课 题： 6
空间向量的直角坐标及其运算 (一)
教学目的：
⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；
⒉掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4. 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离2这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点 教学过程：
一、复习引入：
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j
把(x , y ) 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(x , y ) 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐
标， 特别地，i =(1, 0) ，j =(0, 1) ，0=
(0, 02．平面向量的坐标运算
若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，
则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) ，λa =(λx , λy ) 若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)
3．a ∥b (b ≠) 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
4平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a =(x 1, y 1) ，试用a 和b 的坐标表示a ⋅b b =(x 2, y 2) ，
设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么
a =x 1i +y 1j ，b =x 2i +y 2j
2 2
所以a ⋅b =(x 1i +y 1j )(x 2i +y 2j ) =x 1x 2i +x 1y 2i ⋅j +x 2y 1i ⋅j +y 1y 2j
又i ⋅i =1，j ⋅j =1，i ⋅j =j ⋅i =0
所以a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
这就是说：5. 平面内两点间的距离公式
222
（1）设a =(x , y ) ，则|a |=x +y 或
|a |=
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1, y 1) 、
(x 2, y 2) ，那么|a |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2(平面内两点间的距离公式)
6. 向量垂直的判定
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
7. 两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
a ⋅b
cos ＜a , b ＞= co s θ=
|a |⋅
|b |
8．空间向量的基本定理：若{a , b , c }是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，
存在唯一的实数组x , y , z 使p =xa +yb +zc ．
二、讲解新课：
1
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交
基底，用{i , j , k }表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i , j , k }，以点O 为原点，分别以
i , j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
O -xyz ，点O 叫原点，向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过
每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，
yOz 平面，zOx 平面；
（3）作空间直角坐标系O -xyz 时，一般使∠xOy =135 （或
45 ），∠yOz =90；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ，设i , j , k 量，
则存在唯一的有序实数组(a 1, a 2, a 3) ，使
a =1a +i
k j 3，a 2a +
有序实数组(a 1, a 2, a 3) 叫作向量a 在空间直角坐标系O -xyz
中的坐标，记作a =(a 1, a 2, a 3) ．
在空间直角坐标系O -xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一
的有序实数组(x , y , z ) ，使O 有序实数组(x , y , z ) 叫作向量A A =x i y j +z k +，
在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标，记作A (x , y , z ) ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，
则a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ，
a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ，
λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) ，
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，
a //b ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ，
a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．
（2）若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，
则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个三、讲解范例：
例1 a =(2,-3,5) ，b =(-3,1, -4) ，求a +b ，a -b ，|a |，8a ，a ⋅b ．
解：a +b =(2,-3,5) +(-3,1, -4) =(-1, -2,1) ，
a -b =(2,-3,5) -(-3,1, -4) =(5,-4,9) ，
|a |==
8a =8(2,-3,5) =(16,-24,40) ，
a ⋅b =(2,-3,5) ⋅(-3,1, -4) =-29．
例2．求点A (2,-3, -1) 关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 解：∵A (2,-3, -1) 在xOy 平面上的射影C (2,-3,0) 在zOx 平面上的射影为B (2,0,-1) ，
, -3, 关1于x O y 平面的对称点为∴点A (2-
A C '(2,-3,1) ，
关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为B '(2,3,-1) ，A '(-2,3,1) ．
例3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点，求证
D 1F ⊥平面ADE ．
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA =i ，DC =j ，
DD 1=k ，
分别以i , j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系O -xyz ，
1
则AD =(-1,0,0) ，D 1F =(0,, -1) ，
2
1
AD ⋅D 1F =(-1,0,0) ⋅(0,, -1) =0，
2
∴D 1F ⊥AD ，
111
又AE =(0,1,，AE ⋅D 1F =(0,1,) ⋅(0,, -1) =0，
222
∴D 1F ⊥AE ，AD AE =A ， 所以，D 1F ⊥平面ADE ．
四、课堂练习：
1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建
立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面
‘
已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E 点，此时|x|＝
'
|DA |,|y|＝|DC |,|z|＝|DE |，当DA 的方向与x 轴正向
相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)
2．已知a ＝(2，－3,5) ，b ＝(－3,1，－4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b
解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），
a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），
8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），
a •b ＝（2，－3,5）（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－•
3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则
AD =(-2,0,0), D 1F =(0,1,-2),
AD ⋅D 1F =(-2,0,0) ⋅(0,1,-2) =0
∴D 1F ⊥AD
又AE =(0,2,1),
AE ⋅D 1F =(0,2,1) ⋅(0,1,-2) =2-2=0
∴D 1F ⊥AE ,
∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE
①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).
③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为
巩固练习 P 39 练习 1－6 五、小结 ：
⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4. 5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→
六、课后作业： 七、板书设计八、课后记：
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
. 点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时. 有向线段终点的坐标与向量的坐标相同. 这一点务必向学生讲清楚. ； 明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算
课 题： 6
空间向量的直角坐标及其运算 (一)
教学目的：
⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；
⒉掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4. 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离2这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点 教学过程：
一、复习引入：
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j
把(x , y ) 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(x , y ) 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐
标， 特别地，i =(1, 0) ，j =(0, 1) ，0=
(0, 02．平面向量的坐标运算
若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，
则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) ，λa =(λx , λy ) 若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)
3．a ∥b (b ≠) 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
4平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a =(x 1, y 1) ，试用a 和b 的坐标表示a ⋅b b =(x 2, y 2) ，
设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么
a =x 1i +y 1j ，b =x 2i +y 2j
2 2
所以a ⋅b =(x 1i +y 1j )(x 2i +y 2j ) =x 1x 2i +x 1y 2i ⋅j +x 2y 1i ⋅j +y 1y 2j
又i ⋅i =1，j ⋅j =1，i ⋅j =j ⋅i =0
所以a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2
这就是说：5. 平面内两点间的距离公式
222
（1）设a =(x , y ) ，则|a |=x +y 或
|a |=
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1, y 1) 、
(x 2, y 2) ，那么|a |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2(平面内两点间的距离公式)
6. 向量垂直的判定
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
7. 两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
a ⋅b
cos ＜a , b ＞= co s θ=
|a |⋅
|b |
8．空间向量的基本定理：若{a , b , c }是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，
存在唯一的实数组x , y , z 使p =xa +yb +zc ．
二、讲解新课：
1
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交
基底，用{i , j , k }表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i , j , k }，以点O 为原点，分别以
i , j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
O -xyz ，点O 叫原点，向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过
每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，
yOz 平面，zOx 平面；
（3）作空间直角坐标系O -xyz 时，一般使∠xOy =135 （或
45 ），∠yOz =90；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ，设i , j , k 量，
则存在唯一的有序实数组(a 1, a 2, a 3) ，使
a =1a +i
k j 3，a 2a +
有序实数组(a 1, a 2, a 3) 叫作向量a 在空间直角坐标系O -xyz
中的坐标，记作a =(a 1, a 2, a 3) ．
在空间直角坐标系O -xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一
的有序实数组(x , y , z ) ，使O 有序实数组(x , y , z ) 叫作向量A A =x i y j +z k +，
在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标，记作A (x , y , z ) ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，
则a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ，
a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ，
λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) ，
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，
a //b ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ，
a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．
（2）若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，
则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个三、讲解范例：
例1 a =(2,-3,5) ，b =(-3,1, -4) ，求a +b ，a -b ，|a |，8a ，a ⋅b ．
解：a +b =(2,-3,5) +(-3,1, -4) =(-1, -2,1) ，
a -b =(2,-3,5) -(-3,1, -4) =(5,-4,9) ，
|a |==
8a =8(2,-3,5) =(16,-24,40) ，
a ⋅b =(2,-3,5) ⋅(-3,1, -4) =-29．
例2．求点A (2,-3, -1) 关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 解：∵A (2,-3, -1) 在xOy 平面上的射影C (2,-3,0) 在zOx 平面上的射影为B (2,0,-1) ，
, -3, 关1于x O y 平面的对称点为∴点A (2-
A C '(2,-3,1) ，
关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为B '(2,3,-1) ，A '(-2,3,1) ．
例3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点，求证
D 1F ⊥平面ADE ．
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA =i ，DC =j ，
DD 1=k ，
分别以i , j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系O -xyz ，
1
则AD =(-1,0,0) ，D 1F =(0,, -1) ，
2
1
AD ⋅D 1F =(-1,0,0) ⋅(0,, -1) =0，
2
∴D 1F ⊥AD ，
111
又AE =(0,1,，AE ⋅D 1F =(0,1,) ⋅(0,, -1) =0，
222
∴D 1F ⊥AE ，AD AE =A ， 所以，D 1F ⊥平面ADE ．
四、课堂练习：
1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建
立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面
‘
已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E 点，此时|x|＝
'
|DA |,|y|＝|DC |,|z|＝|DE |，当DA 的方向与x 轴正向
相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)
2．已知a ＝(2，－3,5) ，b ＝(－3,1，－4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b
解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），
a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），
8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），
a •b ＝（2，－3,5）（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－•
3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则
AD =(-2,0,0), D 1F =(0,1,-2),
AD ⋅D 1F =(-2,0,0) ⋅(0,1,-2) =0
∴D 1F ⊥AD
又AE =(0,2,1),
AE ⋅D 1F =(0,2,1) ⋅(0,1,-2) =2-2=0
∴D 1F ⊥AE ,
∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE
①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).
③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为
巩固练习 P 39 练习 1－6 五、小结 ：
⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4. 5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→
六、课后作业： 七、板书设计八、课后记：
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
. 点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时. 有向线段终点的坐标与向量的坐标相同. 这一点务必向学生讲清楚. ； 明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算