随机过程在水文学及水资源中的应用

随机过程在水文学及水资源中的应用

摘要：应用随机过程的知识对水文现象进行分析是水科学工作者的一项重要工作，本文介绍了时间序列分析的ARMA（p，q）模型，并具体讨论了其在某地区干旱频率分析中的应用。

关键词：随机过程 模拟 频率 降雨量

Abstract：Knowledgeof random process analysis of the hydrological water is an important work of scientists, this paper introduces time series analysis of the ARMA (p, q) model, and specifically discussed the frequency of droughts in a region analysis Key words：random process Simulation Frequency Rainfall

1 引言

随机过程是研究随时间演变的随机现象的一门学科．它以概率论为基础，但又是概率论的深入和发展，随着科学技术的发展，它巳技广泛地应用到雷达与通信、动态可靠性、自动控制、生物工程、社会科学以及其它工程科学等领域，并反在这些领域显示出十分重要的作用。对于水文学，要了解水文水资源系统各组成间的相互关系，预测水资源规划设计方案可能产生的效果及对生态的影响，当前可行的一个方法就是水文水资源随机模拟。水文随机模拟技术，最初是从水库设计问题提出的。1927年C.E.祖德勒曾为确定水库容积的概率分布而生成了1000年的年径流记录。但在此后的30年间，由于计算技术的限制，这种方法并未在工程界得到实际应用。直至50年代，随着计算机的问世，水文随机模拟又重新受到重视。在水资源系统工程的规划设计及管理运用方面应用水文随机模拟的大量研究，是从60年代几乎同时在苏联和美国开始的。我国20世纪70年代末及80年代，以成都科技大学（四川大学）、河海大学为代表开展了大量的水文水资源随机模拟的理论与应用研究工作，形成了以随机过程理论为基础的水文学新分支—随机水文学[1]。随机模拟的基本理论包括马尔可夫过程、平稳随机过程，分析方法有时间序列分析、序列的组成分析及其识别、序列的极差分析和轮次分析。随机模型基本是在这些理论和方法上发展起来的。就目前的研究现状，随机模型大体有三类：线性参数随机模型、非线性参数随机模型、非参数或半参数随机模型。本文主要介绍AR(p)模型—是ARMA(p，q)的特殊形式，ARMA(p，q)模型是描述平稳随机序列的一类最主要的线性平稳模型。

2 年降雨序列频率分析

自回归模型

2.1 年降雨序列随机模型

建立年降雨序列随机模型是为了分析洪水或干旱发生的频率，并分析其过程的统计特性，研究其一般规律，从而为相关部门决策做出一定的参考依据。设实测年降雨序列为{zii=1,2, ,n},n为样本容量。对年降雨序列的统计特性分析表明，一般可以用AR(1)模型描述[1,2]：

zt=u+r1(zt-1-u)+εt

式中，zt为第t年的降雨量，u为多年平均降雨量，r1为一阶自回归系数，εt为对应zt的独立随机项。AR(1)模型中包含有3个基本参数：均值u、标准差s和Φ一阶自相关系数r1，可以根据实测年降雨序列估计。

由于年降雨序列近似服从P-Ⅲ型分布，故AR(1)随机模型的结构为

zt=u+r1(zt-1-u)+s-rφt

式中，φt为标准P-Ⅲ型分布的纯随机变量，其偏态系数是 21

Csφ=Cs(1-r13)/(1-r12)1.5

2.2 地区干旱频率分析

用经适用性检验后的AR(1)模型生成年降雨量模拟序列，对其进行轮次分析，从而对地区十旱历时和干旱程度等干旱特征量的频率分布进行估计。设一年降雨且序列{zt}及给定的切割水平y，当zt在一个或多个时段连续小于(或大于等于)y仍后，则出现负(正)轮次，称相应各轮次的时段和为负(正)轮次长。假定有M个轮次，同样就有M个轮次和与之相对应。切割水平一般可取用多年降雨量的均值，负轮长表示干旱的持续年数，而负轮次和表示缺水量，即干旱程度。地区干早特征量的频率分析的具体计算过程为[3]：

(1)计算年降雨量模拟序列体{zti=1,2, ,N}的负轮长序列

{lt|t=1,2, ,M}。

(2)统计在模拟序列长度N年内出现负轮长分别为1，2，…，M'(最大负轮长)的次数为n1,n2, ,nM'，则各负轮长的频率pi估计为

pi=ni/N i=1,2, ,M'

(3)以负轮长为纵坐标，以超过负轮长的累积频率为横坐标，可绘制负轮长与

累积频率关系曲线，根据该曲线即可估计干旱历时的频率待征。同理，以负轮次和(干旱程度)为纵坐标，以超过负轮次和的累积频率为横坐标，可绘制负轮次和与累积频率关系曲线，根据该曲线即可估计十旱程度的频率特征。

3 实例分析

现在以中国南方某区域为例，进一步说明随机分析方法在该地区干旱频率分析中的应用。该区地处热带,尽管降水丰沛,但时空分布不均匀,年内各月的分配相差很大,降水量最多的月份是8、9月份,达230 mm～320 mm,而最少的月份是12月和1月,仅15 mm～30 mm。降水量的空间分布是自北往南渐减,东部多于西部。由于各地蒸发量大于降水量,故极易出现干旱。选用地区中心雨量1955～2000年实测降雨量序列,在整个观测期内下垫面、气候条件基本上是稳定的,因此可以认为选用的资料具有一致性和较高的代表性。

由建立的AR (1)模型模拟出长度为10 000a的序列,计算该模拟序列相应的统计参数,结果见表1。表1说明,实测序列和模拟序列的主要统计参数无显著差异,即通过模型模拟能反映该站年降雨量的统计特性。取Ns=50、α=0.316 (相当于正负一个标准差的范围),采用短序列法对模型进行了检验计算,结果见表

2。表2说明,实测序列的统计参数均落在置信区间内,因此可以接受AR(1)模型为年降雨量的推论总体[4]。

表1 年降雨量序列统计参数的长序列法检验

序列 u(mm) s(mm) Cv

0.262

0.263 Cs 0.638 0.647 r1 0.176 0.163 实测序列

模拟序列 1605 1602 421.01 422.10

表2 年降雨量AR（1）模型的短系列法检验

模拟序列

分类

w ∧实测样本w Sw w-Sw~w+Sw ∧∧

u(mm) 1601

0.269

0.696

0.188 100.3 0.051 0.128 0.103 1500.8~1701.4 0.218~0.320 0.568~0.824 0.085~0.291 1605 0.262 0.638 0.176 Cv Cs r1

切割水平取用多年降雨量的均值。对10000年的年降雨量模拟序列出现的不问负轮长及出现次数进行统计，将超过一定负轮长的频次进行累加，对年降雨量的负轮长序列进行排频计算，绘制的负轮长与累积频率关系曲线如图1所示，负轮次和与累积频率关系曲线如图2所不，分别作为估计干旱历时和干旱程度的顺率特征的依据。

图1 某站模拟年降雨量负轮长频率曲线 图2 某站年降雨量负轮次和频率曲线

运用图1或图2,就可对已发生的地区干旱的重现期进行识别。在该站46年的观测年限中曾出现最大负轮长(干旱历时)为8年的严重干旱事件,由图1查得其频率为0.89%,可判定该站出现8年和更长的严重干旱的重现期约为112年一遇。同样也可对负轮次和的重现期予以识别,如由图2查得该站负轮次和(干旱程度)为2 000mm的频率为1.60%,推知其重现期约为63年一遇。显然,直接根据该站46年的观测资料是无法估计这些最大负轮长和负轮次和的重现期的。 4结语

受自然变化和人类活动的影响，水文水资源系统呈现出明显的不确定性（主要是随机性）行为特征，是典型的复杂系统，这些不确定性对水文水资源系统规划设计与运行管理产生重要影响，且现在对水文水资源系统进行真实的物理实验以揭示其结构和功能，尚十分困难。在这种情况下，如何利用随机过程的原理对大量的水文不确定性现象进行研究是当前水文工作的一个重要分支，随机过程与水文学会结合也会越来越紧密。

参考文献

[1] 丁 晶,邓育仁.随机水文学[M].成都:成都科技大学出版社, 1988

[2] 张卓奎,陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社,2004

[3] 赵吴静.地区干旱随机模拟研究[D].合肥:合肥工业大学, 2002

[4] 孙荣强.旱情评定与旱情指标之探讨[J].自然灾害学报,1994, 3 (3): 49-55·

随机过程在水文学及水资源中的应用

摘要：应用随机过程的知识对水文现象进行分析是水科学工作者的一项重要工作，本文介绍了时间序列分析的ARMA（p，q）模型，并具体讨论了其在某地区干旱频率分析中的应用。

关键词：随机过程 模拟 频率 降雨量

Abstract：Knowledgeof random process analysis of the hydrological water is an important work of scientists, this paper introduces time series analysis of the ARMA (p, q) model, and specifically discussed the frequency of droughts in a region analysis Key words：random process Simulation Frequency Rainfall

1 引言

随机过程是研究随时间演变的随机现象的一门学科．它以概率论为基础，但又是概率论的深入和发展，随着科学技术的发展，它巳技广泛地应用到雷达与通信、动态可靠性、自动控制、生物工程、社会科学以及其它工程科学等领域，并反在这些领域显示出十分重要的作用。对于水文学，要了解水文水资源系统各组成间的相互关系，预测水资源规划设计方案可能产生的效果及对生态的影响，当前可行的一个方法就是水文水资源随机模拟。水文随机模拟技术，最初是从水库设计问题提出的。1927年C.E.祖德勒曾为确定水库容积的概率分布而生成了1000年的年径流记录。但在此后的30年间，由于计算技术的限制，这种方法并未在工程界得到实际应用。直至50年代，随着计算机的问世，水文随机模拟又重新受到重视。在水资源系统工程的规划设计及管理运用方面应用水文随机模拟的大量研究，是从60年代几乎同时在苏联和美国开始的。我国20世纪70年代末及80年代，以成都科技大学（四川大学）、河海大学为代表开展了大量的水文水资源随机模拟的理论与应用研究工作，形成了以随机过程理论为基础的水文学新分支—随机水文学[1]。随机模拟的基本理论包括马尔可夫过程、平稳随机过程，分析方法有时间序列分析、序列的组成分析及其识别、序列的极差分析和轮次分析。随机模型基本是在这些理论和方法上发展起来的。就目前的研究现状，随机模型大体有三类：线性参数随机模型、非线性参数随机模型、非参数或半参数随机模型。本文主要介绍AR(p)模型—是ARMA(p，q)的特殊形式，ARMA(p，q)模型是描述平稳随机序列的一类最主要的线性平稳模型。

2 年降雨序列频率分析

自回归模型

2.1 年降雨序列随机模型

建立年降雨序列随机模型是为了分析洪水或干旱发生的频率，并分析其过程的统计特性，研究其一般规律，从而为相关部门决策做出一定的参考依据。设实测年降雨序列为{zii=1,2, ,n},n为样本容量。对年降雨序列的统计特性分析表明，一般可以用AR(1)模型描述[1,2]：

zt=u+r1(zt-1-u)+εt

式中，zt为第t年的降雨量，u为多年平均降雨量，r1为一阶自回归系数，εt为对应zt的独立随机项。AR(1)模型中包含有3个基本参数：均值u、标准差s和Φ一阶自相关系数r1，可以根据实测年降雨序列估计。

由于年降雨序列近似服从P-Ⅲ型分布，故AR(1)随机模型的结构为

zt=u+r1(zt-1-u)+s-rφt

式中，φt为标准P-Ⅲ型分布的纯随机变量，其偏态系数是 21

Csφ=Cs(1-r13)/(1-r12)1.5

2.2 地区干旱频率分析

用经适用性检验后的AR(1)模型生成年降雨量模拟序列，对其进行轮次分析，从而对地区十旱历时和干旱程度等干旱特征量的频率分布进行估计。设一年降雨且序列{zt}及给定的切割水平y，当zt在一个或多个时段连续小于(或大于等于)y仍后，则出现负(正)轮次，称相应各轮次的时段和为负(正)轮次长。假定有M个轮次，同样就有M个轮次和与之相对应。切割水平一般可取用多年降雨量的均值，负轮长表示干旱的持续年数，而负轮次和表示缺水量，即干旱程度。地区干早特征量的频率分析的具体计算过程为[3]：

(1)计算年降雨量模拟序列体{zti=1,2, ,N}的负轮长序列

{lt|t=1,2, ,M}。

(2)统计在模拟序列长度N年内出现负轮长分别为1，2，…，M'(最大负轮长)的次数为n1,n2, ,nM'，则各负轮长的频率pi估计为

pi=ni/N i=1,2, ,M'

(3)以负轮长为纵坐标，以超过负轮长的累积频率为横坐标，可绘制负轮长与

累积频率关系曲线，根据该曲线即可估计干旱历时的频率待征。同理，以负轮次和(干旱程度)为纵坐标，以超过负轮次和的累积频率为横坐标，可绘制负轮次和与累积频率关系曲线，根据该曲线即可估计十旱程度的频率特征。

3 实例分析

现在以中国南方某区域为例，进一步说明随机分析方法在该地区干旱频率分析中的应用。该区地处热带,尽管降水丰沛,但时空分布不均匀,年内各月的分配相差很大,降水量最多的月份是8、9月份,达230 mm～320 mm,而最少的月份是12月和1月,仅15 mm～30 mm。降水量的空间分布是自北往南渐减,东部多于西部。由于各地蒸发量大于降水量,故极易出现干旱。选用地区中心雨量1955～2000年实测降雨量序列,在整个观测期内下垫面、气候条件基本上是稳定的,因此可以认为选用的资料具有一致性和较高的代表性。

由建立的AR (1)模型模拟出长度为10 000a的序列,计算该模拟序列相应的统计参数,结果见表1。表1说明,实测序列和模拟序列的主要统计参数无显著差异,即通过模型模拟能反映该站年降雨量的统计特性。取Ns=50、α=0.316 (相当于正负一个标准差的范围),采用短序列法对模型进行了检验计算,结果见表

2。表2说明,实测序列的统计参数均落在置信区间内,因此可以接受AR(1)模型为年降雨量的推论总体[4]。

表1 年降雨量序列统计参数的长序列法检验

序列 u(mm) s(mm) Cv

0.262

0.263 Cs 0.638 0.647 r1 0.176 0.163 实测序列

模拟序列 1605 1602 421.01 422.10

表2 年降雨量AR（1）模型的短系列法检验

模拟序列

分类

w ∧实测样本w Sw w-Sw~w+Sw ∧∧

u(mm) 1601

0.269

0.696

0.188 100.3 0.051 0.128 0.103 1500.8~1701.4 0.218~0.320 0.568~0.824 0.085~0.291 1605 0.262 0.638 0.176 Cv Cs r1

切割水平取用多年降雨量的均值。对10000年的年降雨量模拟序列出现的不问负轮长及出现次数进行统计，将超过一定负轮长的频次进行累加，对年降雨量的负轮长序列进行排频计算，绘制的负轮长与累积频率关系曲线如图1所示，负轮次和与累积频率关系曲线如图2所不，分别作为估计干旱历时和干旱程度的顺率特征的依据。

图1 某站模拟年降雨量负轮长频率曲线 图2 某站年降雨量负轮次和频率曲线

运用图1或图2,就可对已发生的地区干旱的重现期进行识别。在该站46年的观测年限中曾出现最大负轮长(干旱历时)为8年的严重干旱事件,由图1查得其频率为0.89%,可判定该站出现8年和更长的严重干旱的重现期约为112年一遇。同样也可对负轮次和的重现期予以识别,如由图2查得该站负轮次和(干旱程度)为2 000mm的频率为1.60%,推知其重现期约为63年一遇。显然,直接根据该站46年的观测资料是无法估计这些最大负轮长和负轮次和的重现期的。 4结语

受自然变化和人类活动的影响，水文水资源系统呈现出明显的不确定性（主要是随机性）行为特征，是典型的复杂系统，这些不确定性对水文水资源系统规划设计与运行管理产生重要影响，且现在对水文水资源系统进行真实的物理实验以揭示其结构和功能，尚十分困难。在这种情况下，如何利用随机过程的原理对大量的水文不确定性现象进行研究是当前水文工作的一个重要分支，随机过程与水文学会结合也会越来越紧密。

参考文献

[1] 丁 晶,邓育仁.随机水文学[M].成都:成都科技大学出版社, 1988

[2] 张卓奎,陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社,2004

[3] 赵吴静.地区干旱随机模拟研究[D].合肥:合肥工业大学, 2002

[4] 孙荣强.旱情评定与旱情指标之探讨[J].自然灾害学报,1994, 3 (3): 49-55·