矩阵因式分解

矩阵因式分解（LU 分解）与列昂惕夫投入产出模型

矩阵的因式分解是把一个矩阵A 表示为两个或更多个矩阵的乘积，是将复杂的数据进行分解，其中有多种方法，例如：LU 分解，秩分解，QR 分解，奇异值分解，谱分解等。这里主要介绍对LU 分解的认识。

根据参考的书籍，这里的LU 分解只限于一系列具有相同系数矩阵的线性方程：

Ax=b1, Ax=b2, „ , Ax=bp （1）

当A 为可逆矩阵时，可计算A ，然后计算A b1，A b2，等等。但是，真正在社会实践的运用中，又是如何计算并使用的呢？实际而言，（1）中的第一个方程是由行变换解出的，并同时得出矩阵A 的LU 分解。

设A 为m ×n 阶矩阵，则A m ×n 可进行化简为阶梯形，此时不必行对换，那么A 可写成形式A=LU，L 是m ×m 下三角矩阵，主对角线元素全是1，U 是A 的一个等价的m ×n 阶梯形矩阵。如下：

-1-1-1

这样的一个分解称为LU 分解，矩阵L 是可逆的，我们称L 为单位下三角矩阵。由上，我们可知，当A=LU时，方程Ax=b可写成L （Ux ）=b，把Ux 写成y ，可以有解下面一对方程来求解x ：

Ly=b

Ux=y

首先解Ly=b然后解Ux=y求得x ，如下，每个方程都比较容易解，因和都是三角矩阵。下面，举出一道例题;

例：求下列矩阵的LU 分解：

因为A 有4行，故L 为4×4矩阵，L 的计算方式为第一列是A 的第一列除以它的第一行主元元素，L 如下：

比较A 与L 的第一列。把A 的第一列的后3个元素变换为零同时也为L 的后三列变换，下面是A 变为阶梯形

将上述A 到U 的行变化结果放入L 中：

故得到所求出的L 和U 满足LU=A，利用LU 分解，我们可以进行线性方程组的计算，简化这种计算。后我又参考了网络上的最新信息，得到即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k 的矩阵的前k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU 分解，但反之则不然。目前，在任意域上一个方块矩阵可进行LU 分解的充要条件已经被发现，这些充要条件可以用某些特定子矩阵的秩表示。

接下来是我对列昂惕夫投入产出模型(线性代数的应用) 的理解，在Wassily Leontief获得诺贝尔奖的工作中，线性代数起着重要作用，现在各国广泛使用的模型，列昂惕夫创立了投入产出法，投入产出法，作为一种科学的方法来说，是研究经济体系（国民经济、地区经济、部门经济、公司或企业经济单位）中各个部分之间投入与产出的相互依存关系的数量分析方法。“投入产出分析”的理论基础和所使用的数学方法，主要来自于瓦尔拉斯的一般均衡模型（瓦尔拉斯首次提出）。因此，列昂惕夫自称投入产出模型是“古典的一般均衡理论的简化方案”。下面即为列昂惕夫投入产出模型：

设某国的经济体系分为n 个部门，这些部门生产商品和服务。设x 为R 中产出向量，它列出来了每一部门一年中的产出，同时，设经济部门的另一部分（开放部门）不生产产品或服务，仅仅消费商品或服务，d 为最终需求向量，它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求，政府消费，超额生产，出口或其他外部需求。

由于各部门生产商品以满足消费者需求，生产者本身制造了中间需求，需要这些产品作为生产部门的投入，部门之间的关系复杂，生产和最后需求之间的联系尚不清晰。列昂惕夫则思考是否存在某一生产水平x 恰好满足这一生产水平的总需求（x 为供给），则列昂惕夫投入产出模型的基本假设为，对每一个部门，有一个单位消费向量，它列出了该部门单位产出所需的投入。 n

列昂惕夫投入产出模型或生产方程：

X = Cx + d

总产出中间需求最终需求

例：设某一经济有两个部门，商品和服务部门，商品部门的单位产出需要0.2单位商品和0.5单位服务的投入，服务部门的单位产出需要0.4单位商品和0.3单位服务的投入。最终需求是20单位商品和30单位服务，列出列昂惕夫投入产出模型的方程

已给下列数据：

列昂惕夫投入产出模型为x=Cx+d，其中

参考书籍：《线性代数及其应用》

附：由于我对线性代数的学习仅仅开始，只掌握了一点皮毛，故上述理解多来自于阅读《线性代数及其应用》后的总结或我对习题的自解，或有错误之处，敬请谅解。

班级：国际1201

姓名：齐文婵

学号：2012014074