伴随矩阵的性质及运用11

伴随矩阵的性质及运用

邓文斌 09 数计（2）班 电话：[1**********]

摘 要 伴随矩阵是矩阵的重要概念， 有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算 公式从而解决方阵求逆的问题。 同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴 随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。 关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点 .给出了伴随矩阵的秩、伴随矩 阵的转置、 伴随矩阵的特征值、 几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质 的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 引 言

1. 伴随矩阵的定义

 a11 a 21 =  ...   an1 ... a12 a22 ... an 2 ... a1n  ... a2 n   中元素 a 的代数余子式，矩阵 ij ... ...   ... ann 

设 Aij 是 矩 阵 A

 A11 A 12 * A =   ...   A1n

A21 A22 ... A2 n

An1  ... An 2   称为 A 的伴随矩阵。 ... ...   ... Ann 

A 的伴随矩阵 A* 有两步骤定义： （1） 把 A 的每个元素都换成它的代数余子式， （代数余子式定义：在一个 n 级行列式 D 中，把元素第 i 行第 j 列元素 aij （i，j = 1, 2， 。 。 。 。n ）所 在的行与列划去后， 剩下的  n  1 个元素按照原来的次序组成一个 n-1

2

阶行列式 M ij ，称为元素 aij 的余子式，M ij 带上符号  1 数余子式，记作 Aij   1

i j

i j

称为 aij 的代

M ij 。 ）

（2） 将所得到的矩阵转置便得到 A 的伴随矩阵。

2. 伴随矩阵的实例

2.1 二阶伴随矩阵的求法

 a11 设 A 是一个二阶矩阵   a13 a12  ，则有 A 可得 Aij （i，j =1,2）为代数余子 a14  

式

A11  (1)11 * a22  a22 A12  (1)12 * a21  a21 A21  (1)12 * a12  a12 A22  (1)22 * a11  a11

 a11 则 A 的伴随矩阵 A* 为   a13 a12   a22 = a14     a21  a12  a11  

2.2 三阶伴随矩阵的求法 对于三阶矩阵

 a11 a  21  a31  a12 a22 a32 a13  a23    a33 

首先求出 各代数余子式 A11 = (-1)^2 * (a22 * A12 = (-1)^3 * (a21 * A13 = (-1)^4 * (a21 * A21 = (-1)^3 * (a12 *

a33 a33 a32 a33

-

a23 a23 a22 a13

* * * *

a32) a31) a31) a32)

= = = =

a22 * a33 - a23 * a32 -a21 * a33 + a23 * a31 a21 * a32 - a22 * a31 -a12 * a33 + a13 * a32

…… A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21 然后伴随矩阵就是

 A11 A  21   A31 A12 A22 A32 A13  A23   A33  

3.伴随矩阵的性质 3.1 AA*  A* A  A E ，E 为 n 阶单位矩阵。 3.2 矩 阵 A 式 可 逆 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 A 非 退 化 ， 而 A 1 

1 * A d

（ d  A  0）

证明：当 d  A  0 ，由

A 1  1 * A d

1  1  A  A*   

A*  A  E ，可知， A 可逆，且 d  d 

反过来，如果 A 可逆，那么有 A 1 使 A1 A  E 两边去行列式，得

A1 A  E 1

因而 A1  0 ，即 A 非退化。 该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。 3.3 若 A 为非奇异矩阵，则  A1  *   A*  证明：因为  kA  

1

1

1 1 1 A ，由 A1  A* 两边取逆可得 k d

1 A   A*  A

* A  A A  ，故 1

另一方面，由 A1  可得  A1  

*

1 * A ，有 A1 d

 

1



1 1 * 1 * A  A A     A1

1 A A

1

综上，  A1  *   A* 

该性质说明了 A 的逆你伴随矩阵和 A 的联系。 3. 伴随矩阵的性质 4.1 令 A,B 为 n 阶矩阵，则 （1）A 对称  A*对称； （2）A 正交  A*正交； （3）若 A 与 B 等价，则 A*与B *也等价； （4）若 A 与 B 相似，则 A*与B *也相似； （5）若 A 与 B 合同，则 A*与B *也合同； （6）A=B  A*  B * ； （7）A 正定  A*正定；

（8）A 为可逆矩阵  A*为可逆矩阵； （9）如果 A 是可逆矩阵，那么 A 为反对称  A*为反对称 . 证明：这里只证（1） ， （2） ，其余的这里就不再证明了。 (1)  ( A* )T  ( AT )*  A* , A*为对称矩阵; (2) 因为 A 是正交矩阵， 故

AAT  E, A* ( A* )T  A* ( AT )*  ( AT A)*  E *  E  A* 是正交矩阵.

4.2 A * ＝ A

n 1

，其中 A 是 n 阶方阵（n  2）

n n n 1

证明：若 A  0, AA*  A E , AA*  A , A A*  A , An  A 若 A  0 ，这时秩 A *  1， A*  0 ，而也有 A*  A 综上得

A* ＝ A

n 1

n 1

 n, 当秩A=n时  4.3 设 A 为 n 阶矩阵，则秩 A = 1，当秩A=n-1时 0，当秩A

*

证明:事实上，当秩 A=n，即 A 可逆时，由于 A * ＝ A 即秩 A* =n

n 1

，故 A* 也是可逆的，

当秩 A=n-1 时，有 A  0 ，于是， AA*  A  E  0 ，从而秩 A*  1 ；又 因秩 A=n-1，所以至少有一个代数余子式 Aij  0 ，从而又有秩 A*  1 ，于 是秩 A* =1 当 0  秩A  n  1 时， A* =0，即此时秩 A* =0 4.4 若 A= A T ，则  AT   A*

*

证明：  AT  = AT  AT  = A*

* 1

4.5 设 k 为常数，

*

 kA 

*

 k n 1 A*

1

证明：  kA   kA  kA   k n A k 1 A1  k n 1 A* 。

4.6 当 A 可逆时，  A*    A1  * 

1

1 A。 A

证明：由 AA*  A E ，  A*  

1

1 A。 A

A 

* * * T

1 *

 A1  A1  

1 n2

1 A A

A   A A  A    A A   A  A   A  A  而  A   A  A   A  A 

1 T 1 T * T * T T 1 1 T

* *

 A* E

，故结论成立。

A  1, A A  E

T

2

 

T

A*   A A1  A A1  A

T

1

2

A 

1 T

A1 A

 AA 

T

 E 1  E

1



A*  A A1a 



Aa

*

4.7

A 

* *

 A

n2

A

*

证明：当 A =0 时，秩  A*  =0， 当 A  0 时，

*

 A  =0，  A 

* *

* *

 A

n2

A

 A  A 

*

* *

 A* E

 A*   A*  A*   A

1

n 1

1 n2 A A A A

4.8

A  =A 

T * T *

* T

证明： 而

A  = A A 

T T * T

1

 A  A1 

T

A   A A 

1 T

 A  A1  ，故结论成立。

T

4.9 若 A 为正交矩阵，则 A* 也是正交矩阵。 证明：因为 A 为正交矩阵，则 A  1, AT A  E 于是

2

A 

* T

A *   A A



1T

A A

1

 A

2

A 

1 T

A1  AAT   E 1  E

1

故 A* 也是正交矩阵。

4.10 设  为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，则 证明：

A



为 A* 的特征值。

A*  A A1 ，又

1



为 A 1 的特征值，

1 a

故 存在非零向量 a ，使 A1a 

A

A



即 A A1a 

A



a

从而 A*a  4.11



a ，故



为 A* 的特征值。

若 A 是正定矩阵,则 A* 也是正定矩阵。

证明 首先正定矩阵有以下结论: A 是正定矩阵的充分必要条件是 A 的特征值全为正。 不妨设 1 、 2 可逆。 因为 A* =|A| A 1 , 所以 A* 的特征值为:|

n 为 A 的特征值,若 A 是正定矩阵,则λ >0,i=1,2,…,n,|A|>0 且 A

1 2

A A ,

n 1 2 1 2

A A ,

A A A ,

A

n

A

，

由以上的条件知, A* 的所有特征值 所以 A* 也是正定矩阵。

n

全都为正。

5 伴随矩阵的应用

5.1 若

 1 1 1 A   0 1 1 ，求 A 1 。     0 0 1  

 1 1 1 1 1 0     解： A=  0 1 1 ，  A*   0 1 1 ， A  1 ，由 3.2 性质得   0 0 1    0 0 1  1 1 0  A*  A    0 1 1  A 0 0 1   

1

。

此题比较常见

求 A 的逆矩阵问题

5.2

1 1 1  1 * 1 ( A 1 ) * . 设A 0 2 2, ( A ) 是A 的伴随矩阵，则求  0 0 3  

解

：由 AA*  A* A  A E ， 因为 A1  A*  A 1 E, 有（A 1 ) *  A 1 A 

1  1 1 1   6 1  （A 1 ) *   0 2 2 题 A  6， 所以    0 6 0 0 3     0   1 6 1 3

A . 本 A

1 6 1 . 3 1 0 2  此题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂

1 1 1   * 5.2 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A   1 2 1  试求伴随矩阵 A 的逆矩阵.  1 1 3 

1

解：

1 A  1 1 

1

1 2 1

1   5 2 5   1 * 1 ，  A      2 2 0  ， 又 性 质 3.3 得 ，    3   1 0 1 

A 

* 1

  A

1  ，

*

所以  A

* 1



 5 2 5    2 2 0  。   1 0 1  

此题把求 A 的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求 A 的逆矩阵的伴随矩阵问题。

2 0 0 1 * 5.3 若 A   0 1 3   ，则求 A 。 2  0 2 5  0 0 3 2 1 n 1 1 解： A    0 1 3  ，又 AA*  A* A  A E ， A * ＝ A 得， 4 2 0 2 5

A*  A 

2

1 。 16 1 1 ， 求 2 A  3 A* . 4

5.4 已知 A 为一三阶可逆矩阵， 它的伴随矩阵为 A* ， 且A

解

2 A1  3 A*



1 1 1 3 A  3 A A 1  A 1  A 1 2 2 4

 

1 1  1  1  1  1 1 A    A     . 4 16  4  4 A

3

3

5.5、已知 A 和 B 均为 n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为 A* 和 B * ，分块矩阵

 A O * C  O B   ，求 C 的伴随矩阵 C .  

解

*

由 CC *  C *C  C E 得，

1

C  CC

A O  A O     O B O B 

1

 A 1  A B  O 

1 O  ABA     B 1    O

  A BB   O

1

3 2 1  *   1  5.6 设 A 为一个 3 阶矩阵，且已知 A   1  1 2  ，求  A  . 4   2 1  1  

解

 A11  因为 A   A12 A  13

*

A21 A22 A23

A31    1 3 5     A32    5  5  5  ，  A33  1  5   3 

所以

3 5   1   16  5   16 16 1 3 * 2  5 5 5 1  1 * 1    .  A    A   5  5  5    16 16  16 16  4  4 1  5 1 5  3   3    16 16   16

5.7 已知 A和B 都是 n 阶方阵， A  4, B  2, 则 4 A* B 1  . 解 4 A* B 1  4 n A* B 1  4 n A

n 1

1 1  4 n  4 n1   2 4 n3 B 2

5.8 已知 A 为 n 阶可逆矩阵,且 A  3 ，化简 A1  A* . 解 因为 AA*  A* A  A E ，所以 A 1 





*

1 * A ，所以 A

* n 1

A

1

A

* *



1 *   1   1 A  *      1 A*      A  A  A   A    A        

*

A 

* *

1 A     A   

n 1

A

n2

n 1   2 A A

3

5.9 已知 A 和 B 为三阶可逆矩阵，且

1 3 1 1 4 2     * * A   2 1 2  ， B   0 1 3  ，求  AB 1  . 1 1 2 0 0 1    

*

解

经计算可得 B

* 1



 1  4 10      0 1  3 ， 0 0 1   

所以

AB   B 

1 *

1 *

9 13   1  4 10  1 3 1   3      A   0 1  3  2 1 2     1  2  4  0 0    1  1 2

   1 1 2   1 

*

5.10 设 A 、 B 为三阶相似矩阵， A 的特征值为 1，1，3，求 B * . 解 所以 因为 A 的特征值为 1，1，3， 故 A  3，

1 A* 的特征值为 1  A  3,1  A  3,  A  1 ， 3

又因为 A ~ B ，所以 A* ~ B * ， 所以 B * 的特征值为 3，3，1， 所以 B *  9 。

5.11 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1，5，7.试求行列式 A *  2 E . 解 ： 因为 A = 1 5  7  35, 由性质 13 知， A* 的特征值分别为 35,7,5.于是

A*  2 E 的特征值为 35-2=33,7-2=5,5-2=3.故 A*  2 E  33  5  3  495 .

5.12 已知三阶矩阵 A  aij

 

33

满足条件：

（1） aij  Aij (i, j  1,2,3) ，其中 Aij 是 aij 的代数余子式； （2） a11  0 ，求 A . 解 由条件（1）知 A*  AT ,再由性质 2 得， A  AT  A*  A ,所以 A  0 或1 . 又 A  a11 A11  a12 A12    a1n A1n  a11  a12  a1n  0 ，故 A  1 . 三阶实可逆矩阵 A 的特征值为 1  1, 2  4, 3  1 ，求： 5.13 （1） 2 A 1

2 2 2

2

 

2

 6 A* 的特征值；

（2）行列式 2 A*  3 A 2 的值. 分析 利用 A1 , f ( A), A* 与 A 的特征值的关系. 解 设  为 A 的特征值，则 质 8，

A

1



为 A 1 的特征值， f ( ) 为 f ( A) 的特征值.由性



为 A* 的特征值.

（ 1 ） 设  为 A 的特征值， x 是属于  的特征向量，则 Ax  x ，由此可得

2 A 1 x 

 

2

2

2

x，

6 A* x 

6A

 2 6A 2  x ，则 2A 1   6 A* x    2    x .又 A  12 3  4 ，   

2





设 g   



2



24



， 则 2 A 1

 

2

 6 A* 的特征值为 g 1   22, g 2  

49 , g 3   26 . 8

（2）同（1） ，可求得 2 A*  3 A 2 的特征值为 11,46,5 , 故 2 A*  3 A 2  11  46   5  2530 .

小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩

阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质. 本文总结了伴随矩阵 的重要性质及其部分应用， 无论是对于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质 和应用， 就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。通过对所学知 识的掌握和了解，使我们可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用， 在解决复杂的数学问题时， 使我们能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学 知识不在于举多少例子， 关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地 把其运用到生活中创造它的价值。

参 考 文 献

［1］张志让，刘启宽.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2008.71. ［2］赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性

质［J］.皖西学院学报:2004，20(5):12. [3] 徐德余等. 《高等代数习题精编》 [M].成都： 电子科技大学出版社， 1992.114. [4] 冯红. 《高等代数全程学习指导》 [M].大连： 大连理工大学出版社， 2004.196. [5] 阎满富、陈景林等.《高等代数习题汇编与解答》[M].天津：天津人民出版

社，1994.187.

伴随矩阵的性质及运用

邓文斌 09 数计（2）班 电话：[1**********]

摘 要 伴随矩阵是矩阵的重要概念， 有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算 公式从而解决方阵求逆的问题。 同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴 随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。 关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点 .给出了伴随矩阵的秩、伴随矩 阵的转置、 伴随矩阵的特征值、 几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质 的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 引 言

1. 伴随矩阵的定义

 a11 a 21 =  ...   an1 ... a12 a22 ... an 2 ... a1n  ... a2 n   中元素 a 的代数余子式，矩阵 ij ... ...   ... ann 

设 Aij 是 矩 阵 A

 A11 A 12 * A =   ...   A1n

A21 A22 ... A2 n

An1  ... An 2   称为 A 的伴随矩阵。 ... ...   ... Ann 

A 的伴随矩阵 A* 有两步骤定义： （1） 把 A 的每个元素都换成它的代数余子式， （代数余子式定义：在一个 n 级行列式 D 中，把元素第 i 行第 j 列元素 aij （i，j = 1, 2， 。 。 。 。n ）所 在的行与列划去后， 剩下的  n  1 个元素按照原来的次序组成一个 n-1

2

阶行列式 M ij ，称为元素 aij 的余子式，M ij 带上符号  1 数余子式，记作 Aij   1

i j

i j

称为 aij 的代

M ij 。 ）

（2） 将所得到的矩阵转置便得到 A 的伴随矩阵。

2. 伴随矩阵的实例

2.1 二阶伴随矩阵的求法

 a11 设 A 是一个二阶矩阵   a13 a12  ，则有 A 可得 Aij （i，j =1,2）为代数余子 a14  

式

A11  (1)11 * a22  a22 A12  (1)12 * a21  a21 A21  (1)12 * a12  a12 A22  (1)22 * a11  a11

 a11 则 A 的伴随矩阵 A* 为   a13 a12   a22 = a14     a21  a12  a11  

2.2 三阶伴随矩阵的求法 对于三阶矩阵

 a11 a  21  a31  a12 a22 a32 a13  a23    a33 

首先求出 各代数余子式 A11 = (-1)^2 * (a22 * A12 = (-1)^3 * (a21 * A13 = (-1)^4 * (a21 * A21 = (-1)^3 * (a12 *

a33 a33 a32 a33

-

a23 a23 a22 a13

* * * *

a32) a31) a31) a32)

= = = =

a22 * a33 - a23 * a32 -a21 * a33 + a23 * a31 a21 * a32 - a22 * a31 -a12 * a33 + a13 * a32

…… A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21 然后伴随矩阵就是

 A11 A  21   A31 A12 A22 A32 A13  A23   A33  

3.伴随矩阵的性质 3.1 AA*  A* A  A E ，E 为 n 阶单位矩阵。 3.2 矩 阵 A 式 可 逆 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 A 非 退 化 ， 而 A 1 

1 * A d

（ d  A  0）

证明：当 d  A  0 ，由

A 1  1 * A d

1  1  A  A*   

A*  A  E ，可知， A 可逆，且 d  d 

反过来，如果 A 可逆，那么有 A 1 使 A1 A  E 两边去行列式，得

A1 A  E 1

因而 A1  0 ，即 A 非退化。 该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。 3.3 若 A 为非奇异矩阵，则  A1  *   A*  证明：因为  kA  

1

1

1 1 1 A ，由 A1  A* 两边取逆可得 k d

1 A   A*  A

* A  A A  ，故 1

另一方面，由 A1  可得  A1  

*

1 * A ，有 A1 d

 

1



1 1 * 1 * A  A A     A1

1 A A

1

综上，  A1  *   A* 

该性质说明了 A 的逆你伴随矩阵和 A 的联系。 3. 伴随矩阵的性质 4.1 令 A,B 为 n 阶矩阵，则 （1）A 对称  A*对称； （2）A 正交  A*正交； （3）若 A 与 B 等价，则 A*与B *也等价； （4）若 A 与 B 相似，则 A*与B *也相似； （5）若 A 与 B 合同，则 A*与B *也合同； （6）A=B  A*  B * ； （7）A 正定  A*正定；

（8）A 为可逆矩阵  A*为可逆矩阵； （9）如果 A 是可逆矩阵，那么 A 为反对称  A*为反对称 . 证明：这里只证（1） ， （2） ，其余的这里就不再证明了。 (1)  ( A* )T  ( AT )*  A* , A*为对称矩阵; (2) 因为 A 是正交矩阵， 故

AAT  E, A* ( A* )T  A* ( AT )*  ( AT A)*  E *  E  A* 是正交矩阵.

4.2 A * ＝ A

n 1

，其中 A 是 n 阶方阵（n  2）

n n n 1

证明：若 A  0, AA*  A E , AA*  A , A A*  A , An  A 若 A  0 ，这时秩 A *  1， A*  0 ，而也有 A*  A 综上得

A* ＝ A

n 1

n 1

 n, 当秩A=n时  4.3 设 A 为 n 阶矩阵，则秩 A = 1，当秩A=n-1时 0，当秩A

*

证明:事实上，当秩 A=n，即 A 可逆时，由于 A * ＝ A 即秩 A* =n

n 1

，故 A* 也是可逆的，

当秩 A=n-1 时，有 A  0 ，于是， AA*  A  E  0 ，从而秩 A*  1 ；又 因秩 A=n-1，所以至少有一个代数余子式 Aij  0 ，从而又有秩 A*  1 ，于 是秩 A* =1 当 0  秩A  n  1 时， A* =0，即此时秩 A* =0 4.4 若 A= A T ，则  AT   A*

*

证明：  AT  = AT  AT  = A*

* 1

4.5 设 k 为常数，

*

 kA 

*

 k n 1 A*

1

证明：  kA   kA  kA   k n A k 1 A1  k n 1 A* 。

4.6 当 A 可逆时，  A*    A1  * 

1

1 A。 A

证明：由 AA*  A E ，  A*  

1

1 A。 A

A 

* * * T

1 *

 A1  A1  

1 n2

1 A A

A   A A  A    A A   A  A   A  A  而  A   A  A   A  A 

1 T 1 T * T * T T 1 1 T

* *

 A* E

，故结论成立。

A  1, A A  E

T

2

 

T

A*   A A1  A A1  A

T

1

2

A 

1 T

A1 A

 AA 

T

 E 1  E

1



A*  A A1a 



Aa

*

4.7

A 

* *

 A

n2

A

*

证明：当 A =0 时，秩  A*  =0， 当 A  0 时，

*

 A  =0，  A 

* *

* *

 A

n2

A

 A  A 

*

* *

 A* E

 A*   A*  A*   A

1

n 1

1 n2 A A A A

4.8

A  =A 

T * T *

* T

证明： 而

A  = A A 

T T * T

1

 A  A1 

T

A   A A 

1 T

 A  A1  ，故结论成立。

T

4.9 若 A 为正交矩阵，则 A* 也是正交矩阵。 证明：因为 A 为正交矩阵，则 A  1, AT A  E 于是

2

A 

* T

A *   A A



1T

A A

1

 A

2

A 

1 T

A1  AAT   E 1  E

1

故 A* 也是正交矩阵。

4.10 设  为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，则 证明：

A



为 A* 的特征值。

A*  A A1 ，又

1



为 A 1 的特征值，

1 a

故 存在非零向量 a ，使 A1a 

A

A



即 A A1a 

A



a

从而 A*a  4.11



a ，故



为 A* 的特征值。

若 A 是正定矩阵,则 A* 也是正定矩阵。

证明 首先正定矩阵有以下结论: A 是正定矩阵的充分必要条件是 A 的特征值全为正。 不妨设 1 、 2 可逆。 因为 A* =|A| A 1 , 所以 A* 的特征值为:|

n 为 A 的特征值,若 A 是正定矩阵,则λ >0,i=1,2,…,n,|A|>0 且 A

1 2

A A ,

n 1 2 1 2

A A ,

A A A ,

A

n

A

，

由以上的条件知, A* 的所有特征值 所以 A* 也是正定矩阵。

n

全都为正。

5 伴随矩阵的应用

5.1 若

 1 1 1 A   0 1 1 ，求 A 1 。     0 0 1  

 1 1 1 1 1 0     解： A=  0 1 1 ，  A*   0 1 1 ， A  1 ，由 3.2 性质得   0 0 1    0 0 1  1 1 0  A*  A    0 1 1  A 0 0 1   

1

。

此题比较常见

求 A 的逆矩阵问题

5.2

1 1 1  1 * 1 ( A 1 ) * . 设A 0 2 2, ( A ) 是A 的伴随矩阵，则求  0 0 3  

解

：由 AA*  A* A  A E ， 因为 A1  A*  A 1 E, 有（A 1 ) *  A 1 A 

1  1 1 1   6 1  （A 1 ) *   0 2 2 题 A  6， 所以    0 6 0 0 3     0   1 6 1 3

A . 本 A

1 6 1 . 3 1 0 2  此题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂

1 1 1   * 5.2 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A   1 2 1  试求伴随矩阵 A 的逆矩阵.  1 1 3 

1

解：

1 A  1 1 

1

1 2 1

1   5 2 5   1 * 1 ，  A      2 2 0  ， 又 性 质 3.3 得 ，    3   1 0 1 

A 

* 1

  A

1  ，

*

所以  A

* 1



 5 2 5    2 2 0  。   1 0 1  

此题把求 A 的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求 A 的逆矩阵的伴随矩阵问题。

2 0 0 1 * 5.3 若 A   0 1 3   ，则求 A 。 2  0 2 5  0 0 3 2 1 n 1 1 解： A    0 1 3  ，又 AA*  A* A  A E ， A * ＝ A 得， 4 2 0 2 5

A*  A 

2

1 。 16 1 1 ， 求 2 A  3 A* . 4

5.4 已知 A 为一三阶可逆矩阵， 它的伴随矩阵为 A* ， 且A

解

2 A1  3 A*



1 1 1 3 A  3 A A 1  A 1  A 1 2 2 4

 

1 1  1  1  1  1 1 A    A     . 4 16  4  4 A

3

3

5.5、已知 A 和 B 均为 n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为 A* 和 B * ，分块矩阵

 A O * C  O B   ，求 C 的伴随矩阵 C .  

解

*

由 CC *  C *C  C E 得，

1

C  CC

A O  A O     O B O B 

1

 A 1  A B  O 

1 O  ABA     B 1    O

  A BB   O

1

3 2 1  *   1  5.6 设 A 为一个 3 阶矩阵，且已知 A   1  1 2  ，求  A  . 4   2 1  1  

解

 A11  因为 A   A12 A  13

*

A21 A22 A23

A31    1 3 5     A32    5  5  5  ，  A33  1  5   3 

所以

3 5   1   16  5   16 16 1 3 * 2  5 5 5 1  1 * 1    .  A    A   5  5  5    16 16  16 16  4  4 1  5 1 5  3   3    16 16   16

5.7 已知 A和B 都是 n 阶方阵， A  4, B  2, 则 4 A* B 1  . 解 4 A* B 1  4 n A* B 1  4 n A

n 1

1 1  4 n  4 n1   2 4 n3 B 2

5.8 已知 A 为 n 阶可逆矩阵,且 A  3 ，化简 A1  A* . 解 因为 AA*  A* A  A E ，所以 A 1 





*

1 * A ，所以 A

* n 1

A

1

A

* *



1 *   1   1 A  *      1 A*      A  A  A   A    A        

*

A 

* *

1 A     A   

n 1

A

n2

n 1   2 A A

3

5.9 已知 A 和 B 为三阶可逆矩阵，且

1 3 1 1 4 2     * * A   2 1 2  ， B   0 1 3  ，求  AB 1  . 1 1 2 0 0 1    

*

解

经计算可得 B

* 1



 1  4 10      0 1  3 ， 0 0 1   

所以

AB   B 

1 *

1 *

9 13   1  4 10  1 3 1   3      A   0 1  3  2 1 2     1  2  4  0 0    1  1 2

   1 1 2   1 

*

5.10 设 A 、 B 为三阶相似矩阵， A 的特征值为 1，1，3，求 B * . 解 所以 因为 A 的特征值为 1，1，3， 故 A  3，

1 A* 的特征值为 1  A  3,1  A  3,  A  1 ， 3

又因为 A ~ B ，所以 A* ~ B * ， 所以 B * 的特征值为 3，3，1， 所以 B *  9 。

5.11 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1，5，7.试求行列式 A *  2 E . 解 ： 因为 A = 1 5  7  35, 由性质 13 知， A* 的特征值分别为 35,7,5.于是

A*  2 E 的特征值为 35-2=33,7-2=5,5-2=3.故 A*  2 E  33  5  3  495 .

5.12 已知三阶矩阵 A  aij

 

33

满足条件：

（1） aij  Aij (i, j  1,2,3) ，其中 Aij 是 aij 的代数余子式； （2） a11  0 ，求 A . 解 由条件（1）知 A*  AT ,再由性质 2 得， A  AT  A*  A ,所以 A  0 或1 . 又 A  a11 A11  a12 A12    a1n A1n  a11  a12  a1n  0 ，故 A  1 . 三阶实可逆矩阵 A 的特征值为 1  1, 2  4, 3  1 ，求： 5.13 （1） 2 A 1

2 2 2

2

 

2

 6 A* 的特征值；

（2）行列式 2 A*  3 A 2 的值. 分析 利用 A1 , f ( A), A* 与 A 的特征值的关系. 解 设  为 A 的特征值，则 质 8，

A

1



为 A 1 的特征值， f ( ) 为 f ( A) 的特征值.由性



为 A* 的特征值.

（ 1 ） 设  为 A 的特征值， x 是属于  的特征向量，则 Ax  x ，由此可得

2 A 1 x 

 

2

2

2

x，

6 A* x 

6A

 2 6A 2  x ，则 2A 1   6 A* x    2    x .又 A  12 3  4 ，   

2





设 g   



2



24



， 则 2 A 1

 

2

 6 A* 的特征值为 g 1   22, g 2  

49 , g 3   26 . 8

（2）同（1） ，可求得 2 A*  3 A 2 的特征值为 11,46,5 , 故 2 A*  3 A 2  11  46   5  2530 .

小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩

阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质. 本文总结了伴随矩阵 的重要性质及其部分应用， 无论是对于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质 和应用， 就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。通过对所学知 识的掌握和了解，使我们可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用， 在解决复杂的数学问题时， 使我们能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学 知识不在于举多少例子， 关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地 把其运用到生活中创造它的价值。

参 考 文 献

［1］张志让，刘启宽.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2008.71. ［2］赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性

质［J］.皖西学院学报:2004，20(5):12. [3] 徐德余等. 《高等代数习题精编》 [M].成都： 电子科技大学出版社， 1992.114. [4] 冯红. 《高等代数全程学习指导》 [M].大连： 大连理工大学出版社， 2004.196. [5] 阎满富、陈景林等.《高等代数习题汇编与解答》[M].天津：天津人民出版

社，1994.187.