椭圆的极坐标方程及其应用

椭圆的极坐标方程及其应用

x2y2

如图，倾斜角为且过椭圆C:221(ab0)的右焦点F2的直线l交椭圆C于P,Q两点，椭圆

abC的离心率为e，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ，并证明:

x2y2

1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆32

过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值．

11

为定值



PF2QF2

y2

1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知练习2. （05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆x2

2

与共线,与线,且0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

改为：抛物线y2

2px(p0) 呢？

x2y2例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的

ab2

直线与C相交于A,B两点．若AF3FB，求k。

例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为x12. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P1FP2P2FP3P3FP1，证明： 1,P2,P3，使P

111

为定值，并求此定值. 

|FP||FP||FP|123

x2y2

练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C：221(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于

ab

A，B两点，直线l的倾斜角为60,AF2FB，求椭圆C的离心率；

o

x2y2

推广：已知椭圆a

2b

21(ab0),F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点P1,P2,,Pn,若

n

PFP12P2FP3Pn

1FPnPnFP1

,则1n

，你能证明吗？ i1|PFi|epx2y2练习3. （08年福建理科）如图，椭圆.

a2b

21(ab0)的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OA2

OB2

AB2

,求a的取

值范围.

作业1. （08年宁夏文）过椭圆x25y2

4

1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点, O为坐标原点, 则△OAB的面积为 .

作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆C:x2

2

y21的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。若FA3FB,求AF。

作业3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆

x2y2

a2b2

1(ab0) 上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F1(1,0)和右焦点F2(1,0)，且ACBD，椭圆的一条准线方程为x4

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形ABCD面积的取值范围。

C:x24.（08年安徽文）已知椭圆y2

练习a2b

21(a＞b＞0)，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证：AB1 （Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求ABDE的最小值.

作业5. 已知以F为焦点的抛物线y2

4x上的两点A、B满足AF3FB,求弦AB的中点到准线的距离.

参考答案：

例

1.

练习

1. 例2.

练习

2..

2

2

例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为xa2y

b

21. 因焦点为F(3,0)，故半焦距c3.又右 准线l的方程为xa2

c

，从而由已知

a2

c

12,a236，

因此a6,b

a2

c227.

故所求椭圆方程为

x236y2

27

1. （Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1

,2,3),不失一般性 假设02213,且213,4

313

又设点Pi在l上的射影为Qi,因椭圆的离心率e

ca1

2

,据椭圆第二定义得 |FPa2i||PQii|e(c

c|FPi|cosi

)e1

2(9FPicosi)(i1,2,3) 

1FP2(11

2

cosi)(i1,2,3). i9

1FP1121

FP31(cos2)cos(4

1cos(113)2FP3923 又

cos24111cos(1

3)cos(13)cos12cos112cos11011FP12(定值) 1FP2FP3

3方法二:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii

(i1,2,3),不失一般性假设012

3

,且 23,4

21313

,另设点P(xi,yi),则xi|PFi|cosi3,yi|PFi

|sini 点P(|PF|cosi3)2(|PF|sin2ii在椭圆上,

36i

i)27

1 

1FP1

(2cosi)(i1,2,3),以下同方法一 i9



1FP11FP12(定值) 2FP3

3推广：

sin

(n1)n引理1:coscos()cos(2)cos(n)

cos(

).

sin

2

证明:cossin



1

22[sin(2)sin(2)]-----------------------(1) cos()sin1322[sin(2)sin(

2

)]----------------------(2)

……

cos(n)sin



212[sin(2n12)sin(2n12

)]----------(n1) 将上述n1个式子相加得

[coscos()cos(n)]sin



212n11

2[sin(2)sin(2)] sin(n1)cos(n)

coscos()cos(n)

sin

2

证明:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1,2,,n),不失一般性

假设0221n,且21n,4n,n

31,n1n

又设点Pi在l上的射影为Qi,据椭圆第二定义得

FPPQa2

|i||ii|e(

c

c|FPi|cosi)e(i1,2,,n) 

1FPa

2(1ecosi)(i1,2,,n). ib



n

1ane[cos22(n1)

2{1cos(1)cos(i1|PFi

|bn1n)]} 在引理1中,令221,n,则cos1cos(1

n)cos(2(n1)

1n

) sinncos((n1)

(n1))1)sincos(1

0

sin

2

sin

n



n

1|

na

2. i1|PFib练习3.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

所以OF,

即1

2b

3

,解得b

a2

b2

14,因此，椭圆方程为x2y2

43

1. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

OA2OB22a2,AB2

4a2(a21),因此，恒有OA2

OB2

AB2

.

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：xmy1,代入x2y2

a2b

21,

整理得(a2b2m2)y22b2myb2a2b2

0, 所以y2b2mb2a21y2a2b2m2,yb2

1y2a2b2m2

因为恒有OA2OB2AB2

，所以AOB恒为钝角.

即OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y20恒成立.

x1x2y1y2(my2

11)(my21)y1y2(m1)y1y2m(y1y2)1(m21)(b2a2b2)2b2m2 a2b2m2a2b2m

2

1222222 mabbaba2

0.

22a2b2m2

又a2+b2m>0,所以-m2a2b2+b2-ab2+a2 a2 -a2b2+b对mR恒成立.

当mR时，a22b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2

a

a2b2- b2, a2

-1)b2= b4,

因为a>0,b>0,所以a

2,即a2-a-1>0, 解得a

a

舍去)，即a综合（i）(ii)，a+）.

解法二。

作业

1.

作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2

3

.又由椭圆的第二定义,

得|BF|2

233

|AF|作业3.

作业4.

作业5.

8

3

椭圆的极坐标方程及其应用

x2y2

如图，倾斜角为且过椭圆C:221(ab0)的右焦点F2的直线l交椭圆C于P,Q两点，椭圆

abC的离心率为e，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ，并证明:

x2y2

1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆32

过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值．

11

为定值



PF2QF2

y2

1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知练习2. （05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆x2

2

与共线,与线,且0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

改为：抛物线y2

2px(p0) 呢？

x2y2例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的

ab2

直线与C相交于A,B两点．若AF3FB，求k。

例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为x12. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P1FP2P2FP3P3FP1，证明： 1,P2,P3，使P

111

为定值，并求此定值. 

|FP||FP||FP|123

x2y2

练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C：221(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于

ab

A，B两点，直线l的倾斜角为60,AF2FB，求椭圆C的离心率；

o

x2y2

推广：已知椭圆a

2b

21(ab0),F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点P1,P2,,Pn,若

n

PFP12P2FP3Pn

1FPnPnFP1

,则1n

，你能证明吗？ i1|PFi|epx2y2练习3. （08年福建理科）如图，椭圆.

a2b

21(ab0)的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OA2

OB2

AB2

,求a的取

值范围.

作业1. （08年宁夏文）过椭圆x25y2

4

1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点, O为坐标原点, 则△OAB的面积为 .

作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆C:x2

2

y21的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。若FA3FB,求AF。

作业3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆

x2y2

a2b2

1(ab0) 上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F1(1,0)和右焦点F2(1,0)，且ACBD，椭圆的一条准线方程为x4

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形ABCD面积的取值范围。

C:x24.（08年安徽文）已知椭圆y2

练习a2b

21(a＞b＞0)，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证：AB1 （Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求ABDE的最小值.

作业5. 已知以F为焦点的抛物线y2

4x上的两点A、B满足AF3FB,求弦AB的中点到准线的距离.

参考答案：

例

1.

练习

1. 例2.

练习

2..

2

2

例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为xa2y

b

21. 因焦点为F(3,0)，故半焦距c3.又右 准线l的方程为xa2

c

，从而由已知

a2

c

12,a236，

因此a6,b

a2

c227.

故所求椭圆方程为

x236y2

27

1. （Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1

,2,3),不失一般性 假设02213,且213,4

313

又设点Pi在l上的射影为Qi,因椭圆的离心率e

ca1

2

,据椭圆第二定义得 |FPa2i||PQii|e(c

c|FPi|cosi

)e1

2(9FPicosi)(i1,2,3) 

1FP2(11

2

cosi)(i1,2,3). i9

1FP1121

FP31(cos2)cos(4

1cos(113)2FP3923 又

cos24111cos(1

3)cos(13)cos12cos112cos11011FP12(定值) 1FP2FP3

3方法二:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii

(i1,2,3),不失一般性假设012

3

,且 23,4

21313

,另设点P(xi,yi),则xi|PFi|cosi3,yi|PFi

|sini 点P(|PF|cosi3)2(|PF|sin2ii在椭圆上,

36i

i)27

1 

1FP1

(2cosi)(i1,2,3),以下同方法一 i9



1FP11FP12(定值) 2FP3

3推广：

sin

(n1)n引理1:coscos()cos(2)cos(n)

cos(

).

sin

2

证明:cossin



1

22[sin(2)sin(2)]-----------------------(1) cos()sin1322[sin(2)sin(

2

)]----------------------(2)

……

cos(n)sin



212[sin(2n12)sin(2n12

)]----------(n1) 将上述n1个式子相加得

[coscos()cos(n)]sin



212n11

2[sin(2)sin(2)] sin(n1)cos(n)

coscos()cos(n)

sin

2

证明:记椭圆的右顶点为A,并设AFPii(i1,2,,n),不失一般性

假设0221n,且21n,4n,n

31,n1n

又设点Pi在l上的射影为Qi,据椭圆第二定义得

FPPQa2

|i||ii|e(

c

c|FPi|cosi)e(i1,2,,n) 

1FPa

2(1ecosi)(i1,2,,n). ib



n

1ane[cos22(n1)

2{1cos(1)cos(i1|PFi

|bn1n)]} 在引理1中,令221,n,则cos1cos(1

n)cos(2(n1)

1n

) sinncos((n1)

(n1))1)sincos(1

0

sin

2

sin

n



n

1|

na

2. i1|PFib练习3.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

所以OF,

即1

2b

3

,解得b

a2

b2

14,因此，椭圆方程为x2y2

43

1. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

OA2OB22a2,AB2

4a2(a21),因此，恒有OA2

OB2

AB2

.

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：xmy1,代入x2y2

a2b

21,

整理得(a2b2m2)y22b2myb2a2b2

0, 所以y2b2mb2a21y2a2b2m2,yb2

1y2a2b2m2

因为恒有OA2OB2AB2

，所以AOB恒为钝角.

即OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y20恒成立.

x1x2y1y2(my2

11)(my21)y1y2(m1)y1y2m(y1y2)1(m21)(b2a2b2)2b2m2 a2b2m2a2b2m

2

1222222 mabbaba2

0.

22a2b2m2

又a2+b2m>0,所以-m2a2b2+b2-ab2+a2 a2 -a2b2+b对mR恒成立.

当mR时，a22b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2

a

a2b2- b2, a2

-1)b2= b4,

因为a>0,b>0,所以a

2,即a2-a-1>0, 解得a

a

舍去)，即a综合（i）(ii)，a+）.

解法二。

作业

1.

作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2

3

.又由椭圆的第二定义,

得|BF|2

233

|AF|作业3.

作业4.

作业5.

8

3