轴对称在几何最值问题中的应用： 一：两点与一条直线： 1、两点在直线异侧： 问题1 ：
如图，“西气东输”是造福子孙后代的创世工程. 要在燃气管道l 上修建一个泵站, 分别向A ，B 两城镇供气. 泵站修在什么地方, 可使所用的输气管线最短? 实际问题数学化：
已知：如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，
使P A+PB最小（即P A 与PB 的和最小）. A
问题的求解
要使P A +PB 最小，在连接AB 的线中，线段AB 最短. 解：连结AB ，交直线l 于点P ，点P 为所求.
思考：1、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ， 使P A-PB 的绝对值最小（即P A 与PB 的差的绝对值最小）
（线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点P 为所求，P A=PB，PA -PB =0最小）
2、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，使P A-PB 的绝对值最大（即P A 与PB 的差的绝对值最大） （点B 关于直线l 的对称点B ，直线AB 交直线l 于点P 为所求，
'
'
B
l
A
l
AP -BP =AP -B 'P =AB '最大）
3、游戏规则如下：如图，在操场上有两定点A 、B 和一条
直线l ，每组两名同学一人在点A ，一人在点B ，（Ａ、B 距直线l 的距离不等），两人在线l 上找一点P ，分别沿直 线运动到该点，通过测算，两人距离之差绝对值越大，该 小组就胜利，如果你是小组组长，怎样找这样一点保证一 定胜利？
将问题数学化:
已知：如图，点A 、点B 在直线l 的异侧（点A 、点B 距直线l 距离不等），在l 上找点
P 使|P A -PB |最大.
4、如果A 、B 两城镇在河流的异侧，架一座桥（垂直于河岸） 连通两岸，选择一个架桥点使从A 城镇到B 城镇距离最短， 架桥点选在何处呢？
2、两点在直线的同侧：
已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，点A ′与A 关于直线l 对称，连接A ′B 交l 于P 点，设A ′B=a （1）求AP+BP；
（2）若点M 是直线l 上异于P 点的任意一点，求证：AM+BM>ＡＰ＋ＢＰ
问题2 （教材42页探究）
如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B
两城镇供气. 泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
实际问题数学化
A 已知： 如图，点A 、B 在直线l 的同侧. 在l 上找点P ，
使P A+PB最小.
问题的求解
点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 交直线l 于点P
如果P 1是异于点P 的一点，你能证明AP 1+BP 1> AP +BP 吗？
证明：连接B 1P
1
. 由轴对称性质，
BP 1=B 1P 1，BP =B 1P . 所以 AP 1+BP 1=AP 1+ B1P 1， AP +BP =AP+ B1P =AB 1， 在△AP 1B 1中，AP 1+B 1P 1>AB 1， 即 AP 1+BP 1 > AP+BP .
'
'
B
l
1
1
所以P A+PB最小
思考：1、已知：如图，直线 和点A ，B ，试在直线 上
找一点P ，使△PAB 的周长最小，并说明理由。
2、如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找点P ，使PA -PB 最小（即P A 与PB
的差的绝对值最小）
（线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点P 即为所求，P A=PB，PA -PB =0最小）
3、如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找点P ，使PA -PB 最大（即P A 与PB
的差的绝对值最大）
（连接A 、B ，线段AB 的延长线交直线l 于点P 即为所求，AP -BP =AB 最大）
4、、已知：如图，直线 和点A ，B ，在直线 上找两点M ，N ，且MN=5，
点M 在N 的左边，使四边形ABNM 的周长最小。
二：一点与两条直线：
问题3 如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P ，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？
实际问题数学化
如图，P 为∠MON 内一定点，分别在OM 与ON 上找 点A 、B ，使△ABP 的周长最小.
问题求解
解：作点P 关于OM 、ON 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2 ， P 1P 2与OM 、ON 分别交于A 、B ，点A 、B 即为所求.
思考：已知：如图， ∠MON=90°, ∠MON 内有 一定点P ，在OM 、ON 上各找出一点A 、B 使 △PAB 的周长最小.
三：两点与两条直线
问题4 （教材47页9题）
如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷， 请你帮他确定这一天所走的最短路线.
1. 实际问题数学化
如图，已知∠MON 内有两定点A 、B ，分别在OM 和ON 上各点C 、D ，使AC +CD +BD 最小.
2. 问题的求解
解：作点A 关于OM 的对称点A 1，作点B 关于ON 的对称点B 1，连接A 1B 1， A 1B 1与OM 、ON 分别交于点C 、D ， 则此时AC +CD +BD 最小.
补充练习：
1. 已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图. (1)在直线l 上求一点P ，使PA=PB； (2)在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB. (3)在直线l 上求一点R, 使|RA RB |最大.
A
l
B
2。 在旷野上，一个人骑马从A 到B ，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图所示）. 他
应该怎样选择饮水点P ，可使使所走的路程P A +PB 最短?
A
B
l
3。 如图，公园中有两处古迹P 和Q ，现计划在两条小河上
各修建一座小桥，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最低？
4。 如图，现有一条地铁线路l ，小区A 、B 在l 的同侧，已知地铁站两入口C 、D 间的长度为a 米，现设计两条路AC 、BD 连接入口和两小区. 地铁站入口C 、D 设计在何处，能使所修建的公路AC 与BD 之和最短？
轴对称在坐标系中的应用：
1．如图，在直角坐标系中，ｘ轴上一动点Ｍ（ｘ，０）到两定点Ａ（５，５），Ｂ（２，１）的距离之和取最小值时，求点Ｍ的坐标。
2．直角坐标系中，Ａ（3，2）、Ｂ（1，1），在ｘ轴上找一点P ，使PA -最大， １）求Ｐ点坐标。
２）若点Ｂ坐标改为（２，－１），其他条件不变，求Ｐ点坐标。
3．已知A （-1，2）和B （-3，-1）．试在y 轴上确定一点P ，使其到A 、B 的距离和最小，求P 点的坐标．
4．如图，一束光线从点A （0,1）出发，经ｘ轴上点P 反射后，经过点B （3，3），求点Ｐ的坐标，直线BP 与ＡＰ的解析式；
5、牧马人某一天要从马厩牵出马, 先到一条东西走向的河边饮马, 再到一块南北走向的草地边的某一处牧马, 然后回到帐篷, 若以河流的方向为x 轴, 草地的走向为y 轴, 已知马厩A 的坐标为(3百米,1百), 帐篷B 在马厩的西北方向上, 离草地距离为1百米. (1)画出直角坐标系, 标出A 、B 点, 并求出帐篷B 的坐标; (2)请你帮它确定这一天的最短路线, 并求出这时牧马和
饮马的位置(用坐标表示).
综合运用：
的最小值
1. 已知: 等腰直角△ABC 的直角边长为3,D 是斜边AB 的中点,P 是AC 边上一动点, 求PB+PD
2. △ABC 中,AB=2,∠BAC=30◦, 若在AC,AB 上各取一点M,N 使BM+MN的值最小, 求最小值.
(
1)
3. 在边长为2的正方形ABCD 中, 点Q 为BC 边中点, 点P 为对角线AC 上一动点, 连接PB, △PBQ 的周长的最小值时, 求PQ 的长..
4. 正方形ABCD 的面积为12, △ABE 是等边三角形,E 点在正方形内, 对角线AC 上有一点P 求PD+PE的最小值。
5。在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，BE=2，CE=1，点P 在ＢＤ上，求ＰＥ＋ＰＣ的最小值。
6。正方形ABCD 中，AB=8，M 是DC 上一点，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN的最大值与最小值。
7。直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD取最小值时，求△APD 中AP 边上的高。
8。如图，⊙Ｏ半径为５，ＭＮ为直径，弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝６，ＡＢ⊥ＭＮ于Ｅ， ＣＤ⊥ＭＮ于Ｆ，点Ｐ为ＥＦ上任一点，求ＰＡ＋ＰＣ的最小值。
9。ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝４，点Ｃ是半圆的三等分点，点Ｄ是弧ＢＣ的中点，ＡＢ上有一动点Ｐ，连接ＰＣ，PD ，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P 的位置。
10。抛物线y =ax +c 经过A （0，1），B （2，-3）
1）求解析式，并判断C （1，0）是否在抛物线上；
2）M 是抛物线对称轴上一动点，连接MB ，MC ，求△MBC 变周长的最小值。
11。的五笔抛物线y =x +bx 经过A （4，0），设点C （1，-3），在抛物线的对称轴上确定一点D ，使AD -CD 的值最大，求点D 的坐标。
2
2
用轴对称研究最值问题－－探究光的反射现象
1．光的反射定律：入射光线、反射光线和平面在反射点的法线三线共面，而且入射光线、反射光线与法线之间的夹角相等．
2．光的反射现象中存在最短路径问题，它在本质上就是轴对称变换的客观反映，正好可以借助轴对称变换给予合理的解释．
3． 从光的反射现象中存在的最短路径出发讨论轴对称变换的运用，为学生提供了一个实际模型，可以帮助学生更好地认识教材中的“问题探究”，也可以把不同学科之间的知识很好地结合起来
练习：
1
1．右图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中
四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔. 如果一个球 按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么 该球最后将落入的球袋是（ ） 4（A ）1 号袋 （B ）2 号袋 （C ）3 号袋 （D ）4 号袋
2．你见过打台球吗？某同学打台球时想通过打击主球M A ，经过桌边MN 反弹回撞击彩球B ，请画出主球A 击A
打在桌边MN 何处才能达到目标？
3．如图, 某同学打台球想将白球绕过黑球击打红球, 其中白球通过撞击桌边MN 后反弹后击中红球, 请在图中标明, 白球撞在MN 上哪一个点, 才能达到目的？
4. （2010北京）22．阅读下列材料：
N
B
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，AB =6cm ． 现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与 这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿与BC 边夹角 为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点 第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合 ．．．．．时所经过的路径的总长是多少． ．
小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将
矩形A B C D 沿直线CD 折叠，得到矩形 A 1B 1CD ．由轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E ，P . 1A =PE 1
图
1
请你参考小贝的思路解决下列问题：
图2
（1）P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点．．．
重合时所经过的路径的总长是 cm ； ．．．
（2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB ．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位
置在矩形ABCD 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则 ．．．
AB :AD 的值为
轴对称在几何最值问题中的应用： 一：两点与一条直线： 1、两点在直线异侧： 问题1 ：
如图，“西气东输”是造福子孙后代的创世工程. 要在燃气管道l 上修建一个泵站, 分别向A ，B 两城镇供气. 泵站修在什么地方, 可使所用的输气管线最短? 实际问题数学化：
已知：如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，
使P A+PB最小（即P A 与PB 的和最小）. A
问题的求解
要使P A +PB 最小，在连接AB 的线中，线段AB 最短. 解：连结AB ，交直线l 于点P ，点P 为所求.
思考：1、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ， 使P A-PB 的绝对值最小（即P A 与PB 的差的绝对值最小）
（线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点P 为所求，P A=PB，PA -PB =0最小）
2、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，使P A-PB 的绝对值最大（即P A 与PB 的差的绝对值最大） （点B 关于直线l 的对称点B ，直线AB 交直线l 于点P 为所求，
'
'
B
l
A
l
AP -BP =AP -B 'P =AB '最大）
3、游戏规则如下：如图，在操场上有两定点A 、B 和一条
直线l ，每组两名同学一人在点A ，一人在点B ，（Ａ、B 距直线l 的距离不等），两人在线l 上找一点P ，分别沿直 线运动到该点，通过测算，两人距离之差绝对值越大，该 小组就胜利，如果你是小组组长，怎样找这样一点保证一 定胜利？
将问题数学化:
已知：如图，点A 、点B 在直线l 的异侧（点A 、点B 距直线l 距离不等），在l 上找点
P 使|P A -PB |最大.
4、如果A 、B 两城镇在河流的异侧，架一座桥（垂直于河岸） 连通两岸，选择一个架桥点使从A 城镇到B 城镇距离最短， 架桥点选在何处呢？
2、两点在直线的同侧：
已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，点A ′与A 关于直线l 对称，连接A ′B 交l 于P 点，设A ′B=a （1）求AP+BP；
（2）若点M 是直线l 上异于P 点的任意一点，求证：AM+BM>ＡＰ＋ＢＰ
问题2 （教材42页探究）
如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B
两城镇供气. 泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
实际问题数学化
A 已知： 如图，点A 、B 在直线l 的同侧. 在l 上找点P ，
使P A+PB最小.
问题的求解
点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 交直线l 于点P
如果P 1是异于点P 的一点，你能证明AP 1+BP 1> AP +BP 吗？
证明：连接B 1P
1
. 由轴对称性质，
BP 1=B 1P 1，BP =B 1P . 所以 AP 1+BP 1=AP 1+ B1P 1， AP +BP =AP+ B1P =AB 1， 在△AP 1B 1中，AP 1+B 1P 1>AB 1， 即 AP 1+BP 1 > AP+BP .
'
'
B
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1
1
所以P A+PB最小
思考：1、已知：如图，直线 和点A ，B ，试在直线 上
找一点P ，使△PAB 的周长最小，并说明理由。
2、如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找点P ，使PA -PB 最小（即P A 与PB
的差的绝对值最小）
（线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点P 即为所求，P A=PB，PA -PB =0最小）
3、如图，点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找点P ，使PA -PB 最大（即P A 与PB
的差的绝对值最大）
（连接A 、B ，线段AB 的延长线交直线l 于点P 即为所求，AP -BP =AB 最大）
4、、已知：如图，直线 和点A ，B ，在直线 上找两点M ，N ，且MN=5，
点M 在N 的左边，使四边形ABNM 的周长最小。
二：一点与两条直线：
问题3 如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P ，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？
实际问题数学化
如图，P 为∠MON 内一定点，分别在OM 与ON 上找 点A 、B ，使△ABP 的周长最小.
问题求解
解：作点P 关于OM 、ON 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2 ， P 1P 2与OM 、ON 分别交于A 、B ，点A 、B 即为所求.
思考：已知：如图， ∠MON=90°, ∠MON 内有 一定点P ，在OM 、ON 上各找出一点A 、B 使 △PAB 的周长最小.
三：两点与两条直线
问题4 （教材47页9题）
如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷， 请你帮他确定这一天所走的最短路线.
1. 实际问题数学化
如图，已知∠MON 内有两定点A 、B ，分别在OM 和ON 上各点C 、D ，使AC +CD +BD 最小.
2. 问题的求解
解：作点A 关于OM 的对称点A 1，作点B 关于ON 的对称点B 1，连接A 1B 1， A 1B 1与OM 、ON 分别交于点C 、D ， 则此时AC +CD +BD 最小.
补充练习：
1. 已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图. (1)在直线l 上求一点P ，使PA=PB； (2)在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB. (3)在直线l 上求一点R, 使|RA RB |最大.
A
l
B
2。 在旷野上，一个人骑马从A 到B ，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图所示）. 他
应该怎样选择饮水点P ，可使使所走的路程P A +PB 最短?
A
B
l
3。 如图，公园中有两处古迹P 和Q ，现计划在两条小河上
各修建一座小桥，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最低？
4。 如图，现有一条地铁线路l ，小区A 、B 在l 的同侧，已知地铁站两入口C 、D 间的长度为a 米，现设计两条路AC 、BD 连接入口和两小区. 地铁站入口C 、D 设计在何处，能使所修建的公路AC 与BD 之和最短？
轴对称在坐标系中的应用：
1．如图，在直角坐标系中，ｘ轴上一动点Ｍ（ｘ，０）到两定点Ａ（５，５），Ｂ（２，１）的距离之和取最小值时，求点Ｍ的坐标。
2．直角坐标系中，Ａ（3，2）、Ｂ（1，1），在ｘ轴上找一点P ，使PA -最大， １）求Ｐ点坐标。
２）若点Ｂ坐标改为（２，－１），其他条件不变，求Ｐ点坐标。
3．已知A （-1，2）和B （-3，-1）．试在y 轴上确定一点P ，使其到A 、B 的距离和最小，求P 点的坐标．
4．如图，一束光线从点A （0,1）出发，经ｘ轴上点P 反射后，经过点B （3，3），求点Ｐ的坐标，直线BP 与ＡＰ的解析式；
5、牧马人某一天要从马厩牵出马, 先到一条东西走向的河边饮马, 再到一块南北走向的草地边的某一处牧马, 然后回到帐篷, 若以河流的方向为x 轴, 草地的走向为y 轴, 已知马厩A 的坐标为(3百米,1百), 帐篷B 在马厩的西北方向上, 离草地距离为1百米. (1)画出直角坐标系, 标出A 、B 点, 并求出帐篷B 的坐标; (2)请你帮它确定这一天的最短路线, 并求出这时牧马和
饮马的位置(用坐标表示).
综合运用：
的最小值
1. 已知: 等腰直角△ABC 的直角边长为3,D 是斜边AB 的中点,P 是AC 边上一动点, 求PB+PD
2. △ABC 中,AB=2,∠BAC=30◦, 若在AC,AB 上各取一点M,N 使BM+MN的值最小, 求最小值.
(
1)
3. 在边长为2的正方形ABCD 中, 点Q 为BC 边中点, 点P 为对角线AC 上一动点, 连接PB, △PBQ 的周长的最小值时, 求PQ 的长..
4. 正方形ABCD 的面积为12, △ABE 是等边三角形,E 点在正方形内, 对角线AC 上有一点P 求PD+PE的最小值。
5。在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，BE=2，CE=1，点P 在ＢＤ上，求ＰＥ＋ＰＣ的最小值。
6。正方形ABCD 中，AB=8，M 是DC 上一点，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN的最大值与最小值。
7。直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD取最小值时，求△APD 中AP 边上的高。
8。如图，⊙Ｏ半径为５，ＭＮ为直径，弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝６，ＡＢ⊥ＭＮ于Ｅ， ＣＤ⊥ＭＮ于Ｆ，点Ｐ为ＥＦ上任一点，求ＰＡ＋ＰＣ的最小值。
9。ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝４，点Ｃ是半圆的三等分点，点Ｄ是弧ＢＣ的中点，ＡＢ上有一动点Ｐ，连接ＰＣ，PD ，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P 的位置。
10。抛物线y =ax +c 经过A （0，1），B （2，-3）
1）求解析式，并判断C （1，0）是否在抛物线上；
2）M 是抛物线对称轴上一动点，连接MB ，MC ，求△MBC 变周长的最小值。
11。的五笔抛物线y =x +bx 经过A （4，0），设点C （1，-3），在抛物线的对称轴上确定一点D ，使AD -CD 的值最大，求点D 的坐标。
2
2
用轴对称研究最值问题－－探究光的反射现象
1．光的反射定律：入射光线、反射光线和平面在反射点的法线三线共面，而且入射光线、反射光线与法线之间的夹角相等．
2．光的反射现象中存在最短路径问题，它在本质上就是轴对称变换的客观反映，正好可以借助轴对称变换给予合理的解释．
3． 从光的反射现象中存在的最短路径出发讨论轴对称变换的运用，为学生提供了一个实际模型，可以帮助学生更好地认识教材中的“问题探究”，也可以把不同学科之间的知识很好地结合起来
练习：
1
1．右图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中
四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔. 如果一个球 按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么 该球最后将落入的球袋是（ ） 4（A ）1 号袋 （B ）2 号袋 （C ）3 号袋 （D ）4 号袋
2．你见过打台球吗？某同学打台球时想通过打击主球M A ，经过桌边MN 反弹回撞击彩球B ，请画出主球A 击A
打在桌边MN 何处才能达到目标？
3．如图, 某同学打台球想将白球绕过黑球击打红球, 其中白球通过撞击桌边MN 后反弹后击中红球, 请在图中标明, 白球撞在MN 上哪一个点, 才能达到目的？
4. （2010北京）22．阅读下列材料：
N
B
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，AB =6cm ． 现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与 这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿与BC 边夹角 为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点 第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合 ．．．．．时所经过的路径的总长是多少． ．
小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将
矩形A B C D 沿直线CD 折叠，得到矩形 A 1B 1CD ．由轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E ，P . 1A =PE 1
图
1
请你参考小贝的思路解决下列问题：
图2
（1）P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点．．．
重合时所经过的路径的总长是 cm ； ．．．
（2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB ．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位
置在矩形ABCD 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则 ．．．
AB :AD 的值为