运筹学课程小论文

关于租用仓库最优化模型问题的解析

----《运筹学》期末课程论文

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 关键词：运筹学；lingo；模型构建

案例实际背景

租用仓库问题

某部队因备战训练任务需要，在今后半年内需要租用地方仓库存放军事物资，已知每个月所需仓库的面积大小不同，多租了不用造成浪费，少租了会影响训练任务的完成。根据租用条件要求，仓库租用费用是随合同期限而定的，期限越长折扣越大，具体每月的仓库需求量和租金额如表1和表2所示，租用仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数量和期限。因此，该部队可以根据实际需求在任何一个月初办理租用合同，每次办理时可签订一份，也可以签订若干份租用面积和期限不同的合同。试问该部队在保障训练任务需求的情况下，如何办理仓库的租用合同使总的租金最少？

租用仓库最优化模型

摘要：本章建立了租用仓库的最优化签订合同模型，为合理签订合同，减少部队的租金支出提供最优化方案。在满足部队对仓库面积需求的情况下，签订若干份合同，使部队可以享受最大的折扣，但又要尽量减少浪费多租用的面积，以此为原则制定合同签订计划。同时，本章将对灵敏度进行分析，以及对模型做出评价和改进。

模型 针对问题，在不考虑背景给出的条件以外的限制时，由于问题是求解怎样签订合同最优，所以不妨将合同设成变量x。那么签订合同的所有方式都

是一个未知量，再加上约束条件，例如在一月签订的合同，其面积必需满足一月份的需求。而租金方面就用最小值min。这样就可以求出租用仓库的最优化方案了！利用Lingo软件进行求解，可以求出部队租用仓库所用的最少租金是186600元。分别签订四份合同，一月份签一份为期6个月的面积为15个单位的合同；三月份签订一份为期1个月的面积为5个单位的合同；五月份签订一份为期2个月的面积为3个单位的合同；和六月份签订一份为期1个月的面积7个单位的合同。

本章从背景资料中的各个条件综合考虑分析，根据一定的实际情况出发建立的模型，对模型的灵敏性进行了合理准确的分析。最后，根据所建立的模型写了签订合同的论证报告，并提出了合理性的建议。

问题的提出

1.1基本条件

某部队因战备训练任务需要，在今后半年时间内需要租用地方仓库存放军事物资。

2m如第一页的表格所示各个月对仓库的需求面积分别是：一月15（100）；

二月10（100m）；三月20（100m）；四月15（100m）；五月18（100m）；六月25（100m）.

而租金是随着期限越长折扣越大的，分别是连续租一个月是2800（元222mmm/100）;连续租两个月是4500（元/100）；连续租三个月是6000（元/100）；22222四个月7300（元/100m）；五个月8400（元/100m）；六个月9300（元/100m）。

每个月的租用面积不少于实际需求。

可同时签订一份或多份期限不同面积不同的合同。

1.2解决问题

合理的签订合同，使租金尽可能少。

问题分析

仓库租用问题是一类带有约束的优化与规划问题。在当今知识经济时代，追求效益的最大化是每个企业和个人的目标。在签订合同是不仅要考虑到租用的面积，还有考虑到怎样才能在保证足够的面积而租金尽可能的少，最大限度的节省金钱。

租金=某期限折后单位租金×所需要的面积

对于本案例来说，降低租金可以以下方面考虑：

⑴尽可能地签订较长的租用期限，因为期限越长折扣越大。

⑵在签订尽量长的期限时，要考虑到尽可能不浪费的面积，以浪费最小的面积换取最大的折扣。

处理本问题的难点在于怎样在延长期限和浪费面积上找到平衡点，以及应该如何假设自变量。特别是假设自变量，如果无法找到自变量的对象，则解决不了本问题。

2.1条件分析

各个月对仓库的需求都不同，当月签订的面积不得少于当月对仓库面积的需222

求。

2m⑴一月签订的面积>=15个单位面积（单位面积是100，下同）

⑵二月签订的面积>=10个单位面积

⑶三月签订的面积>=20个单位面积

⑷四月签订的面积>=15个单位面积

⑸五月签订的面积>=18个单位面积

⑹六月签订的面积>=25个单位面积

签订期限越长折扣越大，即平均每月花费的租金就越少，比例如下表所示：

模型的假设

在不考虑其它因素的情况下，我们不妨将每个月可能的签约合同都设成一个变量，例如一月份可以签六种合同，分别是：期限为一个月的2800；期限为两个月的4500；期限为三个月的6000……同理，二月份可以签五种合同，其中期限为六个月的不能签；三月份可以签四种合同；四月份可以签三种合同；五月份可以签两种合同；六月份只能签一种合同。

定义与符号说明

xijx：第i月份签订的期限为j的合同（例如11代表一月份签订的期限为一个月的合同）。

aj期限为j个月所需支付的租金

模型的建立与求解

从所要解决的问题和对问题所作的假设出发，就租金最优化建立线性规划模型。

首先一月份有六种签订合同的方式，分别是期限为一个月的、两个月的、三

个月、四个月、五个月、六个月各一份。而六份合同租用的面积加起来必须满足一月份需要的面积。

x11x12x13x14x15x1615

然后是二月份，其中一月份签订的六份合同中有五份涉及到二月份所需要的面积（即期限分别是两个月到五个月的五份合同），而二月份可以有五种签订合同的方式，这十份合同签订的面积累计起来必须满足二月份所需要的面积。

x12x13x14x15x16x21x22x23x24x2510

同样道理，一月份有四份合同以及二月份有也有四份合同涉及到三月份的所需要的面积的，再加上三月份有四种合同方式，所以十二份合同签订的面积累计起来必须满足三月份所需要的面积。

x13x14x15x16x22x23x24x25x31x32x33x3420

同样道理，一、二、三月份各有三份合同涉及到四月份所需要的面积，四月份本身有三种签订合同方式，十二份合同签订的面积累计起来必须满足四月份所需要的面积。

x14x15x16x23x24x25x32x33x34x41x42x4315

同样道理涉及到五月份的合同有十种，累积起来的面积需要满足五月份的面积。

x15x16x24x25x33x34x42x43x51x5218

涉及到六月份的合同只有六份，分别是一月份签订的为期六个月的，二月份签订的为期五个月的，三月份签订的为期四个月的，四月份签订的为期三个月的，五月份签订的为期两个月的以及六月份签订的为期一个月的合同，累积起来的面积需要满足六月份的面积。

x16x25x34x43x52x6125

在满足每个月对面积需求的情况下，签订的各个期限的合同所需要支付的租金分别是：

有六份期限为一个月的合同，租金为：xai1

56i11

有五份期限为两个月的合同，租金为：xi1

4i22a

有四份期限为三个月的合同，租金为：xi1

3i33a

有三份期限为四个月的合同，租金为：xi1i44a

有两份期限为五个月的合同，租金为：xi12i55a

只有一份期限为六个月的合同，租金为：x16a6

全部租金累加起来：

65432

使签订的合同享受最大的折扣，而又不造成太多的面积浪费。使得租金最优化，所以用min。

终上所述，模型建立如下：

⑴模型 i1i1i1i1i1xi11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6

目标函数：min z =xi16i11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6i1i1i1i15432 约束条件：x11x12x13x14x15x1615

x12x13x14x15x16x21x22x23x24x2510

x13x14x15x16x22x23x24x25x31x32x33x3420

x14x15x16x23x24x25x32x33x34x41x42x4315

x15x16x24x25x33x34x42x43x51x5218

x16x25x34x43x52x6125

x

i1j166ij0

⑵求解：

利用LINGO软件容易算出，在满足面积需求的前提下支付的租金最小： min z =

（元）

其中：xi16i11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6i1i1i1i15432=186600x315;x617;x523;x1615;其余均为0。

即签订四份合同，分别是一月份签一份为期6个月的面积为15个单位的合同；三月份签订一份为期1个月的面积为5个单位的合同；五月份签订一份为期2个月的面积为3个单位的合同；和六月份签订一份为期1个月的面积7个单位的合同。这时租金是最少的。

6.模型的评价和改进

1.模型的优点：本文建立的最优模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际没通用性、推广性较强。分别对所涉及的重要参数进行了灵敏度分析，为合理签订合同，减少租金提供了有价值的参考。

2.模型的缺点：模型只是从理想化下建立的，还有诸多现实因素没有考虑进去，这样模型的建立偏离了一定的实际需求，从而计算结果不准确。而且模型只是从规划上进行考虑的，没有多方面对问题进行讨论求解。

关于租用仓库最优化模型问题的解析

----《运筹学》期末课程论文

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 关键词：运筹学；lingo；模型构建

案例实际背景

租用仓库问题

某部队因备战训练任务需要，在今后半年内需要租用地方仓库存放军事物资，已知每个月所需仓库的面积大小不同，多租了不用造成浪费，少租了会影响训练任务的完成。根据租用条件要求，仓库租用费用是随合同期限而定的，期限越长折扣越大，具体每月的仓库需求量和租金额如表1和表2所示，租用仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数量和期限。因此，该部队可以根据实际需求在任何一个月初办理租用合同，每次办理时可签订一份，也可以签订若干份租用面积和期限不同的合同。试问该部队在保障训练任务需求的情况下，如何办理仓库的租用合同使总的租金最少？

租用仓库最优化模型

摘要：本章建立了租用仓库的最优化签订合同模型，为合理签订合同，减少部队的租金支出提供最优化方案。在满足部队对仓库面积需求的情况下，签订若干份合同，使部队可以享受最大的折扣，但又要尽量减少浪费多租用的面积，以此为原则制定合同签订计划。同时，本章将对灵敏度进行分析，以及对模型做出评价和改进。

模型 针对问题，在不考虑背景给出的条件以外的限制时，由于问题是求解怎样签订合同最优，所以不妨将合同设成变量x。那么签订合同的所有方式都

是一个未知量，再加上约束条件，例如在一月签订的合同，其面积必需满足一月份的需求。而租金方面就用最小值min。这样就可以求出租用仓库的最优化方案了！利用Lingo软件进行求解，可以求出部队租用仓库所用的最少租金是186600元。分别签订四份合同，一月份签一份为期6个月的面积为15个单位的合同；三月份签订一份为期1个月的面积为5个单位的合同；五月份签订一份为期2个月的面积为3个单位的合同；和六月份签订一份为期1个月的面积7个单位的合同。

本章从背景资料中的各个条件综合考虑分析，根据一定的实际情况出发建立的模型，对模型的灵敏性进行了合理准确的分析。最后，根据所建立的模型写了签订合同的论证报告，并提出了合理性的建议。

问题的提出

1.1基本条件

某部队因战备训练任务需要，在今后半年时间内需要租用地方仓库存放军事物资。

2m如第一页的表格所示各个月对仓库的需求面积分别是：一月15（100）；

二月10（100m）；三月20（100m）；四月15（100m）；五月18（100m）；六月25（100m）.

而租金是随着期限越长折扣越大的，分别是连续租一个月是2800（元222mmm/100）;连续租两个月是4500（元/100）；连续租三个月是6000（元/100）；22222四个月7300（元/100m）；五个月8400（元/100m）；六个月9300（元/100m）。

每个月的租用面积不少于实际需求。

可同时签订一份或多份期限不同面积不同的合同。

1.2解决问题

合理的签订合同，使租金尽可能少。

问题分析

仓库租用问题是一类带有约束的优化与规划问题。在当今知识经济时代，追求效益的最大化是每个企业和个人的目标。在签订合同是不仅要考虑到租用的面积，还有考虑到怎样才能在保证足够的面积而租金尽可能的少，最大限度的节省金钱。

租金=某期限折后单位租金×所需要的面积

对于本案例来说，降低租金可以以下方面考虑：

⑴尽可能地签订较长的租用期限，因为期限越长折扣越大。

⑵在签订尽量长的期限时，要考虑到尽可能不浪费的面积，以浪费最小的面积换取最大的折扣。

处理本问题的难点在于怎样在延长期限和浪费面积上找到平衡点，以及应该如何假设自变量。特别是假设自变量，如果无法找到自变量的对象，则解决不了本问题。

2.1条件分析

各个月对仓库的需求都不同，当月签订的面积不得少于当月对仓库面积的需222

求。

2m⑴一月签订的面积>=15个单位面积（单位面积是100，下同）

⑵二月签订的面积>=10个单位面积

⑶三月签订的面积>=20个单位面积

⑷四月签订的面积>=15个单位面积

⑸五月签订的面积>=18个单位面积

⑹六月签订的面积>=25个单位面积

签订期限越长折扣越大，即平均每月花费的租金就越少，比例如下表所示：

模型的假设

在不考虑其它因素的情况下，我们不妨将每个月可能的签约合同都设成一个变量，例如一月份可以签六种合同，分别是：期限为一个月的2800；期限为两个月的4500；期限为三个月的6000……同理，二月份可以签五种合同，其中期限为六个月的不能签；三月份可以签四种合同；四月份可以签三种合同；五月份可以签两种合同；六月份只能签一种合同。

定义与符号说明

xijx：第i月份签订的期限为j的合同（例如11代表一月份签订的期限为一个月的合同）。

aj期限为j个月所需支付的租金

模型的建立与求解

从所要解决的问题和对问题所作的假设出发，就租金最优化建立线性规划模型。

首先一月份有六种签订合同的方式，分别是期限为一个月的、两个月的、三

个月、四个月、五个月、六个月各一份。而六份合同租用的面积加起来必须满足一月份需要的面积。

x11x12x13x14x15x1615

然后是二月份，其中一月份签订的六份合同中有五份涉及到二月份所需要的面积（即期限分别是两个月到五个月的五份合同），而二月份可以有五种签订合同的方式，这十份合同签订的面积累计起来必须满足二月份所需要的面积。

x12x13x14x15x16x21x22x23x24x2510

同样道理，一月份有四份合同以及二月份有也有四份合同涉及到三月份的所需要的面积的，再加上三月份有四种合同方式，所以十二份合同签订的面积累计起来必须满足三月份所需要的面积。

x13x14x15x16x22x23x24x25x31x32x33x3420

同样道理，一、二、三月份各有三份合同涉及到四月份所需要的面积，四月份本身有三种签订合同方式，十二份合同签订的面积累计起来必须满足四月份所需要的面积。

x14x15x16x23x24x25x32x33x34x41x42x4315

同样道理涉及到五月份的合同有十种，累积起来的面积需要满足五月份的面积。

x15x16x24x25x33x34x42x43x51x5218

涉及到六月份的合同只有六份，分别是一月份签订的为期六个月的，二月份签订的为期五个月的，三月份签订的为期四个月的，四月份签订的为期三个月的，五月份签订的为期两个月的以及六月份签订的为期一个月的合同，累积起来的面积需要满足六月份的面积。

x16x25x34x43x52x6125

在满足每个月对面积需求的情况下，签订的各个期限的合同所需要支付的租金分别是：

有六份期限为一个月的合同，租金为：xai1

56i11

有五份期限为两个月的合同，租金为：xi1

4i22a

有四份期限为三个月的合同，租金为：xi1

3i33a

有三份期限为四个月的合同，租金为：xi1i44a

有两份期限为五个月的合同，租金为：xi12i55a

只有一份期限为六个月的合同，租金为：x16a6

全部租金累加起来：

65432

使签订的合同享受最大的折扣，而又不造成太多的面积浪费。使得租金最优化，所以用min。

终上所述，模型建立如下：

⑴模型 i1i1i1i1i1xi11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6

目标函数：min z =xi16i11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6i1i1i1i15432 约束条件：x11x12x13x14x15x1615

x12x13x14x15x16x21x22x23x24x2510

x13x14x15x16x22x23x24x25x31x32x33x3420

x14x15x16x23x24x25x32x33x34x41x42x4315

x15x16x24x25x33x34x42x43x51x5218

x16x25x34x43x52x6125

x

i1j166ij0

⑵求解：

利用LINGO软件容易算出，在满足面积需求的前提下支付的租金最小： min z =

（元）

其中：xi16i11axi2a2xi3a3xi4a4xi5a5x16a6i1i1i1i15432=186600x315;x617;x523;x1615;其余均为0。

即签订四份合同，分别是一月份签一份为期6个月的面积为15个单位的合同；三月份签订一份为期1个月的面积为5个单位的合同；五月份签订一份为期2个月的面积为3个单位的合同；和六月份签订一份为期1个月的面积7个单位的合同。这时租金是最少的。

6.模型的评价和改进

1.模型的优点：本文建立的最优模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际没通用性、推广性较强。分别对所涉及的重要参数进行了灵敏度分析，为合理签订合同，减少租金提供了有价值的参考。

2.模型的缺点：模型只是从理想化下建立的，还有诸多现实因素没有考虑进去，这样模型的建立偏离了一定的实际需求，从而计算结果不准确。而且模型只是从规划上进行考虑的，没有多方面对问题进行讨论求解。