2012辽宁鞍山中考数学

2012年鞍山初中升学考试

数 学 试 卷

考试时间120分钟 试卷满分150分

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填

入下面的表格内，每小题3分，共24分）

1．（2012辽宁鞍山1，3分）6的相反数是（ ）

A． -6 B． 6 C．6 D．1 6

【答案】A

2．（2012辽宁鞍山2，3分）如图，下面是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这

个几何体的主视图是 （ ）

第2题图 A B C D

【答案】C

3．（2012辽宁鞍山3，3分）据分析，到2015年左右，我国纯电驱动的新能源汽车销量预计达到250000辆，250000用科学记数法表示为 （ ）

A． 2.510 B．2.510 C． 2.510 D． 2.510 6445

【答案】D

4．（2012辽宁鞍山4，3分）下列计算正确的是（ ）

33A．xxx B． xxx C． (xy)xy D． xxx 639326422

【答案】D

5．（2012辽宁鞍山5，3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）

A B C D

【答案】C

6．（2012辽宁鞍山6，3分）如图，点A在反比例函数y3(x0)的图象上，点

Bx

在反比例函数yk(x0)的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM∶MB=1∶2， x

则k的值为（ ）

A． 3 B． -6 C． 2 D． 6

第6题图 第7题图

【答案】B

7．（2012辽宁鞍山7，3分）如图，二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴交

于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（-1，0），下面的四个结论∶

2①OA=3 ②abc0 ③ac0 ④b4ac0；

其中正确的结论是（ ）

A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①②

【答案】A

8． （2012辽宁鞍山8，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，

DE⊥BC于点E，且E 是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1

个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则

下列能反映S与t的函数关系的图象是（ ）

第8题图 A B C D

【答案】B

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．（2012辽宁鞍山9，3

分）

10．（2012辽宁鞍山10，3分）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2=65°，则∠1

的度数是 ．

【答案】25°

11．（2012辽宁鞍山11，3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个

单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P则点P 1，1的坐标为【答案】(1，1)

12．（2012辽宁鞍山12，3分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆

锥的侧面展开图的面积是_________cm．

2

第10题图 第15题图 第16题图

【答案】24π

13．（2012辽宁鞍山13，3分）甲、乙、丙三个芭蕾舞团各有10名女演员，她们的平

222均身高都是165cm，其方差分别为S甲=1．5，S乙=2．5，S丙=0．8，则演员身高更整齐（填甲、乙、丙中一个）．

【答案】丙

14．（2012辽宁鞍山14，3分）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发

去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到

米/时，可列方程为 ． 【答案】1小时．设乙的速度为x千310101 x3x3

1，则∠D的度数是 ． 215．（2012辽宁鞍山15，3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=

【答案】30°

16．（2012辽宁鞍山16，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作

斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边

DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去……则第n个三角形的面积等

于 ．

4a2

三、解答题（17、18、19小题各8分，共24分）

1x24)217．（2012辽宁鞍山17，8分）先化简，再求值∶(1， 其中x1x4x4

1x=()1+1． 3

1x24)【答案】解∶ (1 x1x24x4

x2(x2)2

= ……………………2分 x1(x2)(x2)

x2 …………………………………………4分 x1

11 当x=()1=3+1=4 时 ……………6分 3

42原式==2 ………………………………8分 41 =

18．（2012辽宁鞍山18，8分）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、

DC、和BC上， DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连结FP，EP．

求证∶FP=EP

【答案】（方法一） 证明∶∵DG＝DC

∴∠DGC＝∠DCG ……………………2分

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DGC＝∠GCB

∴∠DCG＝∠GCB

∴∠FCP＝∠ECP ………………4分

∵CF＝CE，CP＝CP

∴△FCP≌△ECP ……………6分

∴FP＝EP ………………8分

图1 图2

（方法二）连结EF交GC于点M

∵DG＝DC

∴∠DGC＝∠DCG

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DGC＝∠FCG

∴∠DCG＝∠FCG ……………………4分

∵CF＝CE，CM＝CM

∴△FMC≌△EMC …………………6分

∴FM＝EM， ∠FMC＝∠EMC＝90°

∴GP为EF的垂直平分线 ……………7分

∴FP＝EP …………………………8分

19．（2012辽宁鞍山19，8分）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点

和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点

B除外）选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺规作图画

出点P的位置（要求∶不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹）．

【答案】

连结MN …………………………………………1分 画出MN的垂直平分线 ………………5分

画出点P （不标出点P给6分） …………………8分

20．（2012辽宁鞍山20，10分）如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的

点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C， AC⊥MN，

在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得 ∠ADC=30°，∠BDC=60°，求

这条河的宽度．

1．732，结果保留三个有效数字）．

【答案】解∶过点B作BE⊥MN于点E ∴AC＝BE

设AC的长为 x米，

在Rt△ACD中，CD＝ACx………2分 tanADCtan30

∴CD

………………………3分

在Rt△BDE中，ED＝BEx………5分 tanBDEtan60

∴

ED＝3x ………………6分 3

∵CE＝CD－ED＝AB

∴3x－x＝30 ………………………8分 3

∴x＝153≈26．0（米） 答∶这条河段宽约为26．0米 ……10分

21．（2012辽宁鞍山21，10分）现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为3． 5

（1）求乙盒中红球的个数；

（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列

表法求两次摸到不同颜色的球的概率．

【答案】解∶（1） 设乙盒中有红球x个，依据题意得

x＝3（x＋2） 5

解得 x＝3

答∶乙盒中有红球3个。 ……………………3分

（2）解法一∶画树形图如下∶

……7分

由树形图可知，所有可能出现的结果有15种，且每种结果出现的可能性相等，符合条件的结果有7种，∴P（两次摸到不同颜色的球）＝

7 ………10分 15

…………7分

由列表可知，所有可能出现的结果共有15种，且每种结果出现的可能性相等，符合条件的结果有7种，∴P（两次摸到不同颜色的球）＝7 ………………………10分 15

22．（2012辽宁鞍山22，10分）为增强环保意识，某社区计划开展一次“减碳环保，减少用车时间”的宣传活动，对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题∶

（1）本次抽样调查了多少个家庭？

（2）将图①中的条形图补充完整，直接写出用车时间的中位数落在哪个时间段内；

（3）求用车时间在1～1．5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该社区有车家庭有1600个，请你估计该社区用车时间不超过1．5小时的约

有多少个家庭？

第22题图① 第22题图②

【答案】解∶（1）30÷

（2）200×54＝200（个），本次调查了200个家庭 …………2分 360108＝60 360

200－90－30－60＝20

如图∶用车时间的中位数落在1-1．5小时时间段内 ……4分

画出图形 ………………6分

（3）90×360°＝162° 200

9060×1600＝1200（个）

200

用车时间在1-1．5小时的部分对应的扇形圆心角的度数为162° ……8分 （4）

该社区用车时间不超过1．5小时的约有1200个家庭． ………………10分

23．（2012辽宁鞍山23，10分）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连结AC、BC、OB，cos∠ACB=1，延长OE到点F，使EF=2OE．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证∶BF是⊙O的切线．

【答案】（1）证明∶∵CE是⊙O的直径， CE⊥AB

∴BD＝1

2AB＝1

24＝2 ，

∠BOD＝∠ACB ………1分

∵cos∠ACB＝1

3

在Rt△BOD中，cos∠BOD＝OD

OB＝1

3 ………2分

设OD＝x ，OB＝3x

∴OB2OD2BD2，9x2x24 …………3分

解得∶x2

12 ，x2

22（舍）………4分

3

∴OB＝ 3x ＝32 2

即⊙O半径为32 ………………5分 2第23题图

（2） 证明∶（方法一）

∵EF=2OE，OE=OB

∴OF＝3OB ∴OB1OD1ODOB∴= ∵ …………7分 OF3OB3OBOF

又∵∠BOD＝∠FOB

∴△BOD∽△FOB ……………………………8分

∴∠BDO＝∠FBO＝90°

∴OB⊥BF

∵OB为⊙O半径

∴BF为⊙O切线 ……………………………10分

（方法二）

∵ OD＝23292 ，OB＝OE＝， OF＝3OE ， ∴OF＝ 222

232

OD1OB1ODOB，，∴∴…7分 OBOFOB323OF923

22

又∵∠BOD＝∠FOB

∴△BOD∽△FOB ……………………………8分

∴∠BDO＝∠FBO＝90°

∴OB⊥BF

∵OB为⊙O半径

∴BF为⊙O切线 ……………………………10分

（方法三）证明△BOD∽△FBD给分标准参考方法（一）

六、解答题（本题12分）

24． （2012辽宁鞍山24，12分） 某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．

（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；

（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248

名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x 的函数关系式；求出所有的购买方案．

【答案】解∶（1）设两人学习桌每张x 元，三人学习桌每张y 元，

3xy220依题意得 ……………………………2分 2x3y310

解得∶x50 y70

答∶两人学习桌每张50元，三人学习桌每张70元。……4分

（2）解∶W=50x +70（98-x）= -20x+6860 ……………6分

50x70(98x)6000 ……………………………8分 2x3(98x)

解得43≤x≤46 …………………10分

∵x是整数∴x取43，44，45，46

∴98-x 取55，54，53，52

答∶该校共有四种购买方案∶

方案一∶两人桌43张，三人桌55张．

方案二∶两人桌44张，三人桌54张．

方案三∶两人桌45张，三人桌53张．

方案四∶两人桌46张，三人桌52张 ． ……12分

七、解答题（本题12分）

25． （2012辽宁鞍山25，12分） 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，

点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证∶△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG 、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

【答案】（1）证明∶

∵四边形ADEF为正方形

∴∠ADE=90°

∴∠ADE=∠AOG

∵AD=AO，AG=AG

∴Rt△AOG≌Rt△ADG …………2分

（2）PG=OG+BP ………………3分

由（1）Rt△AOG≌Rt△ADG知∠1=∠DAG，OG=DG

∵∠ADP=∠B=90°，AB=AD，AP=AP

∴Rt△ABP≌Rt△ADP， ∴∠BAP=∠DAP，BP=DP

∴DG+DP=OG+BP，

∴PG=OG+BP． ……………… 4分

∵∠BAO=90°

∴∠DAG+∠DAP=∠1+∠BAP

∴∠PAG=45°． ………………6分

(3)（方法一）延长PE交y轴于点M

∵∠1=∠2

∴∠AGO=∠PGC

∵Rt△AOG≌Rt△ADG

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC= 60° 第25题图

∴∠OGM=∠AGO=60° …………………8分

∵OG=OG， ∠AOG=∠MOG=90°

∴Rt△AOG≌Rt△MOG

∴OM=OA=3

∴OG=

∴M(0，-3) ， G(3，0) ………………10分

设直线PE的解析式为ykxb

kb0 ∴ b3

解得k3

b3

所以，直线PE的解析式为yx3． ……………12分

（方法二）∵ ∠1=∠2

∴∠AGO =∠PGC

∵Rt△AOG≌Rt△ADG

∴∠AGO =∠AGD=∠PGC

∴∠PGC=60°∠1=∠2 = 30° ………………8分

在Rt△AOG中，OA=3

∴OG=

∴G(，0)

∴GC=3-

在Rt△GPC中，PC=33-3

∴P(3，

3) ……………………………10分

设直线PE的解析式为ykxb

3kb0 ∴ 3kb333

解得k

b3

所以直线PE的解析式为yx3． ………………12分

八、解答题（本题14分）

26． （2012辽宁鞍山26，14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y 轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM＝6，连结DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、

D、B三点的抛物线于点E，连结CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第26题图 备用图

【答案】解∶（1）直线AB的解析式为∶y＝﹣x＋4 …………2分

（2）（方法一）过点D作DN⊥y轴于点N∴∠DNA＝90°

∵OA＝OB

∴∠OAB＝45°

∵∠DAC＝90°

∴∠DAN＝∠ADN＝45°

∴AN=DN …………3分

∵AN＝NO－AO＝6-4＝2

∴DN＝2

∴D(2，6) …………………5分

（方法二）设点M坐标（a，0）

当x＝a时，y＝﹣a＋4

∴ MC＝﹣A＋4

DC＝DM－CM＝6－(﹣a＋4) ＝2＋a

作AG⊥DC于点G

∵OA＝OB

∴∠OAB＝45°

∵DC∥OA

∴∠ACD＝45°

∵∠DAC＝90°

∴△ACD为等腰直角三角形． ……………… 3分 ∴AG＝

∴a＝1DC 21（2+a） 2

∴a＝2

∴D（2，6） …………………………5分

图(1) 图(2)

（3）设过O、D、B三点的抛物线解析式为y= ax2＋bx＋c

4a2bc6得16a4bc0 ………………6分 c0

解得a

∴y3，b=6，c=0 232x6x …………………………8分 2

设点P的坐标为（m，0）

∴PB＝PF＝4m，MPm2

把xm代入 y

∴EF＝323x6x得E（m，m26m） 2232m7m4 2

如果△BPF与△ECF相似， ∵∠CFE＝∠BFP＝45°

① 如图⑴ 当∠ECF＝90°时，△CEF为等腰直角三角形．

1132EF ∴（m7m4）＝m2 222

1010解得∶m10，m2 ∵2＜m＜4 ∴点P（，0） ………11分 33作CH⊥EF于点H，则CH＝

② 如图⑵ 当∠FEC＝90°时，∵∠CFE＝∠BFP＝45°

∴∠ECF=∠EFC=45°，∴EF＝CE ∴32m7m4＝m2 2

解得∶m626626 ∵2＜m＜4 ∴点P（，０） ……14分 33

10626，0）或P2（，0），使△BPF与△FCE相似． 33所以存在点P1（

2012年鞍山初中升学考试

数 学 试 卷

考试时间120分钟 试卷满分150分

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填

入下面的表格内，每小题3分，共24分）

1．（2012辽宁鞍山1，3分）6的相反数是（ ）

A． -6 B． 6 C．6 D．1 6

【答案】A

2．（2012辽宁鞍山2，3分）如图，下面是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这

个几何体的主视图是 （ ）

第2题图 A B C D

【答案】C

3．（2012辽宁鞍山3，3分）据分析，到2015年左右，我国纯电驱动的新能源汽车销量预计达到250000辆，250000用科学记数法表示为 （ ）

A． 2.510 B．2.510 C． 2.510 D． 2.510 6445

【答案】D

4．（2012辽宁鞍山4，3分）下列计算正确的是（ ）

33A．xxx B． xxx C． (xy)xy D． xxx 639326422

【答案】D

5．（2012辽宁鞍山5，3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）

A B C D

【答案】C

6．（2012辽宁鞍山6，3分）如图，点A在反比例函数y3(x0)的图象上，点

Bx

在反比例函数yk(x0)的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM∶MB=1∶2， x

则k的值为（ ）

A． 3 B． -6 C． 2 D． 6

第6题图 第7题图

【答案】B

7．（2012辽宁鞍山7，3分）如图，二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴交

于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（-1，0），下面的四个结论∶

2①OA=3 ②abc0 ③ac0 ④b4ac0；

其中正确的结论是（ ）

A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①②

【答案】A

8． （2012辽宁鞍山8，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，

DE⊥BC于点E，且E 是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1

个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则

下列能反映S与t的函数关系的图象是（ ）

第8题图 A B C D

【答案】B

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．（2012辽宁鞍山9，3

分）

10．（2012辽宁鞍山10，3分）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2=65°，则∠1

的度数是 ．

【答案】25°

11．（2012辽宁鞍山11，3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个

单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P则点P 1，1的坐标为【答案】(1，1)

12．（2012辽宁鞍山12，3分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆

锥的侧面展开图的面积是_________cm．

2

第10题图 第15题图 第16题图

【答案】24π

13．（2012辽宁鞍山13，3分）甲、乙、丙三个芭蕾舞团各有10名女演员，她们的平

222均身高都是165cm，其方差分别为S甲=1．5，S乙=2．5，S丙=0．8，则演员身高更整齐（填甲、乙、丙中一个）．

【答案】丙

14．（2012辽宁鞍山14，3分）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发

去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到

米/时，可列方程为 ． 【答案】1小时．设乙的速度为x千310101 x3x3

1，则∠D的度数是 ． 215．（2012辽宁鞍山15，3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=

【答案】30°

16．（2012辽宁鞍山16，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作

斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边

DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去……则第n个三角形的面积等

于 ．

4a2

三、解答题（17、18、19小题各8分，共24分）

1x24)217．（2012辽宁鞍山17，8分）先化简，再求值∶(1， 其中x1x4x4

1x=()1+1． 3

1x24)【答案】解∶ (1 x1x24x4

x2(x2)2

= ……………………2分 x1(x2)(x2)

x2 …………………………………………4分 x1

11 当x=()1=3+1=4 时 ……………6分 3

42原式==2 ………………………………8分 41 =

18．（2012辽宁鞍山18，8分）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、

DC、和BC上， DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连结FP，EP．

求证∶FP=EP

【答案】（方法一） 证明∶∵DG＝DC

∴∠DGC＝∠DCG ……………………2分

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DGC＝∠GCB

∴∠DCG＝∠GCB

∴∠FCP＝∠ECP ………………4分

∵CF＝CE，CP＝CP

∴△FCP≌△ECP ……………6分

∴FP＝EP ………………8分

图1 图2

（方法二）连结EF交GC于点M

∵DG＝DC

∴∠DGC＝∠DCG

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DGC＝∠FCG

∴∠DCG＝∠FCG ……………………4分

∵CF＝CE，CM＝CM

∴△FMC≌△EMC …………………6分

∴FM＝EM， ∠FMC＝∠EMC＝90°

∴GP为EF的垂直平分线 ……………7分

∴FP＝EP …………………………8分

19．（2012辽宁鞍山19，8分）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点

和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点

B除外）选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺规作图画

出点P的位置（要求∶不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹）．

【答案】

连结MN …………………………………………1分 画出MN的垂直平分线 ………………5分

画出点P （不标出点P给6分） …………………8分

20．（2012辽宁鞍山20，10分）如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的

点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C， AC⊥MN，

在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得 ∠ADC=30°，∠BDC=60°，求

这条河的宽度．

1．732，结果保留三个有效数字）．

【答案】解∶过点B作BE⊥MN于点E ∴AC＝BE

设AC的长为 x米，

在Rt△ACD中，CD＝ACx………2分 tanADCtan30

∴CD

………………………3分

在Rt△BDE中，ED＝BEx………5分 tanBDEtan60

∴

ED＝3x ………………6分 3

∵CE＝CD－ED＝AB

∴3x－x＝30 ………………………8分 3

∴x＝153≈26．0（米） 答∶这条河段宽约为26．0米 ……10分

21．（2012辽宁鞍山21，10分）现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为3． 5

（1）求乙盒中红球的个数；

（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列

表法求两次摸到不同颜色的球的概率．

【答案】解∶（1） 设乙盒中有红球x个，依据题意得

x＝3（x＋2） 5

解得 x＝3

答∶乙盒中有红球3个。 ……………………3分

（2）解法一∶画树形图如下∶

……7分

由树形图可知，所有可能出现的结果有15种，且每种结果出现的可能性相等，符合条件的结果有7种，∴P（两次摸到不同颜色的球）＝

7 ………10分 15

…………7分

由列表可知，所有可能出现的结果共有15种，且每种结果出现的可能性相等，符合条件的结果有7种，∴P（两次摸到不同颜色的球）＝7 ………………………10分 15

22．（2012辽宁鞍山22，10分）为增强环保意识，某社区计划开展一次“减碳环保，减少用车时间”的宣传活动，对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题∶

（1）本次抽样调查了多少个家庭？

（2）将图①中的条形图补充完整，直接写出用车时间的中位数落在哪个时间段内；

（3）求用车时间在1～1．5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该社区有车家庭有1600个，请你估计该社区用车时间不超过1．5小时的约

有多少个家庭？

第22题图① 第22题图②

【答案】解∶（1）30÷

（2）200×54＝200（个），本次调查了200个家庭 …………2分 360108＝60 360

200－90－30－60＝20

如图∶用车时间的中位数落在1-1．5小时时间段内 ……4分

画出图形 ………………6分

（3）90×360°＝162° 200

9060×1600＝1200（个）

200

用车时间在1-1．5小时的部分对应的扇形圆心角的度数为162° ……8分 （4）

该社区用车时间不超过1．5小时的约有1200个家庭． ………………10分

23．（2012辽宁鞍山23，10分）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连结AC、BC、OB，cos∠ACB=1，延长OE到点F，使EF=2OE．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证∶BF是⊙O的切线．

【答案】（1）证明∶∵CE是⊙O的直径， CE⊥AB

∴BD＝1

2AB＝1

24＝2 ，

∠BOD＝∠ACB ………1分

∵cos∠ACB＝1

3

在Rt△BOD中，cos∠BOD＝OD

OB＝1

3 ………2分

设OD＝x ，OB＝3x

∴OB2OD2BD2，9x2x24 …………3分

解得∶x2

12 ，x2

22（舍）………4分

3

∴OB＝ 3x ＝32 2

即⊙O半径为32 ………………5分 2第23题图

（2） 证明∶（方法一）

∵EF=2OE，OE=OB

∴OF＝3OB ∴OB1OD1ODOB∴= ∵ …………7分 OF3OB3OBOF

又∵∠BOD＝∠FOB

∴△BOD∽△FOB ……………………………8分

∴∠BDO＝∠FBO＝90°

∴OB⊥BF

∵OB为⊙O半径

∴BF为⊙O切线 ……………………………10分

（方法二）

∵ OD＝23292 ，OB＝OE＝， OF＝3OE ， ∴OF＝ 222

232

OD1OB1ODOB，，∴∴…7分 OBOFOB323OF923

22

又∵∠BOD＝∠FOB

∴△BOD∽△FOB ……………………………8分

∴∠BDO＝∠FBO＝90°

∴OB⊥BF

∵OB为⊙O半径

∴BF为⊙O切线 ……………………………10分

（方法三）证明△BOD∽△FBD给分标准参考方法（一）

六、解答题（本题12分）

24． （2012辽宁鞍山24，12分） 某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．

（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；

（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248

名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x 的函数关系式；求出所有的购买方案．

【答案】解∶（1）设两人学习桌每张x 元，三人学习桌每张y 元，

3xy220依题意得 ……………………………2分 2x3y310

解得∶x50 y70

答∶两人学习桌每张50元，三人学习桌每张70元。……4分

（2）解∶W=50x +70（98-x）= -20x+6860 ……………6分

50x70(98x)6000 ……………………………8分 2x3(98x)

解得43≤x≤46 …………………10分

∵x是整数∴x取43，44，45，46

∴98-x 取55，54，53，52

答∶该校共有四种购买方案∶

方案一∶两人桌43张，三人桌55张．

方案二∶两人桌44张，三人桌54张．

方案三∶两人桌45张，三人桌53张．

方案四∶两人桌46张，三人桌52张 ． ……12分

七、解答题（本题12分）

25． （2012辽宁鞍山25，12分） 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，

点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证∶△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG 、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

【答案】（1）证明∶

∵四边形ADEF为正方形

∴∠ADE=90°

∴∠ADE=∠AOG

∵AD=AO，AG=AG

∴Rt△AOG≌Rt△ADG …………2分

（2）PG=OG+BP ………………3分

由（1）Rt△AOG≌Rt△ADG知∠1=∠DAG，OG=DG

∵∠ADP=∠B=90°，AB=AD，AP=AP

∴Rt△ABP≌Rt△ADP， ∴∠BAP=∠DAP，BP=DP

∴DG+DP=OG+BP，

∴PG=OG+BP． ……………… 4分

∵∠BAO=90°

∴∠DAG+∠DAP=∠1+∠BAP

∴∠PAG=45°． ………………6分

(3)（方法一）延长PE交y轴于点M

∵∠1=∠2

∴∠AGO=∠PGC

∵Rt△AOG≌Rt△ADG

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC= 60° 第25题图

∴∠OGM=∠AGO=60° …………………8分

∵OG=OG， ∠AOG=∠MOG=90°

∴Rt△AOG≌Rt△MOG

∴OM=OA=3

∴OG=

∴M(0，-3) ， G(3，0) ………………10分

设直线PE的解析式为ykxb

kb0 ∴ b3

解得k3

b3

所以，直线PE的解析式为yx3． ……………12分

（方法二）∵ ∠1=∠2

∴∠AGO =∠PGC

∵Rt△AOG≌Rt△ADG

∴∠AGO =∠AGD=∠PGC

∴∠PGC=60°∠1=∠2 = 30° ………………8分

在Rt△AOG中，OA=3

∴OG=

∴G(，0)

∴GC=3-

在Rt△GPC中，PC=33-3

∴P(3，

3) ……………………………10分

设直线PE的解析式为ykxb

3kb0 ∴ 3kb333

解得k

b3

所以直线PE的解析式为yx3． ………………12分

八、解答题（本题14分）

26． （2012辽宁鞍山26，14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y 轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM＝6，连结DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、

D、B三点的抛物线于点E，连结CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第26题图 备用图

【答案】解∶（1）直线AB的解析式为∶y＝﹣x＋4 …………2分

（2）（方法一）过点D作DN⊥y轴于点N∴∠DNA＝90°

∵OA＝OB

∴∠OAB＝45°

∵∠DAC＝90°

∴∠DAN＝∠ADN＝45°

∴AN=DN …………3分

∵AN＝NO－AO＝6-4＝2

∴DN＝2

∴D(2，6) …………………5分

（方法二）设点M坐标（a，0）

当x＝a时，y＝﹣a＋4

∴ MC＝﹣A＋4

DC＝DM－CM＝6－(﹣a＋4) ＝2＋a

作AG⊥DC于点G

∵OA＝OB

∴∠OAB＝45°

∵DC∥OA

∴∠ACD＝45°

∵∠DAC＝90°

∴△ACD为等腰直角三角形． ……………… 3分 ∴AG＝

∴a＝1DC 21（2+a） 2

∴a＝2

∴D（2，6） …………………………5分

图(1) 图(2)

（3）设过O、D、B三点的抛物线解析式为y= ax2＋bx＋c

4a2bc6得16a4bc0 ………………6分 c0

解得a

∴y3，b=6，c=0 232x6x …………………………8分 2

设点P的坐标为（m，0）

∴PB＝PF＝4m，MPm2

把xm代入 y

∴EF＝323x6x得E（m，m26m） 2232m7m4 2

如果△BPF与△ECF相似， ∵∠CFE＝∠BFP＝45°

① 如图⑴ 当∠ECF＝90°时，△CEF为等腰直角三角形．

1132EF ∴（m7m4）＝m2 222

1010解得∶m10，m2 ∵2＜m＜4 ∴点P（，0） ………11分 33作CH⊥EF于点H，则CH＝

② 如图⑵ 当∠FEC＝90°时，∵∠CFE＝∠BFP＝45°

∴∠ECF=∠EFC=45°，∴EF＝CE ∴32m7m4＝m2 2

解得∶m626626 ∵2＜m＜4 ∴点P（，０） ……14分 33

10626，0）或P2（，0），使△BPF与△FCE相似． 33所以存在点P1（