平湖市新华爱心高级中学教学案之教案 平湖市新华爱心高级中学教学案之教案
课 题 1.6 微积分基本定理 课型：新授 课 主备教师：刘 素梅 总课时： 第 课时
学习目标
通过实例， 直观了解微积分基本定理的含义， 用牛顿-莱布尼兹公式求简单的积 会 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式求简单的积 通过实例， 直观了解微积分基本定理的含义， 使学生直观了解微积分基 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，
教学重难点
本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 备课札记
教学过程
1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂， 所以不是求定积 分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t ) ≥ o ） ， 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为
∫
T2
T1
v(t )dt 。
另 一 方 面 ， 这 段 路 程 还 可 以 通 过 位 置 函 数 S （ t ） 在 [T1 , T2 ] 上 的 增 量
S (T1 ) − S (T2 ) 来表达，即
∫
T2
T1
v(t )dt = S (T1 ) − S (T2 )
而 S ′(t ) = v (t ) 。
对于一般函数 f ( x ) ，设 F ′( x ) = f ( x ) ，是否也有
∫
b
若上式成立，我们就找到了用 f ( x ) 的原函数 原函数（即满足 F ′( x ) = f ( x ) ）的数 原函数 值差 F (b) − F ( a ) 来计算 f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。 注： 定理 如果函数 F ( x ) 是 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数， 1：
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
则
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
证明：因为 Φ ( x) =
∫
x
F ( x ) - Φ ( x) =C（ a ≤ x ≤ b ）
其中 C 为某一常数。 令 x = a 得 F ( a ) - Φ ( a ) =C，且 Φ ( a ) = 即有 C= F ( a ) ，故 F ( x ) = Φ ( x) + F ( a )
a
f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x ) 的原函数，故
∫
a
a
f (t )dt =0
∴ Φ ( x) = F ( x ) - F ( a) = ∫ f (t )dt
a
x
令 x = b ，有
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
此处并不要求学生理解证明的过程 b 为了方便起见，还常用 F ( x ) |a 表示 F (b) − F (a) ，即
∫
b
a
f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) − F (a) a
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函 数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与 积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也 提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处 于极其重要的地
位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发 展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例 1．计算下列定积分： （1）
3 1 1 dx ； （2） ∫ (2 x − 2 )dx 。 ∫1 x 1 x 1 ' 解： （1）因为 (ln x ) = ， x 21 2 所以 ∫ dx = ln x |1 = ln 2 − ln1 = ln 2 。 1 x 1 ' 1 2 ' （2） ）因为 ( x ) = 2 x, ( ) = − 2 ， x x 3 3 3 1 1 所以 ∫ (2 x − 2 ) dx = ∫ 2 xdx − ∫ 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 = x 2 |1 + |1 = (9 − 1) + ( − 1) = 。 x 3 3 2
练习：计算 解：由于
∫
1
0
x 2 dx
1 3 x 是 x 2 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ∫0 x dx = 3 x |0 = 3 ⋅1 − 3 ⋅ 0 = 3
2π 2π
例 2．计算下列定积分：
∫
π
0
sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx 。
π
0
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为 ( − cos x) ' = sin x ，
所以
∫ sin xdx = (− cos x) | = (− cos π ) − (− cos 0) = 2 ， π π ∫π sin xdx = (− cos x) |π = (− cos 2π ) − (− cos π ) = −2 ， π π ∫ sin xdx = (− cos x) | = (− cos 2π ) − (− cos 0) = 0 .
π
0 0 2 2 2 0 2 0
π
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0: (l ） 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 （图 1.6 一 3 ) ， 定积分的值取正值， 且等于曲边梯形的面积；
图1.6 一 3(2 ） （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取 负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积 时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减 去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例 3．汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减 速度 a =1.8 米/秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算 定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积 分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本 定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
课堂小结： 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下 的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理， 得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函 数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来 多复习！
教学反思
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课 题 1.6 微积分基本定理 课型：新授 课 主备教师：刘 素梅 总课时： 第 课时
学习目标
通过实例， 直观了解微积分基本定理的含义， 用牛顿-莱布尼兹公式求简单的积 会 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式求简单的积 通过实例， 直观了解微积分基本定理的含义， 使学生直观了解微积分基 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，
教学重难点
本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 备课札记
教学过程
1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂， 所以不是求定积 分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t ) ≥ o ） ， 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为
∫
T2
T1
v(t )dt 。
另 一 方 面 ， 这 段 路 程 还 可 以 通 过 位 置 函 数 S （ t ） 在 [T1 , T2 ] 上 的 增 量
S (T1 ) − S (T2 ) 来表达，即
∫
T2
T1
v(t )dt = S (T1 ) − S (T2 )
而 S ′(t ) = v (t ) 。
对于一般函数 f ( x ) ，设 F ′( x ) = f ( x ) ，是否也有
∫
b
若上式成立，我们就找到了用 f ( x ) 的原函数 原函数（即满足 F ′( x ) = f ( x ) ）的数 原函数 值差 F (b) − F ( a ) 来计算 f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。 注： 定理 如果函数 F ( x ) 是 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数， 1：
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
则
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
证明：因为 Φ ( x) =
∫
x
F ( x ) - Φ ( x) =C（ a ≤ x ≤ b ）
其中 C 为某一常数。 令 x = a 得 F ( a ) - Φ ( a ) =C，且 Φ ( a ) = 即有 C= F ( a ) ，故 F ( x ) = Φ ( x) + F ( a )
a
f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x ) 的原函数，故
∫
a
a
f (t )dt =0
∴ Φ ( x) = F ( x ) - F ( a) = ∫ f (t )dt
a
x
令 x = b ，有
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
此处并不要求学生理解证明的过程 b 为了方便起见，还常用 F ( x ) |a 表示 F (b) − F (a) ，即
∫
b
a
f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) − F (a) a
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函 数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与 积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也 提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处 于极其重要的地
位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发 展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例 1．计算下列定积分： （1）
3 1 1 dx ； （2） ∫ (2 x − 2 )dx 。 ∫1 x 1 x 1 ' 解： （1）因为 (ln x ) = ， x 21 2 所以 ∫ dx = ln x |1 = ln 2 − ln1 = ln 2 。 1 x 1 ' 1 2 ' （2） ）因为 ( x ) = 2 x, ( ) = − 2 ， x x 3 3 3 1 1 所以 ∫ (2 x − 2 ) dx = ∫ 2 xdx − ∫ 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 = x 2 |1 + |1 = (9 − 1) + ( − 1) = 。 x 3 3 2
练习：计算 解：由于
∫
1
0
x 2 dx
1 3 x 是 x 2 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ∫0 x dx = 3 x |0 = 3 ⋅1 − 3 ⋅ 0 = 3
2π 2π
例 2．计算下列定积分：
∫
π
0
sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx 。
π
0
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为 ( − cos x) ' = sin x ，
所以
∫ sin xdx = (− cos x) | = (− cos π ) − (− cos 0) = 2 ， π π ∫π sin xdx = (− cos x) |π = (− cos 2π ) − (− cos π ) = −2 ， π π ∫ sin xdx = (− cos x) | = (− cos 2π ) − (− cos 0) = 0 .
π
0 0 2 2 2 0 2 0
π
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0: (l ） 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 （图 1.6 一 3 ) ， 定积分的值取正值， 且等于曲边梯形的面积；
图1.6 一 3(2 ） （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取 负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积 时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减 去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例 3．汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减 速度 a =1.8 米/秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算 定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积 分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本 定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
课堂小结： 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下 的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理， 得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函 数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来 多复习！
教学反思