (z ) F 2(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z )
-d
-d
i =1
w
w 为G(z)所有零点数（包括单位圆内、单位圆上以及单位圆外的零点），b1,b2, …,bw为其所有零点。
F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2+... +f 2n z -n
由此可见，有纹波和无纹波设计唯一区别在于：
有纹波设计时，Ф(z)包含G(z) 单位圆上和单位圆外的零点；
无波纹设计时，Ф(z)包含G(z)单位圆内、单位圆上、单位圆外的所有零点。
§3.2.2 最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的步骤
确定Ф(z)必须满足下列条件：
①被控对象中含有足够的积分环节，以满足无纹波系统设计的必要条件； ②按照一下公式
Φ(z ) =z
-d
[∏(1-b i z -1)]F 2(z )
i =1
w
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v -j i =1
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1)](1-z -1) q F 1(z ) , q ≥j
选择Ф(z) ③按照一下公式
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1) ]1(-z -1) j F 1(z ) , q
i =1
v -j
选择Фe(z)；
F1(z)、 F2(z)阶数的确定
F 1(z ) =1+f 11z -1+f 12z -2+... +f 1m z -m
-1-2-n
F (z ) =f z +f z +... +f z 21222n 2
若G(z)有j 个极点在单位圆上，即z ＝1，当j ≤ q，有
m=w+d
n=v-j+q
若G(z)有j 个极点在单位圆上，即z ＝1，当j> q，有m=w+d ；n=v
§3.2.3 无纹波数字控制器的设计
可按照有纹波控制器的设计步骤设计 同样的，由（5）式知
被控对象不含纯滞后z-d ，d=0; 共包含一个零点b1 =-0.718, w=1;
包含一个单位圆外或单位圆上的极点，v=1，且一个极点在单位圆上， j=1； 输入信号为单位速度， q=2，且j
m=w+d＝1 n=v-j+q＝2
因此：
F 1(z ) =1+f 11z -1
F 2(z ) =f 21z -1+f 22z -2
对单位速度输入信号，选择
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最小拍数字控制器设计
Φe (z ) =1-Φ(z ) =[∏(1-a i z -1
)](1-z -1) q F 1(z ) , q ≥j
i =1
v -j
-d
w
=(1-z -1) 2(1+f 11z -1)
Φ(z ) =z [∏(1-b i z -1)]F 2(z ) =(1+0. 718z -1)(f 21z -1+f 22z -2)
i =1
由 得
Φe (z ) =1-Φ(z )
-1-1-2-12-1
=1-(1+0. 718z )(f z +f z ) (1-z ) (1+f z ) 212211
展开有 ：
1+(f 11-2) z -1+(1-2f 11) z -2+f 11z -3
=1-f 21z -1-(f 22+0. 718f 21) z -2-0. 718f 22z -3
对应系数相等，得：f 11=0. 592，f 21=1. 408， f 22=-0. 825
-12-1
Φ(z ) =(1-z ) (1+0. 592z ) e 故有
Φ(z ) =(1+0. 718z -1)(1. 408z -1-0. 825z -2)
得
0. 383⨯(1-0. 5859z -1)(1-0. 368z -1) 1Φ(z )
D (z ) ==-1-1
(1+0. 592z )(1-z ) G (z ) 1-Φ(z ) （7）
Tz -1-1-1-2
Y (z ) =R (z ) Φ(z ) =(1+0. 718z )(1. 408z -0. 825z ) -12
(1-z )
-2-3-4
=1. 41z +3z +4z +...
Tz -1-12-1-1-2
E (z ) =R (z ) Φe (z ) =(1-z ) (1+0. 592z ) =z +0. 592z -12
(1-z )
U (z ) =
Y (z ) R (z ) Φ(z )
=G (z ) G (z )
=0. 38z -1+0. 02z -2+0. 09z -3+0. 09z -4+...
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u
0.4
y 4
3
2
1
图3－3控制器输出
结合图3－3和上述最少拍控制系统的设计可知，显然，无纹波调整时间为拍，控制算法都是依据被控对象的准确的数学模型 G(z)来确定的。因此，在利用最少拍控制算法去控制模拟连续系统时，为了保证良好的控制效果，前提必须保证被控对象的数学模型G(z)很准确。
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最小拍数字控制器设计
第4章 改进的最少拍数字控制器的设计
最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；而最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：换接程序法、阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。
§4.1换接程序法
换接程序法是一种简便，快捷的改进方法，此方法采用两个或多个数字控制器，按照E(z)量的大小来判定使用哪种控制器，从而达到在同一系统中使用到不同算法来调节控制量，使得输出Y(z)满足人们的要求。
用换接程序来改善过渡过程如下：
图4－1 换接程序最少拍系统
最小均方误差系统设计按照均方误差最小这一最优性能指标，综合考虑不同典型输入信号作用，使系统达到“综合最佳”。
§4.2 阻尼因子法
阻尼因子法是一种常规的调节与改进系统性能的方法。为了让最小拍系统能够适应性不同的输入信号，我们常采用采用阻尼因子法，我们可以在最小拍控制系统设计的基础上，在系统的闭环脉冲传函中引入附加的极点（即阻尼因子），使系统输出偏差不立即为零，而出现一定的阻尼衰减特性，逐渐归零。从而，系统输出响应的过渡过程时间将会有一定程度的增加，但整个系统的输出响应的响应特性显得比较平稳，对不同输入信号的适应性也会有所改善。
因此，阻尼因子法的本质是以增加了过渡过程时间，从来提高系统对输入不同第 16 页 共 32
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信号的适应性。它的目标是使系统在输出响应的过渡过程中，纹波、超调量、过渡过程时间等性能综合最佳。
其D(z)推导公式如下:
1-Gc *(z ) =1-Gc (z )
1-az -1
Gc (z ) -az -1
*Gc (z ) =1-az -1
1Gc *(z ) D (z ) =*HG (z ) 1-Gc *(z )
设广义对象脉冲传递函数:
系统的典型输入函数为单位速度输入 0. 005z -1(1-0. 9z -1) HG (Z ) =(1-z -1)(1-0. 905z -1)
Gc (z ) =z -1(Φ0+Φ1z -1) =2z -1-z -2
Ge (z ) =(1-z -1) 2
-1-1-2Gc (z ) -az (2-a ) z -z Gc *(z ) ==-11-az 1-az -1
于是得数字控制器为 :
1Gc *(z ) 200(1-0. 905z -1)((2-a ) -z -1) D
(z ) ==*HG (z ) 1-Gc (z ) (1-0. 9z -1)(1-z -1)
图4－2系统对阶跃的响应 图4－3系统对斜坡的响应
通过适当选择系数值，可以改变控制器中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度。
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最小拍数字控制器设计
§4.3 非最少的有限拍控制
最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。我们可以适当降低闭环系统对参数变化的灵敏度，用非最小的有限拍控制方式来改善系统，使得系统性能达到最佳。
0. 5z -10. 6z -1
HG (z ) =−−→-1(1-0. 5z ) (1-0. 4z -1)
为降低闭环系统对参数变化的灵敏度，试对斜坡输入设计非最少的有限拍控制系统，并验证当实际广义对象HG(z)变化后系统的输出。
0. 5z -1
HG (z ) =(1-0. 5z -1)
显然u=0，v=0，m=1，q=2，并且q+v=2
Gc (z ) =z -m -1-1-q -v +1(1-b z ) (Φ+Φz +... +Φz ) ∏i 01q +v -1
i =1u
⎡v -1⎤Ge (z ) =(1-z ) ⎢∏(1-a i z ) ⎥(1+f 1z -1+... +f m +u -1z -m -u +1) ⎣i =1⎦
Gc (z ) =z -1(Φ0+Φ1z -1) -1q
Ge (z ) =(1-z -1) 2
为降低系统对参数变化的灵敏度，取
H (z ) =1+0. 5z -1
*Gc (z ) ， 设非最少的有限拍控制系统对应的闭环脉冲传递函数为
则有：
*-12-1-1-3(1-Gc (z )) H (z ) =(1-z ) (1+0. 5z ) =1-1. 5z +0. 5z
可得出
Gc *(z ) =1. 5z -1-0. 5z -3
即控制为：
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1Gc *(z ) D (z ) =HG (z ) 1-Gz *(z )
(1-0. 5z -1) 1. 5z -1-0. 5z -3
=0. 5z -11-1. 5z -1+0. 5z -3
(1-0. 5z -1)(3-z -2) =1-1. 5z -1+0. 5z -3
采用D(z)的闭环系统对单位斜坡输入的响应为:
D (z ) HG *(z ) Gc *(z ) =1+D (z ) HG *(z )
0. 6z -1(1-0. 5z -1)(3-z -2) =1-0. 1z -1-0. 3z -2-0. 1z -3+0. 1z -4
当实际广义被控对象变化时，系统闭环传递函数为
Y (z ) =Gc *(z ) R (z )
Tz -1(1. 5z -1-0. 5z -3) =(1-z )
=T (1. 5z -2+3z -3+4z -4+...)
注意到这时， G(Z) 不再是有限阶次的z-1多项式，因此系统响应已不再是有限拍的了。系统对单位速度输入的响应为：
Y (z ) =Gc *(z ) R (z )
0. 6z (1-0. 5z )(3-z ) =-1-2-3-4-11-0. 1z -0. 3z -0. 1z +0. 1z (1-z )
=T (1. 8z -2+2. 88z -3+3. 828z -4+5. 0268z -6+...)
显然，尽管系统参数发生了较大变化，但系统的输出响应仍然是比较好的。 另外，采用非最少的有限拍控制器，还有利于减少控制变量的幅值。 -1-1-2
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最小拍数字控制器设计
第5章 最少拍数字控制系统的MATLAB 仿真
本章主要运用MATLAB 中的SIMULINK 对系统进行动态系统建模，首先在SIMULINK 中找出典型系统模块, 然后输入已经计算好的参数。最后运行程序，输出结果。
§5.1 最少拍有纹波系统的MATLAB 仿真
§5.1.1 系统的SIMULINK 实现
1. 计算系统参数 U (z ) =E (z )
m 由控制器 D (z ) =∑b z i i =0n i =1m -i 1+∑a i z -i -i n -i U (z ) =b z E (z ) -a z ∑i ∑i U (z ) 推出控制输
i =0i =1
从而得到D(z)的计算机控制递推算式：
U (k ) =∑b i e (k -i ) -∑a i u (k -i ) i -0i -1m n
2. 根据D(z)的计算机控制递推算式，计算出系统最少拍有纹波中传递函中各项参数，最后在MATLAB 的SIMULINK 中编写程序。如下图所示:
图5－1 有纹波数字控制器
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§5.1.2 仿真结果
（1）、数字控制器输出U(z)
图5－2 最少拍有纹波MATLAB 仿真效果图
（2）、系统输出Y(z)
图5－3最少拍有纹波控制系统的仿真
§5.2 最少拍无纹波系统的MATLAB 仿真
§5.2.1 系统的SIMULINK 实现
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最小拍数字控制器设计
根据D(z)的计算机控制递推算式，计算出系统最少拍有纹波中传递函中各项参数，最后在MATLAB 的SIMULINK 中编写程序。如下图所示。
图5－4 无纹波数字控制器
§5.2.2 仿真结果
（1）、数字控制器输出U(z)
图5－5 最少拍无纹波MATLAB 仿真图
（2）、系统输出Y(z)
图5－6最少拍无纹波MATLAB 仿真图
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第6章 总结
§6.1 课题工作总结
论文写作期间，我能按照导师的要求及时完成每个阶段的任务。从对论文进行了选题开始，我的导师洪国辉老师就一直指点我。在导师的指点下，确定最后的论文题目为《最少拍数字控制器设计》，确定题目后，我从武昌理工学院图书馆资料室、武昌理工学院图书馆网站中国知网、武昌理工学院图书馆网站学术期刊网等渠道对文献资料的进行搜集查阅，并对资料进行分析整理、归纳总结，然后撰写开题报告，并与导师进行了理论交流。听取洪老师的意见后，对开题报告进行修改，最后提交给导师。在进行初稿的写作期间，我仔细阅读了胡寿松老师的《自动控制原理胡（第五版）》控制其设计章节，黄一夫老师的《微型计算机控制技术》中离散信号理论部分及MATLAB 的系统分析与设计等书籍。让我对最小拍控制器理论有了更深层次的了解与掌握，并且能够用MATLAB 软件中的SIMULINK 进行仿真设计。之后，经过导师的审阅、修改，我将论文中的出现的所有问题进行了重新修正和进一步完善，并在5月10日之前完成论文二稿，提交给导师进一步审批。根据的导师的审批意见，我对论文进一步修改，最终如期完成三稿。
§6.2 课题未来发展
与连续系统一样，离散系统所要研究的问题也是系统的控制性能，只是由于离散系统含有离散信号，因此采用的数学工具和研究方法跟连续系统有所不同。离散系统的数学模型是差分方程和脉冲传递函数。而在系统分析中，广泛应用基于Z 变换原理的脉冲传递函数。本文详细阐述了系统数学模型的建立以及脉冲传递函数的计算问题，并提出了一种简单实用的求闭环系统脉冲传递函数的方法。
本文仅仅对数字控制器进行了简要介绍，主要介绍了常规最小拍控制器设计，改进的最小拍控制器设计及常见信号输入下典型系统MATLAB 仿真输出效
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最小拍数字控制器设计
果。其实，最小拍控制器理论博大精深，对其改进的算法设计也不计其数，其实际运用场合也非常普遍。如电液比例控制, 数字调节仪表控制器，大型风机，新能源的各个领域。因此，在不久的将来，我们一定会看到更多相关算法及理论的产生。其运用场合也将越来越广阔，控制精度与速度也将越来越好。
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2014届毕业设计(论文)
致 谢
时光飞逝，岁月荏苒，此刻已是大学毕业的时节，离开学校日子已经日趋临近了。从开始选择论文课题到论文的顺利完成，离不开学院的指导老师，同学，朋友等给我热情的帮助，在此我表示我最诚挚的谢意！特别是我的指导老师洪老师，经过他的精心指导，让我克服了种种困难完成了本次论文。
在此，也感谢我的父母在生活中给了我无微不至的帮助，感谢大学四年里帮助我，关心我的同学们。最后，还要感谢大学四年的所有老师，谢谢你们认真负责，严谨的教学，让我收获了很多的知识，并教会我要学以致用，同时也给予我很大的自信心去不断地学习，掌握更多的知识。
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最小拍数字控制器设计
参考文献
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[7]王沫然 编著，MATLAB 与科学计算（第二版），电子工业出版.2005
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