高考真题360全解密
考点十四 导数与三次函数问题
[真题1] （2009年安徽卷）设a ＜b, 函数y =(x -a ) 2(x -b ) 的图像可能是（ ）
[命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断， 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接]
1. 三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 图象
2
2
2．函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 单调性、极值点个数情况。f ' (x ) =3ax 2+2bx +c ， 记∆=4b -12ac =4(b -3ac ) ，（其中x 1,x 2是方程f (x ) =0的根，且x 1
'
[真题2]（2010江西卷）设函数f (x ) =6x 3+3(a +2) x 2+2ax . （1）若f (x ) 的两个极值点为x 1, x 2，且x 1x 2=1，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得f (x ) 是(-∞, +∞) 上的单调函数？若存在, 求出a 的值；若不存在，说明
理由.
. [命题探究] 三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是
研究其中的参数的取值范围. 破解难点的方法是对三次函数求导后, 化归成二次函数, 通过二次函数要的分布求解, 或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》
[考题再现]（06福建文21）已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
（I ）求f (x ) 的解析式；（II ）是否存在自然数m , 使得方程f (x ) +
37x
=0在区间(m , m +1) 内有
且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 《规范解答》
[抢分秘题]
1．已知函数f (x ) =x 3+bx 2+cx +d (b , c , d 为常数) ，当k ∈(-∞, 0) ⋃(5,+∞) 时，f (x ) -k =0
只有一个实数根；当k ∈(0,5) 时, f (x ) -k =0有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数
f (x ) 有2个极值点； ②函数f (x ) 有3个极值点；③方程f (x ) =-5的根小于f '(x ) =0的任意
实根； ④f (x ) =0和f '(x ) =0有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。 A ．1 B ．2 2．（2010北京卷） 设定函数f (x ) =
a 3
3
2
C ．3 D ．4
'
x +bx +cx +d (a 0) ，且方程f (x ) -9x =0的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线y =f (x ) 过原点时，求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若f (x ) 在(-∞, +∞) 无极值点，求a 的取值范围。
3．（2009江西卷）设函数f (x ) =x -
3
92
x +6x -a ．
2
（1）对于任意实数x ，f '(x ) ≥m 恒成立，求m 的最大值； （2）若方程f (x ) =0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
4．已知函数f (x ) =x 3+ax 2+x +1，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）设函数f (x ) 在区间 -
⎛
2，-
1⎫
⎪内是减函数，求a 的取值范围． 3⎭
⎝3
参考答案:
[解析]y /=(x -a )(3x -2a -b ) ，由y /=0得x =a , x =
x =
2a +b 3
2a +b 3
，∴当x =a 时，y 取极大值0，当
时y 取极小值且极小值为负。故选C 。
或当x b 时，y >0选C [解析]f '(x ) =18x 2+6(a +2) x +2a
（1）由已知有f '(x 1) =f '(x 2) =0，从而x 1x 2=
2a 18
=1，所以a =9；
（2）由∆=36(a +2) 2-4⨯18⨯2a =36(a 2+4) >0， 所以不存在实数a ，使得f (x ) 是R 上的单调函数.
[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 （I ）解： f (x ) 是二次函数，且f (x )
∴可设f (x ) =ax (x -5)(a >0). ∴f (x ) 在区间[-1, 4]上的最大值是f (-1) =6a .
由已知，得6a =12,
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x -10x (x ∈R ).
2
（II ）方程f (x ) +
3
37x
2
=0等价于方程2x -10x +37=0.
32
设h (x ) =2x -10x +37,
则h '(x ) =6x -20x =2x (3x -10). 当x ∈(0,当x ∈(
103
) 时，h '(x )
2
103
, +∞) 时，h '(x ) >0, h (x ) 是增函数。
103) =-
1273
0, ), (103
, 4) 内分别有惟一实数根，而在区间(0,3), (4,+∞) 内没有实数
h (3)=1>0, h (
∴方程h (x ) =0在区间(3,
10
根，所以存在惟一的自然数m =3, 使得方程f (x ) +实数根。 1.C
2
37x
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不同的
3．解：(1) f (x ) =3x -9x +6=3(x -1)(x -2) ,
因为x ∈(-∞, +∞) , f (x ) ≥m , 即 3x -9x +(6-m ) ≥0恒成立, 所以 ∆=81-12(6-m ) ≤0, 得m ≤-
34
'
2
'
2
，即m 的最大值为-
34
' ' '
(2) 因为 当x 0; 当12时, f (x ) >0;
所以 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值 f (2)=2-a ;
5
w w w k 5u o m
故当f (2)>0 或f (1)4．解：（1）f (x ) =x 3+ax 2+x +1求导：f '(x ) =3x 2+2ax +1
当a 2≤3时，∆≤0，f '(x ) ≥0，f (x ) 在R 上递增 当a >3，f '(x ) =
0求得两根为x =
⎛即f (x
) 在 -∞
3⎝
52
.
2
3
递减，
⎭
⎛递增，
33⎭⎝
⎛⎫
+∞⎪递增
⎪3⎝⎭
2
-7⎪33
（2
），且a 2>3解得：a ≥
41-33⎩
高考真题360全解密
考点十四 导数与三次函数问题
[真题1] （2009年安徽卷）设a ＜b, 函数y =(x -a ) 2(x -b ) 的图像可能是（ ）
[命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断， 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接]
1. 三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 图象
2
2
2．函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 单调性、极值点个数情况。f ' (x ) =3ax 2+2bx +c ， 记∆=4b -12ac =4(b -3ac ) ，（其中x 1,x 2是方程f (x ) =0的根，且x 1
'
[真题2]（2010江西卷）设函数f (x ) =6x 3+3(a +2) x 2+2ax . （1）若f (x ) 的两个极值点为x 1, x 2，且x 1x 2=1，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得f (x ) 是(-∞, +∞) 上的单调函数？若存在, 求出a 的值；若不存在，说明
理由.
. [命题探究] 三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是
研究其中的参数的取值范围. 破解难点的方法是对三次函数求导后, 化归成二次函数, 通过二次函数要的分布求解, 或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》
[考题再现]（06福建文21）已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
（I ）求f (x ) 的解析式；（II ）是否存在自然数m , 使得方程f (x ) +
37x
=0在区间(m , m +1) 内有
且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 《规范解答》
[抢分秘题]
1．已知函数f (x ) =x 3+bx 2+cx +d (b , c , d 为常数) ，当k ∈(-∞, 0) ⋃(5,+∞) 时，f (x ) -k =0
只有一个实数根；当k ∈(0,5) 时, f (x ) -k =0有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数
f (x ) 有2个极值点； ②函数f (x ) 有3个极值点；③方程f (x ) =-5的根小于f '(x ) =0的任意
实根； ④f (x ) =0和f '(x ) =0有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。 A ．1 B ．2 2．（2010北京卷） 设定函数f (x ) =
a 3
3
2
C ．3 D ．4
'
x +bx +cx +d (a 0) ，且方程f (x ) -9x =0的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线y =f (x ) 过原点时，求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若f (x ) 在(-∞, +∞) 无极值点，求a 的取值范围。
3．（2009江西卷）设函数f (x ) =x -
3
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x +6x -a ．
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（1）对于任意实数x ，f '(x ) ≥m 恒成立，求m 的最大值； （2）若方程f (x ) =0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
4．已知函数f (x ) =x 3+ax 2+x +1，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 的单调区间； （Ⅱ）设函数f (x ) 在区间 -
⎛
2，-
1⎫
⎪内是减函数，求a 的取值范围． 3⎭
⎝3
参考答案:
[解析]y /=(x -a )(3x -2a -b ) ，由y /=0得x =a , x =
x =
2a +b 3
2a +b 3
，∴当x =a 时，y 取极大值0，当
时y 取极小值且极小值为负。故选C 。
或当x b 时，y >0选C [解析]f '(x ) =18x 2+6(a +2) x +2a
（1）由已知有f '(x 1) =f '(x 2) =0，从而x 1x 2=
2a 18
=1，所以a =9；
（2）由∆=36(a +2) 2-4⨯18⨯2a =36(a 2+4) >0， 所以不存在实数a ，使得f (x ) 是R 上的单调函数.
[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 （I ）解： f (x ) 是二次函数，且f (x )
∴可设f (x ) =ax (x -5)(a >0). ∴f (x ) 在区间[-1, 4]上的最大值是f (-1) =6a .
由已知，得6a =12,
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x -10x (x ∈R ).
2
（II ）方程f (x ) +
3
37x
2
=0等价于方程2x -10x +37=0.
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设h (x ) =2x -10x +37,
则h '(x ) =6x -20x =2x (3x -10). 当x ∈(0,当x ∈(
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) 时，h '(x )
2
103
, +∞) 时，h '(x ) >0, h (x ) 是增函数。
103) =-
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0, ), (103
, 4) 内分别有惟一实数根，而在区间(0,3), (4,+∞) 内没有实数
h (3)=1>0, h (
∴方程h (x ) =0在区间(3,
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根，所以存在惟一的自然数m =3, 使得方程f (x ) +实数根。 1.C
2
37x
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不同的
3．解：(1) f (x ) =3x -9x +6=3(x -1)(x -2) ,
因为x ∈(-∞, +∞) , f (x ) ≥m , 即 3x -9x +(6-m ) ≥0恒成立, 所以 ∆=81-12(6-m ) ≤0, 得m ≤-
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'
2
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2
，即m 的最大值为-
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(2) 因为 当x 0; 当12时, f (x ) >0;
所以 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值 f (2)=2-a ;
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故当f (2)>0 或f (1)4．解：（1）f (x ) =x 3+ax 2+x +1求导：f '(x ) =3x 2+2ax +1
当a 2≤3时，∆≤0，f '(x ) ≥0，f (x ) 在R 上递增 当a >3，f '(x ) =
0求得两根为x =
⎛即f (x
) 在 -∞
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.
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递减，
⎭
⎛递增，
33⎭⎝
⎛⎫
+∞⎪递增
⎪3⎝⎭
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），且a 2>3解得：a ≥
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