椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标： 1．知识与技能目标：

（1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标：

（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利 用规律解决实际问题的能力.

（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思 想和方法

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他 人合作交流的意识. 二、教学重点、难点：

1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。 2．难点：椭圆标准方程的推导。 三、教材与教法分析

（一）、教材、学习者特征分析：

本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。 （二）、教学方法和教学策略分析：

探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去

分析问题、讨论问题、解决问题。

四、教具： 多媒体 直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板

第一课时

五、教学过程 新课引入

2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。

在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？

（一）认识椭圆，问题引出:

1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道 ；生活实例：平面截圆锥等图片）

2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？ （二）动手实验，亲身体验

指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征. 请三名同学上台画在黑板上.

注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。

先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。 【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。 （1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？ 明确: 一条线段 （2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？

明确:相等，而且都等于这条绳长

【演示二】当绳子长大于| F1 F2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面内画出一个椭圆（动画演示）

（三）归纳定义

【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？ 提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有

（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F1 、F2两点的距离之

和始终满足什么关系？

明确:与绳长相等.

对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F1 、F2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F1 、F2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F1 F2|大。

请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F1 F2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆。

再次（运用几何画板的度量工具）演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等（为定值）。 那么请同学们给椭圆下个定义吧！ 引导学生归纳出椭圆的定义。

椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

巩固练习：

平面内有两定点A、B，它们之间的距离为6 cm .

（1）若动点P与A、B两点的距离和是定值，且 大于 （填大于、等于或小于）6 cm ，则它的轨迹是椭圆，定点A和B是椭圆的焦点。它们之间的距离就是椭圆的焦距。 （2）若动点P与A、B两点的距离的和等于6cm,则它的轨迹是 线段AB 。 （3）若动点P与A、B两点的距离的和小于6cm，则动点轨迹 不存在 。

（四）合理建系，推导方程

为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:上一节我们知道了求曲线方程第一步，建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标。在这儿“适当”二字应如何体现？

由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.

已知椭圆的焦距|F1F2|2c,(c0)，椭圆上的动点M到两定点F1,F2的距离之和为2a，求椭圆的方程.

如图1，以两个定点F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点

M(x,y)为椭圆上任意一点，则

图1

PMMF1MF22a （称此式为几何条件） 所以，得

xc2y2xc2y2



xc2y2

2a （实现集合条件代数化）

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

2a

xc2y2， xc2y2

将这个方程两边平方，得

（x+c）2+y2 = 4a2 －4a

整理得

(xc)2y2，

a2cxa(xc)2y2

上式两边再平方，得

a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2,

整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点： 1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？ 2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？

由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生

如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。

方程 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2) 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？ 由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以a2c2＞0 两边同除以a2(a2c2)，得

x2y2

1. 22

2

aac

因为a2c2＞0不妨令a2c2b2，那么所得的椭圆方程可化为：

x2y2

21，(ab0) （1） 2ab

我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上。

注：这里引入正数b（令b2=a2-c2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆。同时b具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习。

对标准方程的理解：

所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。 问题：如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为：（0，-c）,(0,c), a ,b意义

同上，那么椭圆的方程是什么呢？

y2x2

可让学生先猜想结论：221（a＞b＞0），并说明理由。

ab

让学生通过对 比。

yc2

x

2

yc2

x2a进行观察，与前面对

2

实际上只要将前面的x轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：

y2x2

1，(ab0) （2） a2b2

两种标准方程特点的比较：

1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。 2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。

（五）应用举例，小结升华.

53

例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点(,) ，求它的标

22

准方程。

分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。

53

法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点(,)代入椭圆方程。

22

解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

y2x2

21（a＞b＞0）. 2ab

由椭圆的定义知

2a =

5335

(2)22()22, 2222

2

2

所以a =

又因为c = 2 ，所以b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 . 因此，所求椭圆的标准方程为

x2y2

1 106

解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4

x2y2

21 所以可设椭圆方程为：2

b4b

53） 把点（，代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10. 22x2y2

1. 因此，所求标准方程为

106

巩固练习：

x2y2

1 上一点P到焦点F1 的距离等于6，那么点P到另一个焦点1．如果椭圆

10036

F2的距离是 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

x2

y21 （1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x轴上； 明确： 16y2

x21 （2）a = 4 ,c = ,焦点在y轴上； 明确： 16

x2y2x2y2

(3) a + b = 10 , c = 25 。 明确： 1或1

36161636

课堂小结：

由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：

1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 。 2．思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合。 课外作业：习题2.2 第1、2题

板书设计

特 色 教 案

课 题：授课教师：单 位：椭圆及其标准方程 杨 虎 寿县迎河中学

椭圆及其标准方程

一、教学目标： 1．知识与技能目标：

（1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标：

（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利 用规律解决实际问题的能力.

（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思 想和方法

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他 人合作交流的意识. 二、教学重点、难点：

1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。 2．难点：椭圆标准方程的推导。 三、教材与教法分析

（一）、教材、学习者特征分析：

本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。 （二）、教学方法和教学策略分析：

探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去

分析问题、讨论问题、解决问题。

四、教具： 多媒体 直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板

第一课时

五、教学过程 新课引入

2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。

在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？

（一）认识椭圆，问题引出:

1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道 ；生活实例：平面截圆锥等图片）

2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？ （二）动手实验，亲身体验

指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征. 请三名同学上台画在黑板上.

注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。

先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。 【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。 （1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？ 明确: 一条线段 （2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？

明确:相等，而且都等于这条绳长

【演示二】当绳子长大于| F1 F2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动（学生亲手画），就可以在平面内画出一个椭圆（动画演示）

（三）归纳定义

【引导】根据画图的过程，请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征？ 提问：（1）在画图的过程中，绳长变了吗？ 明确: 没有

（2）在画图过程中，绳子始终是紧绷的，那么我们画出的曲线上的点到F1 、F2两点的距离之

和始终满足什么关系？

明确:与绳长相等.

对，绳长没有发生变化，这说明椭圆上每一点到F1 、F2两点的距离的和都相等，且都是绳长这一定值。这就说明，椭圆上的点除了要满足到两定点F1 、F2的距离和相等之外，这个距离和还要比| F1 F2|大。

请大家回想刚才的画图过程，使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板（表明在同一平面内），又保证绳长大于| F1 F2|，这样就在平面内画出了椭圆，所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭圆。

再次（运用几何画板的度量工具）演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等（为定值）。 那么请同学们给椭圆下个定义吧！ 引导学生归纳出椭圆的定义。

椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

巩固练习：

平面内有两定点A、B，它们之间的距离为6 cm .

（1）若动点P与A、B两点的距离和是定值，且 大于 （填大于、等于或小于）6 cm ，则它的轨迹是椭圆，定点A和B是椭圆的焦点。它们之间的距离就是椭圆的焦距。 （2）若动点P与A、B两点的距离的和等于6cm,则它的轨迹是 线段AB 。 （3）若动点P与A、B两点的距离的和小于6cm，则动点轨迹 不存在 。

（四）合理建系，推导方程

为了进一步研究椭圆的特征，现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:上一节我们知道了求曲线方程第一步，建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标。在这儿“适当”二字应如何体现？

由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程.

已知椭圆的焦距|F1F2|2c,(c0)，椭圆上的动点M到两定点F1,F2的距离之和为2a，求椭圆的方程.

如图1，以两个定点F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点

M(x,y)为椭圆上任意一点，则

图1

PMMF1MF22a （称此式为几何条件） 所以，得

xc2y2xc2y2



xc2y2

2a （实现集合条件代数化）

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

2a

xc2y2， xc2y2

将这个方程两边平方，得

（x+c）2+y2 = 4a2 －4a

整理得

(xc)2y2，

a2cxa(xc)2y2

上式两边再平方，得

a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2,

整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点： 1. 化简含有根号的式子时，我们通常用什么方法？ 2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？

由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生

如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。

方程 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2) 结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？ 由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以a2c2＞0 两边同除以a2(a2c2)，得

x2y2

1. 22

2

aac

因为a2c2＞0不妨令a2c2b2，那么所得的椭圆方程可化为：

x2y2

21，(ab0) （1） 2ab

我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上。

注：这里引入正数b（令b2=a2-c2）,其目的是使方程形式简单、和谐，讲究对称美，便于记忆。同时b具有特定的几何意义，我们将在下一小节继续学习。

对标准方程的理解：

所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。 问题：如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为：（0，-c）,(0,c), a ,b意义

同上，那么椭圆的方程是什么呢？

y2x2

可让学生先猜想结论：221（a＞b＞0），并说明理由。

ab

让学生通过对 比。

yc2

x

2

yc2

x2a进行观察，与前面对

2

实际上只要将前面的x轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：

y2x2

1，(ab0) （2） a2b2

两种标准方程特点的比较：

1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。 2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。

（五）应用举例，小结升华.

53

例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点(,) ，求它的标

22

准方程。

分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。

53

法二：由焦点坐标知道a , b的关系，再将已知点(,)代入椭圆方程。

22

解法一、椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

y2x2

21（a＞b＞0）. 2ab

由椭圆的定义知

2a =

5335

(2)22()22, 2222

2

2

所以a =

又因为c = 2 ，所以b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 . 因此，所求椭圆的标准方程为

x2y2

1 106

解法二：因为c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4

x2y2

21 所以可设椭圆方程为：2

b4b

53） 把点（，代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10. 22x2y2

1. 因此，所求标准方程为

106

巩固练习：

x2y2

1 上一点P到焦点F1 的距离等于6，那么点P到另一个焦点1．如果椭圆

10036

F2的距离是 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

x2

y21 （1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x轴上； 明确： 16y2

x21 （2）a = 4 ,c = ,焦点在y轴上； 明确： 16

x2y2x2y2

(3) a + b = 10 , c = 25 。 明确： 1或1

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课堂小结：

由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法，教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评：

1．知识总结：椭圆的定义，椭圆的标准方程 。 2．思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合。 课外作业：习题2.2 第1、2题

板书设计

特 色 教 案

课 题：授课教师：单 位：椭圆及其标准方程 杨 虎 寿县迎河中学