2-1.2.2.2椭圆第二定义

高二数学教案 高二数学组

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

培养严谨的学习态度，培养积极进取

1，半焦距为62，离心率为

22

，3

（准线方程为y

2

）. 4

2、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B2引入课题

x2y2

1，M1，M2为椭圆上的点 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2

为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

1691342y02

 解：|MF|(43)y且1代入消去y0得|MF|

2516255

2

2

2

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成

ab

点M横坐标x的函数吗？

解：

|MF|(xc)2y2



x2y2

221

ba

2

2

2

代入消去

y2

得

b22c

|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa

cca2a2

|xa||x|e|x| aacc

问题1

c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x

a问题2

c

(ac)的点的

a【e

c

(0e1)时，这a

e是椭圆的离心率．

a2x．根据对称性，相应于焦

ca2x2

点21的准线方程是y．

cb

这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

y2x2a2271，故其准线方程为y解：椭圆可化为标准方程为： 819c4

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

1上的点M到左准线的

点的距离例2、椭圆

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2知：

|MF1|c3|MF|ee|MF1|ed1

dd1a5

8.5 a250585

2.5 2c326

1：2，求点P的轨

1x2y2

1，由化简得

16122

a2

8解得a4，又因解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2c1

1 为e故所求的轨迹方程为

a21612

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

高二数学教案 高二数学组

a2

5解得a210，故解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2

1 所求的轨迹方程为

106

x2y2(x1)2y2

1和问题1：求出椭圆方程4343

离心率；

1长轴顶点、焦点、准线方程； (x1)2y21所以问题43

c1

 a2

2,0)，(1,0)x4； (21,0)，(11,0)x41； 而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

1

另一方面离心率就等于这是两上矛盾

2a的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

高二数学教案 高二数学组

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

又

dd2|AB||AF||BF||AB|

e1且0e1d故直线与圆相离

2222

x2y2

1的上任意一点，F1、F2A(1,2)求例5、已知点M为椭圆

25165

|MA||MF1|的最小值

3

5

分析：应如何把|MF1|表示出来

3

a225

D，记d|MD| 解：左准线

35

1|d ⇒ d|MF1|

5325 3

1即|28

28 3

1533532828

解：|MA||MF1|(|MA||MF1|)

553535

高二数学教案 高二数学组

巩固练习

1．已知

是椭圆

的距离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

教学反思

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

．设

，

到右准线距离分别为

，

有

，

中

点

，所

以

到右准线距离为

，于

是

，则

到左准线距离

为

，

思考：

，所求椭圆方程为

．

22

1．方程2(x1)(y1)|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比

|xy2|22

2

常数（且该常数小于1）方程表示椭圆

高二数学教案 高二数学组

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|c3a2353e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i 由da5c544

|P1F||P2F||P7F|27

3

(127)35 4

解法二：由题意可知P1和P7关于y|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3||，|P4F|a

故|P1F||P2F|

|P7F|7a35

高二数学教案 高二数学组

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

培养严谨的学习态度，培养积极进取

1，半焦距为62，离心率为

22

，3

（准线方程为y

2

）. 4

2、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B2引入课题

x2y2

1，M1，M2为椭圆上的点 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为

2516

① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .

② 若点M2

为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

1691342y02

 解：|MF|(43)y且1代入消去y0得|MF|

2516255

2

2

2

x2y2

【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成

ab

点M横坐标x的函数吗？

解：

|MF|(xc)2y2



x2y2

221

ba

2

2

2

代入消去

y2

得

b22c

|MF|x2cxcb2x(xa)2

aa

cca2a2

|xa||x|e|x| aacc

问题1

c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x

a问题2

c

(ac)的点的

a【e

c

(0e1)时，这a

e是椭圆的离心率．

a2x．根据对称性，相应于焦

ca2x2

点21的准线方程是y．

cb

这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义

|MF|

e可得：右焦半径公式为d

a2a2

|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc

典型例题

x2y2

1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆

2516

a2a2

解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc

变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

y2x2a2271，故其准线方程为y解：椭圆可化为标准方程为： 819c4

小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y2

1上的点M到左准线的

点的距离例2、椭圆

2516

为 .

变式：求M到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2知：

|MF1|c3|MF|ee|MF1|ed1

dd1a5

8.5 a250585

2.5 2c326

1：2，求点P的轨

1x2y2

1，由化简得

16122

a2

8解得a4，又因解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2c1

1 为e故所求的轨迹方程为

a21612

变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

高二数学教案 高二数学组

a2

5解得a210，故解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2

1 所求的轨迹方程为

106

x2y2(x1)2y2

1和问题1：求出椭圆方程4343

离心率；

1长轴顶点、焦点、准线方程； (x1)2y21所以问题43

c1

 a2

2,0)，(1,0)x4； (21,0)，(11,0)x41； 而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e

1

另一方面离心率就等于这是两上矛盾

2a的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

高二数学教案 高二数学组

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d

d1d2

2

又由椭圆的第二定义可知

|AF||BF|

ee即|AF||BF|e(d1d2) d1d2

又

dd2|AB||AF||BF||AB|

e1且0e1d故直线与圆相离

2222

x2y2

1的上任意一点，F1、F2A(1,2)求例5、已知点M为椭圆

25165

|MA||MF1|的最小值

3

5

分析：应如何把|MF1|表示出来

3

a225

D，记d|MD| 解：左准线

35

1|d ⇒ d|MF1|

5325 3

1即|28

28 3

1533532828

解：|MA||MF1|(|MA||MF1|)

553535

高二数学教案 高二数学组

巩固练习

1．已知

是椭圆

的距离为_____________．

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2

教学反思

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业

1.例题5的两个变式；

2. 已知

，

为椭圆

的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

，试确定椭圆的方程．

．设

，

到右准线距离分别为

，

有

，

中

点

，所

以

到右准线距离为

，于

是

，则

到左准线距离

为

，

思考：

，所求椭圆方程为

．

22

1．方程2(x1)(y1)|xy2|表示什么曲线？

(x1)2(y1)222

解：1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比

|xy2|22

2

常数（且该常数小于1）方程表示椭圆

高二数学教案 高二数学组

例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F||P2F||P7F|=

解法一：e

c35

，设Pi的横坐标为xi，则xi5i不妨设其焦点为左焦点 a54

|PiF|c3a2353e得|PiF|e(xi)aexi5(5i)2i 由da5c544

|P1F||P2F||P7F|27

3

(127)35 4

解法二：由题意可知P1和P7关于y|P1F||P7F|2a，同理可知|P2F||P6F|2a，|P3||，|P4F|a

故|P1F||P2F|

|P7F|7a35