二元一次方程组的解的情况（教案）
教学目标
1、
2、
3、 理解二元一次方程组的解的三种情况 会判断二元一次方程组的解的情况 通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。
重点难点
重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解的情况
难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法
教学过程
一、 复习引入：
什么叫做方程的解？能使方程两边相等的未知数的取值。如x -2=0的解是x =2
思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢？
解下列一元一次方程
（1）2x -2=x +1 （2）x -2=x +1 （3）2x +2=2(x +1) 解：2x -x =2+1 解：x -x =2+1 解：2x +2=2x +2 x =3 0=3 0=0 有唯一解 无解 有无穷多解
结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。
那二元一次方程组的解又有几种情况呢？（引入课题：二元一次方程
组的解的情况）
二、 新课讲解
先让学生计算下列三个题：
⎧2x +5y =17⎧x -3y =2① ⎧x -3y =2① （1）⎨ （2）⎨ （3）⎨ ② 2x -3y =9-2x +6y =5-2x +6y =-4② ⎩⎩⎩
解得：⎨⎧x =6 ①×2+②得0=9 ①×2+②得：0=0 ⎩y =1
让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解 从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。下面让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？
（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。必要时把它们乘一乘或者除一除。）
（1）中≠2
251-321-32=≠ （3）中== （2）中 -3-265-26-4
（注：在（2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关系）由上我们可以猜想：若方程组中x , y 两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x , y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x , y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。为了验证一下我们的猜想，请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件的方程组出来，然后再看看它的解是否和我们的猜想一致呢？
在学生交流讨论过后，引导学生得出以下结论：
对于一般的二元一次方程组
1x +b 1y =c 1{a a 2x +b 2y =c 2①②
我们有
(1)
(3)
(2) a 1b ≠1 ， 二元一次方程组有唯一解； a 2b 2a 1b 1c =≠1 ， 二元一次方程组无解； a 2b 2c 2a 1b 1c ==1 ， 二元一次方程组有无穷多解。 a 2b 2c 2
三、应用新知
讨论：当a 、b 的取值满足什么情况时，关于x , y 的方程组⎨⎧4x +ay =b ⎩2x +y =4
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解
（注：让学生先自由讨论，再请三名上讲台板书自己的解答过程。并让其他同学给予修正）
解：由题意知（1）当≠时, 即2a ≠4时，即a ≠2时方程组有唯一解； 4a
21
4a b （2）当=≠时, 即a =2且b ≠8时方程组无解 214
4a b （3）==时, 即a =2且b =8时方程组无解 214
四、作业布置
选择一组a , c 值，使方程组⎨⎧5x +y =7 ax +2y =c ⎩
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解
五、板书设计
二元一次方程组的解的情况（教案）
教学目标
1、
2、
3、 理解二元一次方程组的解的三种情况 会判断二元一次方程组的解的情况 通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。
重点难点
重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解的情况
难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法
教学过程
一、 复习引入：
什么叫做方程的解？能使方程两边相等的未知数的取值。如x -2=0的解是x =2
思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢？
解下列一元一次方程
（1）2x -2=x +1 （2）x -2=x +1 （3）2x +2=2(x +1) 解：2x -x =2+1 解：x -x =2+1 解：2x +2=2x +2 x =3 0=3 0=0 有唯一解 无解 有无穷多解
结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。
那二元一次方程组的解又有几种情况呢？（引入课题：二元一次方程
组的解的情况）
二、 新课讲解
先让学生计算下列三个题：
⎧2x +5y =17⎧x -3y =2① ⎧x -3y =2① （1）⎨ （2）⎨ （3）⎨ ② 2x -3y =9-2x +6y =5-2x +6y =-4② ⎩⎩⎩
解得：⎨⎧x =6 ①×2+②得0=9 ①×2+②得：0=0 ⎩y =1
让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解 从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。下面让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？
（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。必要时把它们乘一乘或者除一除。）
（1）中≠2
251-321-32=≠ （3）中== （2）中 -3-265-26-4
（注：在（2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关系）由上我们可以猜想：若方程组中x , y 两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x , y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x , y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。为了验证一下我们的猜想，请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件的方程组出来，然后再看看它的解是否和我们的猜想一致呢？
在学生交流讨论过后，引导学生得出以下结论：
对于一般的二元一次方程组
1x +b 1y =c 1{a a 2x +b 2y =c 2①②
我们有
(1)
(3)
(2) a 1b ≠1 ， 二元一次方程组有唯一解； a 2b 2a 1b 1c =≠1 ， 二元一次方程组无解； a 2b 2c 2a 1b 1c ==1 ， 二元一次方程组有无穷多解。 a 2b 2c 2
三、应用新知
讨论：当a 、b 的取值满足什么情况时，关于x , y 的方程组⎨⎧4x +ay =b ⎩2x +y =4
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解
（注：让学生先自由讨论，再请三名上讲台板书自己的解答过程。并让其他同学给予修正）
解：由题意知（1）当≠时, 即2a ≠4时，即a ≠2时方程组有唯一解； 4a
21
4a b （2）当=≠时, 即a =2且b ≠8时方程组无解 214
4a b （3）==时, 即a =2且b =8时方程组无解 214
四、作业布置
选择一组a , c 值，使方程组⎨⎧5x +y =7 ax +2y =c ⎩
（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解
五、板书设计