全国中考数学压轴题及答案精选
1. （12分）（2013•白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；
（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
2
2. （12分）（2013兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标
3-2
y =mx -2mx -3m （m ＜0）2为（0，），点M 是抛物线C2：的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 参考答案：
2. （本小题满分12分）
2
(1)解：令y =0，则 mx -2mx -3m =0
第28题图
2
∵m ＜0，∴x -2x -3=0 解得：x 1=-1， x 2=3
∴A （-1，0）、B （3，0） „„„„„„„„„„„2
分
（2）存在．
）(x -3) a ≠0
∵设抛物线C1的表达式为y =a （x +1（），
－
把C （0， ∴Ｃ1：
13
a =
2 2）代入可得
y =
123
x -x -22 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
123n -n -
2） 设P （n ，2
∴
△PBC = S △POC + S △BOP –
33227-n -）+4216 „„„„„„„„„„„„„6分 =∵分
S
S
△
BOC
a =-
3327
n =
4
（3）由C2可知： B（3，0），D （0，-3m ），M （1，-4m ）
222
BD2=9m +9， BM2=16m +4，DM2=m +1，
∵∠MBD
222
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2 ，16m +4＋m +1=9m +9
解得：分
m 1=-
2
m 2=2, 2 (舍去) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9
222
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2 ，9m +9＋m +1=16m +4
解得：m 1=-1，m 2=1 (舍去) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
m =-
2
2时，△BDM 为直角三角形． „„„„„„„„„„„„„12分
综上 m =-1，
2ax +bx +c (a ≠0, a ≠c ) 过点A(1,0)，顶点为B ，3. （14分）（2013广州）已知抛物线y1=
且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a 、c 表示b;
（2）判断点B 所在象限，并说明理由；
c
, b +8a （3）若直线y2=2x+m经过点B ，且于该抛物线交于另一点C(), 求当x ≥1时y1的
取值范围。
参考答案： 3、（1）b =-a -c
（2）B 在第四象限。理由如下
∵
x 1=1, x 2=
c
, a ≠c a
所以抛物线与x 轴有两个交点
又因为抛物线不经过第三象限 所以a >0，且顶点在第四象限
c
C (, b +8)
（3）∵a ，且在抛物线上，∴b +8=0, b =-8, a +c =8,
把B 、C 两点代入直线解析式易得c -a =4 解得c =6, a =2
画图易知，C 在A 的右侧，
4ac -b 2
y 1≥=-2
4a ∴当x ≥1时，
4. （9分）（2013深圳福田）如图12，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0,4)，与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=6.
（1）则D 点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ；
（2）sin ∠ACB= ；经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式 ； （3）设抛物线的顶点为F, 证明直线FA 与圆D 相切；
（4）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使∆CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标.
参考答案： 4. 解：
（1）（5，4）------------1分 5------------2分
图
12
315
y =x 2-x +4
42（2）sin ∠ACB=5， --------------4分
（3）证明：因为D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明∠DAF =90︒，
925159(5,-
) DF =4+=, AF ==
444， （5分） 4, 抛物线顶点坐标：F
⎛15⎫625⎛25⎫
DA +AF =5+ ⎪== ⎪=DF 2
16⎝4⎭⎝4⎭
所以∴∠DAF =90︒
2
2
2
22
所以AF 切于圆D 。 （6分）
存在点N ，使∆CBN 面积最小。
125
a -a +4
2设N 点坐标（a, 4）, 过点N 作NP 与y 轴平行，交BC P 1
a +4
可得P 点坐标为（a, 2） ----------------7分
-
11251
a +4a -a +4-a 2+2a
2∴NP=2-（4）=4
-
N
1112
-a +2a
22∴S △BCN =S△BPN +S△PCN =×BO ×PN=×8×（4）=16-(a-4)2
-----------8分
当a=4时，S △BCN 最大，最大值为16。此时，N （4，-2）------------9分 部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下： （4）、存在点N ，做一条与BC 平行的直线，平移， 当它与抛物线有一个交点时，此时以BC 为底的三角形 高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的N 点。
1
易求BC 的K 值为2，所以设动直线为：
-
y =-
1
x +d 2，与抛物线联立：
1⎧y =-x +d ⎪1⎪2消去y , x 2-2x +4-d =0, ⎨
4⎪y =1x 2-5x +4
⎪⎩42
12
因为有一个交点，所以∆=(-2)-4⨯(4-d )=0, 解得，d =0,
4 （1分）
1⎧
y =-x ⎪⎧x =4⎪2
⇒⎨⇒N (4, -2)⎨
15y =-2⎪y =x 2-x +4⎩⎪42所以⎩ （1分）
过N 做y 轴的平行线，交BC 于一点，求此点坐标
y =-
BC ：
11x +4⨯4⨯8=1622, 令x=4,解得y=2,∴三角形BCN 面积的最大值=
（1分）
若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。
5. （2013深圳）如图6-1，过点A （0，4）的圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆
1
y =-x 2+bx +c
2弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为
D 。
（1）点B 的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 （2）如图6-2，求证：BD//AC
（3）如图6-3，点Q 为线段BC 上一点，且AQ=5，直线AQ 交⊙C 于点P ，求AP 的长。
解析：
6. （2013深圳）如图7-1，直线AB 过点A （m ，0），B （0，n ），且m +n =20（其中m >0，
n >0）。
（1）m 为何值时，△OAB 面积最大？最大值是多少？
y =
（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数
k
(k >0) x 的图像与直线AB 相交于C 、D 两点，
1
S ∆OCA =S ∆OCD
8若，求k 的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向平移，如图7-3，
设它与△OAB 的重叠部分面积为S ，请求出S 与运动时间（秒）的函数关系式（0
解析：
7. （2013广东）有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠BAC =90︒，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE =90︒，DF=4，DE =43. 将这副直角三角板按如题25图（1）所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上. 现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动.
（1）如题25图（2），当三角板DEF 运动到点D 到点A 重合时，设EF 与BC 交于点M ，则∠EMC = 度；
（2）如题25图（3），当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长; （3）在三角板DEF 运动过程中，设BF =x ，两块三角板重叠部分的面积为的函数解析式，并求出对应的x 取值范围
.
y ，求y 与x
参考答案： 7. （1）15
FC AC FC =, =
∴FC =（2）∵△AFC ∽△DFE
，∴FE DE 8
（3）解：
①当0≤ x ≤2时，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，
3+x 2则MN=
y =
113+3+12⨯(x +4) 2-x ⋅x =-x +4x +82224
↓
②当2＜ x ≤6-2时，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，
3+x
则MN=2
↓
y =
1213+33+2
⨯6-x ⋅x =-x +182224
③当6-2＜ x ≤6时，
↓
y =
12(6-x ) ⨯(6-x ) =322x -6x +
综上：
⎧⎪
-+1x 2+4x +8(0≤x ≤2)⎪
4y =⎪⎨-3+x 2+18(2
⎪
4⎪⎪3x 2
-6x +(6-23
2
↓
↓
8．（12分）（2013桂林）已知抛物线的顶点为(0,4)且与x 轴交于(-2,0) ，(2,0). （1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D ，与x 轴的交点为A 、B ，与原抛物线的交点为P
①当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于E 时，求此时k 的值；
②是否存在这样的k 值，使得点O 、P 、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.
[
8解）
y =-x
（2）连接CE, CD，
∵OD 是⊙C 的切线，∴CE ⊥OD ．．．．．．．3分 在Rt △CDE 中，∠CED=90，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30．．４分 ∴在Rt △CDO 中，∠OCD=90，CD=4，∠ODC=30 ∴OC =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
︒
︒
︒
︒
分
k =OC =
． ．．．7分
∴当直线OD 与以AB 为直径的圆相切时，
2
y =-(x -k ) +4 k (3) 设平移个单位后的抛物线的解析式是
2
y =-x +4交于点P ， 它与
k k 2
(, -+4)
可得点P 的坐标是24 ．．．．．．．．8分 k k 2
-+4
2（也可以根据对称性，直接写出点P 的横坐标是，再求出纵坐标4）
方法1：设直线OD 的解析式为y =ax ，把D (k ,4) 代入，得
y =
4
x
k ．．．．．．9分若点
k 24k 4k k 2
-+4=y =x (, -+4)
k 上, 得4k 2，
P 24在直线
解得k =± ．．．．．．11分
∴当k =时，O 、P 、D 三点在同一条直线上． ．．．．．12分 方法2：假设O 、P 、D 在同一直线上时；
过点D 、P 分别作DF ⊥x 轴于F 、PG ⊥x 轴于G, 则DF ∥PG ．．．．．9分
OG PG
=OF DF ．．．．．．．10分 ∴△OPG ∽△ODF ，∴
k k 2
OG =PG =-+4
OF =k 24∴，，，DF =4
∴
k =， ．．．．．．．．．11分
∴当k =OF =，点O 、P 、D 在同一条直线上． ．．．．．．12分
9. （12分）（2013贵阳）如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：
y =-
x +43与
x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此
三角形沿着x 轴的正方向平移.
（1）在平移过程中，得到∆A 1B 1C 1，此时顶点A 1恰 落在直线l 上，写出A 1点的坐标 ；（4分） （2）继续向右平移，得到∆A 2B 2C 2，此时它的外心
P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标；（4分）
（3）在直线l 上是否存在这样的点，与（2）中的A 2、 B 2、C 2任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分）
参考答案：
9. （本题满分12分） （1）A 1
, 3 „„„„„„„„„„„„4分
)
（2）设P (x , y ), 连接A 2P 并延长交x 轴于点H , 连接B 2P „„„„„„„„„5分 在等边三角形A 2B 2C 2中, 高A 2H =3 ∴A 2B 2=23，HB 2=
3 „„„„„„„„„„„„6分
∵点P 是等边三角形A 2B 2C 2的外心
∠PB H =302 ∴，∴PH =1 即y =1 „„„„„„„„„„„„7分
将y =1代人
y =-
x +43，解得：x =3
∴P 33, 1 „„„„„„„„„„„„8分 （3）点P 是∆A 2B 2C 2的外心，∵PA 2=PB 2 PB 2=PC 2 PC 2=PA 2 ∆PA 2B 2，∆PB 2C 2，∆PA 2C 2是等腰三角形
∴点P 满足条件，由（2）得P 3, 3 „„„„„„„„„„„„9分
()
()
由（2）得：C 243, 0，点C 2满足直线l ：
C ∠PMB =3022M ∴点与点重合. ∴
()
y =-
3
x +43的关系式.
设点Q 满足条件，∆QA 2B 2，∆B 2QC 2，
∆A 2QC 2能构成等腰三角形.
此时QA 2=QB 2 B 2Q =B 2C 2 A 2Q =A 2C 2 作QD ⊥x 轴于D 点，连接QB 2
∵QB 2=2，∠QB 2D =2∠PMB 2=60
∴QD =3，∴Q , 3 „„„„„„„„„„„„10分 设点S 满足条件，∆SA 2B 2，∆C 2B 2S ，∆C 2A 2S 能构成等腰三角形. 此时SA 2=SB 2 C 2B 2=C 2S C 2A 2=C 2S . 作SF ⊥x 轴于F 点
∠SC B =∠PMB =30SC =232222∵， ∴SF =
)
∴S 4-3, 3 „„„„„„„„„„„„11分 设点R 满足条件，∆RA 2B 2，∆C 2B 2R ，∆C 2A 2R 能构成等腰三角形. 此时RA 2=RB 2 C 2B 2=C 2R C 2A 2=C 2R . 作RE ⊥x 轴于E 点.
∠RC E =∠PMB =30RC =2222∵， ∴ER =3 ∴R 3+4, -3
()
()
答：存在四个点，分别是P , 1，Q , 3，S 4-3, ，R
3+4, -
()
)()()
10．（14分）（2013•黔东南州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a ≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x 的取值范围；
（3）设抛物线与x 轴的右边交点为A ，过点A 作x 轴的垂线，交直线y2=x+1于点B ，点P 在抛物线上，当S △PAB ≤6时，求点P 的横坐标x 的取值范围．
11．(14分) （2013铜仁）如图，已知直线y ＝3x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合) ． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形? 若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标. 参考答案：
11. （本题14分）
解：（1）求出A （1，0），B （0，－3）„„„„„„„„1分
⎧1+b +c =0⎨
⎩c =-3
把A 、B 两点的坐标分别代入y ＝x2＋bx ＋c 得
解得：b ＝2，c ＝－3„„„„„„„„„„3分 ∴抛物线为：y ＝x2＋2x －3„„„„„„„4分 （2）令y ＝0得：0＝x2＋2x －3 解之得：x1＝1，x2＝－3
所以C （－3，0），AC ＝4„„„„„„„6分
11
AC ⋅OB =⨯4⨯3=6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
2S △ABC ＝2 （3）抛物线的对称轴为：x ＝－1，假设存在M （－1，m ）满足题意
讨论：
①当MA ＝AB 时
22+m 2= m =±
∴M1（－1，），M2（－1，－）„„„„„„„„10分 ②当MB ＝BA 时
2+(m +3) 2=
∴M3＝0，M4＝－6„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴M3（－1，0），M4（－1，－6）„„„„„„„„12分 ③当MB ＝MA 时
22+m 2=2+(m +3) 2
m＝－1
∴M5（－1，－1）„„„„„„„„„„„„„„13分
答：共存在五个点M1（－1，6），M2（－1，－6），M3（－1，0），M4（－1，－6），M5（－1，－1），
使△ABM 为等腰三角形„„„„„„„„„„„„„„14分
12．（12分）（2013遵义）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，AC =4cm , BC =3cm ．
动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、 CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的 速度沿BA 向终点A 移动．连接PM 、PN ，设移动时间为t （单 位：秒，0
（1）当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？ 若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 26．解: (1)解：
由以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：
AP AM
=
AB , ①若△AMP ∽△ABC ，则AC 35-2t 4-t
t ==
2. 5，∴4
AM AP
=
AB , ②若△APM ∽△ABC ，则AC
4-t 5-2t
=45，t =0(不合题意，舍去). ∴
t =
当
3
2时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似.
(2) 过P 作PH ⊥BC , 垂足为H .
PH BP PH 2t 8
==PH =t BA 即45，∴5 ∵PH ∥AC , ∴AC
∴S =S ∆ABC -S ∆PBN 4⎛3⎫21121184=⨯4⨯3-(3-t )∙t =t 2-t +6= t -⎪+5⎝2⎭5(0
4>0
∵5，∴S 有最小值 t =
当3212时，S 有最小值5 t =321
2时，四边形APNC 的面积最小，S 的有最小值是5. 答：当
2y =ax +bx +c (a ≠0) 的顶点坐标为13．（14分）（2013遵义）如图，已知抛物线
2⎫⎛ 4, -⎪3⎭，且与y 轴交于点C (0, 2) ，于x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）. ⎝
（1）求抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，
使AP +CP 的值最小？若存在，求AP +CP 的最
小值；若不存在，请说明理由；
（3）在以AB 为直径的⊙M 中，CE 与⊙M 相切于点
E , CE 交x 轴于D , 求直线CE 的解析式.
y =a (x -4) 2-
13．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点C (0, 2) 23 (a ≠0)
a (x -4) 2-
∴12a ==26 3, 解得
y =
∴1214(x -4) 2-y =x 2-x +263，即63
124x -x +2=0y =063当时，，解得x 1=2，x 2=6
∴A (2, 0) , B (6, 0)
(2)存在
由（1）知，抛物线的对称轴l 为x =4，
21
因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P , 则AP =BP , 所以，AP +CP =BC 的值最小.
∵B (6, 0) ，C (0, 2) ，∴OB =6, OC =2 22OB =6+2=2 ∴
∴AP +CP =BC =2
∴AP +CP 的最小值为2.
（3）连接ME
∵CE 是⊙M 的切线
∴ME ⊥CE ，∠CEM =90
0∴∠COD =∠DEM =90 0
由题意，得OC =ME =2, ∠COD =∠DEM
∴△COD ≌△MED
∴OD =DE , DC =DM
设OD =x ，则CD =DM =OM -OD =4-x
222Rt COD OD +OC =CD 在△中, .
∴x +2=(4-x ) ∴222x =33D (, 0) 2 2， ∴
设直线CE 的解析式为y =kx +b (k ≠0) ，
3D (, 0) 2两点. ∵直线CE 过C (0, 2) ，
4⎧⎧⎪k =-⎪3b =24⎨3⎨k +b =0y
=-x +2⎪b =2⎪⎩3则⎩2 解得 ∴直线CE 的解析式为.
22
全国中考数学压轴题及答案精选
1. （12分）（2013•白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；
（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
2
2. （12分）（2013兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标
3-2
y =mx -2mx -3m （m ＜0）2为（0，），点M 是抛物线C2：的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 参考答案：
2. （本小题满分12分）
2
(1)解：令y =0，则 mx -2mx -3m =0
第28题图
2
∵m ＜0，∴x -2x -3=0 解得：x 1=-1， x 2=3
∴A （-1，0）、B （3，0） „„„„„„„„„„„2
分
（2）存在．
）(x -3) a ≠0
∵设抛物线C1的表达式为y =a （x +1（），
－
把C （0， ∴Ｃ1：
13
a =
2 2）代入可得
y =
123
x -x -22 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
123n -n -
2） 设P （n ，2
∴
△PBC = S △POC + S △BOP –
33227-n -）+4216 „„„„„„„„„„„„„6分 =∵分
S
S
△
BOC
a =-
3327
n =
4
（3）由C2可知： B（3，0），D （0，-3m ），M （1，-4m ）
222
BD2=9m +9， BM2=16m +4，DM2=m +1，
∵∠MBD
222
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2 ，16m +4＋m +1=9m +9
解得：分
m 1=-
2
m 2=2, 2 (舍去) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9
222
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2 ，9m +9＋m +1=16m +4
解得：m 1=-1，m 2=1 (舍去) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
m =-
2
2时，△BDM 为直角三角形． „„„„„„„„„„„„„12分
综上 m =-1，
2ax +bx +c (a ≠0, a ≠c ) 过点A(1,0)，顶点为B ，3. （14分）（2013广州）已知抛物线y1=
且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a 、c 表示b;
（2）判断点B 所在象限，并说明理由；
c
, b +8a （3）若直线y2=2x+m经过点B ，且于该抛物线交于另一点C(), 求当x ≥1时y1的
取值范围。
参考答案： 3、（1）b =-a -c
（2）B 在第四象限。理由如下
∵
x 1=1, x 2=
c
, a ≠c a
所以抛物线与x 轴有两个交点
又因为抛物线不经过第三象限 所以a >0，且顶点在第四象限
c
C (, b +8)
（3）∵a ，且在抛物线上，∴b +8=0, b =-8, a +c =8,
把B 、C 两点代入直线解析式易得c -a =4 解得c =6, a =2
画图易知，C 在A 的右侧，
4ac -b 2
y 1≥=-2
4a ∴当x ≥1时，
4. （9分）（2013深圳福田）如图12，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0,4)，与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=6.
（1）则D 点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ；
（2）sin ∠ACB= ；经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式 ； （3）设抛物线的顶点为F, 证明直线FA 与圆D 相切；
（4）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使∆CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标.
参考答案： 4. 解：
（1）（5，4）------------1分 5------------2分
图
12
315
y =x 2-x +4
42（2）sin ∠ACB=5， --------------4分
（3）证明：因为D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明∠DAF =90︒，
925159(5,-
) DF =4+=, AF ==
444， （5分） 4, 抛物线顶点坐标：F
⎛15⎫625⎛25⎫
DA +AF =5+ ⎪== ⎪=DF 2
16⎝4⎭⎝4⎭
所以∴∠DAF =90︒
2
2
2
22
所以AF 切于圆D 。 （6分）
存在点N ，使∆CBN 面积最小。
125
a -a +4
2设N 点坐标（a, 4）, 过点N 作NP 与y 轴平行，交BC P 1
a +4
可得P 点坐标为（a, 2） ----------------7分
-
11251
a +4a -a +4-a 2+2a
2∴NP=2-（4）=4
-
N
1112
-a +2a
22∴S △BCN =S△BPN +S△PCN =×BO ×PN=×8×（4）=16-(a-4)2
-----------8分
当a=4时，S △BCN 最大，最大值为16。此时，N （4，-2）------------9分 部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下： （4）、存在点N ，做一条与BC 平行的直线，平移， 当它与抛物线有一个交点时，此时以BC 为底的三角形 高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的N 点。
1
易求BC 的K 值为2，所以设动直线为：
-
y =-
1
x +d 2，与抛物线联立：
1⎧y =-x +d ⎪1⎪2消去y , x 2-2x +4-d =0, ⎨
4⎪y =1x 2-5x +4
⎪⎩42
12
因为有一个交点，所以∆=(-2)-4⨯(4-d )=0, 解得，d =0,
4 （1分）
1⎧
y =-x ⎪⎧x =4⎪2
⇒⎨⇒N (4, -2)⎨
15y =-2⎪y =x 2-x +4⎩⎪42所以⎩ （1分）
过N 做y 轴的平行线，交BC 于一点，求此点坐标
y =-
BC ：
11x +4⨯4⨯8=1622, 令x=4,解得y=2,∴三角形BCN 面积的最大值=
（1分）
若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。
5. （2013深圳）如图6-1，过点A （0，4）的圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆
1
y =-x 2+bx +c
2弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为
D 。
（1）点B 的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 （2）如图6-2，求证：BD//AC
（3）如图6-3，点Q 为线段BC 上一点，且AQ=5，直线AQ 交⊙C 于点P ，求AP 的长。
解析：
6. （2013深圳）如图7-1，直线AB 过点A （m ，0），B （0，n ），且m +n =20（其中m >0，
n >0）。
（1）m 为何值时，△OAB 面积最大？最大值是多少？
y =
（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数
k
(k >0) x 的图像与直线AB 相交于C 、D 两点，
1
S ∆OCA =S ∆OCD
8若，求k 的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向平移，如图7-3，
设它与△OAB 的重叠部分面积为S ，请求出S 与运动时间（秒）的函数关系式（0
解析：
7. （2013广东）有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠BAC =90︒，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE =90︒，DF=4，DE =43. 将这副直角三角板按如题25图（1）所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上. 现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动.
（1）如题25图（2），当三角板DEF 运动到点D 到点A 重合时，设EF 与BC 交于点M ，则∠EMC = 度；
（2）如题25图（3），当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长; （3）在三角板DEF 运动过程中，设BF =x ，两块三角板重叠部分的面积为的函数解析式，并求出对应的x 取值范围
.
y ，求y 与x
参考答案： 7. （1）15
FC AC FC =, =
∴FC =（2）∵△AFC ∽△DFE
，∴FE DE 8
（3）解：
①当0≤ x ≤2时，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，
3+x 2则MN=
y =
113+3+12⨯(x +4) 2-x ⋅x =-x +4x +82224
↓
②当2＜ x ≤6-2时，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，
3+x
则MN=2
↓
y =
1213+33+2
⨯6-x ⋅x =-x +182224
③当6-2＜ x ≤6时，
↓
y =
12(6-x ) ⨯(6-x ) =322x -6x +
综上：
⎧⎪
-+1x 2+4x +8(0≤x ≤2)⎪
4y =⎪⎨-3+x 2+18(2
⎪
4⎪⎪3x 2
-6x +(6-23
2
↓
↓
8．（12分）（2013桂林）已知抛物线的顶点为(0,4)且与x 轴交于(-2,0) ，(2,0). （1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D ，与x 轴的交点为A 、B ，与原抛物线的交点为P
①当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于E 时，求此时k 的值；
②是否存在这样的k 值，使得点O 、P 、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.
[
8解）
y =-x
（2）连接CE, CD，
∵OD 是⊙C 的切线，∴CE ⊥OD ．．．．．．．3分 在Rt △CDE 中，∠CED=90，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30．．４分 ∴在Rt △CDO 中，∠OCD=90，CD=4，∠ODC=30 ∴OC =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
︒
︒
︒
︒
分
k =OC =
． ．．．7分
∴当直线OD 与以AB 为直径的圆相切时，
2
y =-(x -k ) +4 k (3) 设平移个单位后的抛物线的解析式是
2
y =-x +4交于点P ， 它与
k k 2
(, -+4)
可得点P 的坐标是24 ．．．．．．．．8分 k k 2
-+4
2（也可以根据对称性，直接写出点P 的横坐标是，再求出纵坐标4）
方法1：设直线OD 的解析式为y =ax ，把D (k ,4) 代入，得
y =
4
x
k ．．．．．．9分若点
k 24k 4k k 2
-+4=y =x (, -+4)
k 上, 得4k 2，
P 24在直线
解得k =± ．．．．．．11分
∴当k =时，O 、P 、D 三点在同一条直线上． ．．．．．12分 方法2：假设O 、P 、D 在同一直线上时；
过点D 、P 分别作DF ⊥x 轴于F 、PG ⊥x 轴于G, 则DF ∥PG ．．．．．9分
OG PG
=OF DF ．．．．．．．10分 ∴△OPG ∽△ODF ，∴
k k 2
OG =PG =-+4
OF =k 24∴，，，DF =4
∴
k =， ．．．．．．．．．11分
∴当k =OF =，点O 、P 、D 在同一条直线上． ．．．．．．12分
9. （12分）（2013贵阳）如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：
y =-
x +43与
x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此
三角形沿着x 轴的正方向平移.
（1）在平移过程中，得到∆A 1B 1C 1，此时顶点A 1恰 落在直线l 上，写出A 1点的坐标 ；（4分） （2）继续向右平移，得到∆A 2B 2C 2，此时它的外心
P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标；（4分）
（3）在直线l 上是否存在这样的点，与（2）中的A 2、 B 2、C 2任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分）
参考答案：
9. （本题满分12分） （1）A 1
, 3 „„„„„„„„„„„„4分
)
（2）设P (x , y ), 连接A 2P 并延长交x 轴于点H , 连接B 2P „„„„„„„„„5分 在等边三角形A 2B 2C 2中, 高A 2H =3 ∴A 2B 2=23，HB 2=
3 „„„„„„„„„„„„6分
∵点P 是等边三角形A 2B 2C 2的外心
∠PB H =302 ∴，∴PH =1 即y =1 „„„„„„„„„„„„7分
将y =1代人
y =-
x +43，解得：x =3
∴P 33, 1 „„„„„„„„„„„„8分 （3）点P 是∆A 2B 2C 2的外心，∵PA 2=PB 2 PB 2=PC 2 PC 2=PA 2 ∆PA 2B 2，∆PB 2C 2，∆PA 2C 2是等腰三角形
∴点P 满足条件，由（2）得P 3, 3 „„„„„„„„„„„„9分
()
()
由（2）得：C 243, 0，点C 2满足直线l ：
C ∠PMB =3022M ∴点与点重合. ∴
()
y =-
3
x +43的关系式.
设点Q 满足条件，∆QA 2B 2，∆B 2QC 2，
∆A 2QC 2能构成等腰三角形.
此时QA 2=QB 2 B 2Q =B 2C 2 A 2Q =A 2C 2 作QD ⊥x 轴于D 点，连接QB 2
∵QB 2=2，∠QB 2D =2∠PMB 2=60
∴QD =3，∴Q , 3 „„„„„„„„„„„„10分 设点S 满足条件，∆SA 2B 2，∆C 2B 2S ，∆C 2A 2S 能构成等腰三角形. 此时SA 2=SB 2 C 2B 2=C 2S C 2A 2=C 2S . 作SF ⊥x 轴于F 点
∠SC B =∠PMB =30SC =232222∵， ∴SF =
)
∴S 4-3, 3 „„„„„„„„„„„„11分 设点R 满足条件，∆RA 2B 2，∆C 2B 2R ，∆C 2A 2R 能构成等腰三角形. 此时RA 2=RB 2 C 2B 2=C 2R C 2A 2=C 2R . 作RE ⊥x 轴于E 点.
∠RC E =∠PMB =30RC =2222∵， ∴ER =3 ∴R 3+4, -3
()
()
答：存在四个点，分别是P , 1，Q , 3，S 4-3, ，R
3+4, -
()
)()()
10．（14分）（2013•黔东南州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a ≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x 的取值范围；
（3）设抛物线与x 轴的右边交点为A ，过点A 作x 轴的垂线，交直线y2=x+1于点B ，点P 在抛物线上，当S △PAB ≤6时，求点P 的横坐标x 的取值范围．
11．(14分) （2013铜仁）如图，已知直线y ＝3x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合) ． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形? 若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标. 参考答案：
11. （本题14分）
解：（1）求出A （1，0），B （0，－3）„„„„„„„„1分
⎧1+b +c =0⎨
⎩c =-3
把A 、B 两点的坐标分别代入y ＝x2＋bx ＋c 得
解得：b ＝2，c ＝－3„„„„„„„„„„3分 ∴抛物线为：y ＝x2＋2x －3„„„„„„„4分 （2）令y ＝0得：0＝x2＋2x －3 解之得：x1＝1，x2＝－3
所以C （－3，0），AC ＝4„„„„„„„6分
11
AC ⋅OB =⨯4⨯3=6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
2S △ABC ＝2 （3）抛物线的对称轴为：x ＝－1，假设存在M （－1，m ）满足题意
讨论：
①当MA ＝AB 时
22+m 2= m =±
∴M1（－1，），M2（－1，－）„„„„„„„„10分 ②当MB ＝BA 时
2+(m +3) 2=
∴M3＝0，M4＝－6„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴M3（－1，0），M4（－1，－6）„„„„„„„„12分 ③当MB ＝MA 时
22+m 2=2+(m +3) 2
m＝－1
∴M5（－1，－1）„„„„„„„„„„„„„„13分
答：共存在五个点M1（－1，6），M2（－1，－6），M3（－1，0），M4（－1，－6），M5（－1，－1），
使△ABM 为等腰三角形„„„„„„„„„„„„„„14分
12．（12分）（2013遵义）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，AC =4cm , BC =3cm ．
动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、 CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的 速度沿BA 向终点A 移动．连接PM 、PN ，设移动时间为t （单 位：秒，0
（1）当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？ 若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 26．解: (1)解：
由以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：
AP AM
=
AB , ①若△AMP ∽△ABC ，则AC 35-2t 4-t
t ==
2. 5，∴4
AM AP
=
AB , ②若△APM ∽△ABC ，则AC
4-t 5-2t
=45，t =0(不合题意，舍去). ∴
t =
当
3
2时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似.
(2) 过P 作PH ⊥BC , 垂足为H .
PH BP PH 2t 8
==PH =t BA 即45，∴5 ∵PH ∥AC , ∴AC
∴S =S ∆ABC -S ∆PBN 4⎛3⎫21121184=⨯4⨯3-(3-t )∙t =t 2-t +6= t -⎪+5⎝2⎭5(0
4>0
∵5，∴S 有最小值 t =
当3212时，S 有最小值5 t =321
2时，四边形APNC 的面积最小，S 的有最小值是5. 答：当
2y =ax +bx +c (a ≠0) 的顶点坐标为13．（14分）（2013遵义）如图，已知抛物线
2⎫⎛ 4, -⎪3⎭，且与y 轴交于点C (0, 2) ，于x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）. ⎝
（1）求抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，
使AP +CP 的值最小？若存在，求AP +CP 的最
小值；若不存在，请说明理由；
（3）在以AB 为直径的⊙M 中，CE 与⊙M 相切于点
E , CE 交x 轴于D , 求直线CE 的解析式.
y =a (x -4) 2-
13．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点C (0, 2) 23 (a ≠0)
a (x -4) 2-
∴12a ==26 3, 解得
y =
∴1214(x -4) 2-y =x 2-x +263，即63
124x -x +2=0y =063当时，，解得x 1=2，x 2=6
∴A (2, 0) , B (6, 0)
(2)存在
由（1）知，抛物线的对称轴l 为x =4，
21
因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P , 则AP =BP , 所以，AP +CP =BC 的值最小.
∵B (6, 0) ，C (0, 2) ，∴OB =6, OC =2 22OB =6+2=2 ∴
∴AP +CP =BC =2
∴AP +CP 的最小值为2.
（3）连接ME
∵CE 是⊙M 的切线
∴ME ⊥CE ，∠CEM =90
0∴∠COD =∠DEM =90 0
由题意，得OC =ME =2, ∠COD =∠DEM
∴△COD ≌△MED
∴OD =DE , DC =DM
设OD =x ，则CD =DM =OM -OD =4-x
222Rt COD OD +OC =CD 在△中, .
∴x +2=(4-x ) ∴222x =33D (, 0) 2 2， ∴
设直线CE 的解析式为y =kx +b (k ≠0) ，
3D (, 0) 2两点. ∵直线CE 过C (0, 2) ，
4⎧⎧⎪k =-⎪3b =24⎨3⎨k +b =0y
=-x +2⎪b =2⎪⎩3则⎩2 解得 ∴直线CE 的解析式为.
22