全等三角形的知识点与习题精选

第十一章：全等三角形

一、基础知识

1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义

能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13-2就是全等图形

图13-1

图13-2 （2）全等多边形的定义

两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图

图13-4

（

3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边

两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示

例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。 B B’

A’ A

C ’

E D

E’’

图13-5

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质

全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6）全等多边形的识别

多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别 （1）根据定义

若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS

如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS

如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别 （1）根据HL

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。

4.证明三角形全等的方法

证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。 判定方法的选择：

具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。

为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等

A

E D

B D

B 图13-6 图13-7

5.证明两个三角形全等如何入手

证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。

（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。

（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。

证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

二、经典例题

例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。

（2）在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求 ∠C。 [考点透视] （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理 [参考答案] 解：（1）设第三边为xcm，则

132x132 即11x15

周长L213x15x的范围是151115x1515 即27L30 又L为偶数 L28

L15x28 x13

即第三边长为13cm （2）AC2B

ABC(AC)B2BB3B180 B60

AC2B120 又CA80

AC120CA80 由

A20C100 得



C100



例2：已知，在△ABC中，AD是角平分线，B66，C54，DEAC于E，求：ADB和ADE

[考点透视] 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 [参考答案] 解：由三角形内角和定理，得



BAC180BC180(6654)60



又AD平分BAC

11

BAC603022



CADC305484 ADB

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

CAD

在RtADE中



903060（直角三角形的两个锐角互余） ADE90CAD

例3：已知：在ABC和A'B'C'中

AA'，BB'，CDAB于D，C'D'A'B'于D’，且CDC'D'

求证：ABCA'B'C'

’

D

B C B’ C’

[考点透视] 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。 [参考答案] 证明：在RtADC和RtA'D'C'中

AA'



A'D'C'90ADC

CDC'D' 

RtADCRtA'D'C'(AAS)

ACA'C'（全等三角形对应边相等） 在ABC和A'B'C'中

AA'



BB'

ACA'C'

ABCA'B'C'(AAS)

三．适时训练

（一）精心选一选

1．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（ ）

A. ∠C与∠F互余 B. ∠C与∠D互余

C. ∠B与∠F互余 D. ∠A与∠E互余

2．如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图中全等三角形共有（ ）

A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 3．如图，△ACD中，AB⊥CD且BD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰Rt△，下列结论① △ABC≌△DBE；② △ACB≌△ABD；③ △CBE≌△BED；④ △ACE≌△ADE；正确的是（ ）

A. ①②③ B. ① C. ①③④ D. ②③④

4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（ ）

A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°

5．下列命题正确的是（ ）

A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等

6. 在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（ ）

（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）垂直平分线已知

7. 下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是 （ ）

（A）∠A=∠D， ∠C=∠F， AC=DF

（B）AB=DE， BC=EF， ∠A=∠D

（C）∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F

（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长

（二）细心填一填

1．如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN=

2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2=

3．如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2=

4．如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过 （填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使△ABE变到△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是

5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是

图2-1 图2-2 图2-3

图2-4 图2-5 三、认真答一答

1．如图，AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。

2．如图，AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求证：AP⊥EF。

3. 已知：如图，C 为 BE上一点，点A 分别在BE 两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED. 求证:AC=CD.

B

E

4．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：AB=CD

D

6. 已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。

求证：DE=DF。

7．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE． 点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．

求证：CD＝CE．

8．如图，已知在△ABC中AB=AC，D为BC边的点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。 （1）求证：△BED≌△CFD;

（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形。

9．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． (1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．

11. 已知，如图AB//CD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上，求证：BCABCD

F C

12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，

A

F，C，D在同一条直线上．

（1）求证：AB⊥ED．

F

E

C E M

N

D

B

F C

（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

13．如图，在□ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.

14. 如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB．

（1）求证：DB为⊙O的切线．

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

A

C

D

15. 已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA分为三等份，连接MC并延长交y



3) 轴于点D(0，．

（1）求证：△OMD≌△BAO； （2）若直线l：ykxb把⊙

Mb0．

16. 如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ． P

D

C B

17. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BDAB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD． 求证：CD是⊙O的切线．

D

A

O

B

18. △ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE． （1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

≌△AD；C ①求证：△AEB

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

A A

D

图（a）

C

B

D

F

E

图（b）

G

19. 如图，C、F在BE上，AD，AC∥DF，BFEC． 求证：ABDE．

A

E

C

20. 如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

E

21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．

D

B C

O

22. 如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DEEFFB．

A

D

F

C

23. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

AEAF． 24. 如图9，P是∠BAC内的一点，PEAB，PFAC，垂足分别为点E，F，

求证：（1）PEPF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上．

25. ．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E． (1) 求证：AE=BE；

AB(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

E

C

参考答案

（一）精心选一选

1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A （二）细心填一填

1. 90° 2. 1:4 3. 20° 4. 旋转；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，∠C，80

8. ∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，AC=AD，BC=BD 9. 5厘米 10. 三角形的稳定性，不稳定性 （三）认真答一答 1. 相等，过A作AM⊥DC，AN⊥BE，证明△DAC≌△BAE，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN，所以∠BPF=∠CPF

2. 延长AM至N，使MN=AM，证明△AMC≌△NMB，所以AC=NB，再证明△EAF≌△ABN，得到∠E=∠BAN，因为∠BAN+∠EAP=90°，所以∠E+∠EAP=90°，所以AP⊥EF

3．证明：AB∥ED，BE． 在△ABC和△CED中，

ABCE，

BE，BCED，

△ABC≌△CED．

ACCD．

4、 证明：∵ OP是∠AOC和∠BOD的平分线， ∴ AOPCOP,BOPDOP ∴ AOBCO D 在AOB和COD中，

,OAOC



AOBCO,D

OBOD,

∴ AOBCO D

∴ ABCD

5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可 （2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE） 四边形DBCE是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.

证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点. ∵∠DCB=∠EBC= ∴△BGC≌△CFB

1

∠A，BC为公共边 2

∴BF=CG

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF≌△CEG ∴BD=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.

证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.

易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.

∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.

6．证法一：在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠OBF=∠ODE ∵O为BD的中点 ∴OB=OD 在△BOF和△DOE中



∠OBF∠ODEOBOD ∠BOF∠DOE

∴△BOF≌△DOE ∴OF=OE ∵EF⊥BD于点O ∴DE=DF 证法二：∵O为BD的中点 ∴BO=DO ∵EF⊥BD于点O ∴BF=DF ∴∠BFO=∠DFO ∵在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠BFO=∠DEO ∴∠DEO=∠DFO ∴DE=DF

7．证明：∵OA=OB AD=BE

∴OA-AD=OB-BE即OD=OE 在△ODC和△OEC中



ODOE

DOCEOC 

OCOC∴△ODC≌△OEC ∴CD=CE

8． （1）∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C,

∵D是BC的中点,

∴BD=CD

∴△BED≌△CFD.

（2）∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD=90° ∵∠A=90°

∴四边形DFAE为矩形 ∵△BED≌△CFD ∴DE=DF

∴四边形DFAE为正方形 9。（1）证明：∵△ABC为等边三角形

∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 在△ABE和△CAD中

AB=CA, ∠BAE=∠C, AE=CD ∴△ABE≌△CAD

（2）解 ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD 又∵△ABE≌△CAD

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

10．（1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以

11. AB//CD

ABCBCD180 又BE、CE平分ABC，ACD



11

ABC，ECBBCD22

11

EBCECB(ABCBCD)18090

22

EBC

BEC90（三角形内角和定理） 在BC上取BF＝BA，连结EF 在ABE和FBE中



ABFB



ABEFBEBEBE 

ABEFBE(SAS)

12（全等三角形对应角相等） 1BEC3180



13180BEC1809090 又2490，12 34（等量代换）





在CFE和CDE中

FCEDCE(角平分线定义)



CECE43

(ASA) CFECDE

CDCF（全等三角形对应边相等）

BCBFCFABCD

12. （1）由于△ABC与△DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以△ABC≌△DEF，所以∠A＝∠D，在△ANP和△DNC中，因为∠ANP＝∠DNC，所以∠APN＝∠DCN，又∠DCN＝90°，所以∠APN＝90°，故AB⊥ED．

（2）答案不唯一，如△ABC≌△DBP；△PEM≌△FBM；△ANP≌△DNC等等．以△ABC≌△DBP为例证明如下：在△ABC与△DBP中，因为∠A＝∠D，∠B＝∠B，PB＝BC，所以△ABC≌△DBP．

13. 例：△AOB≌△COD.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD.

14．（1）证明: 连结OD ∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90° ∵ OA=OB，DA=DB，DO=DO， ∴ΔOAD≌ΔOBD ∴ ∠OBD=∠OAD = 90°， ∴PA为⊙O的切线

（2）解：在RtΔOAP中， ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30° ∴ ∠POA=60°=2∠C ， ∴PD=2BD=2DA=2 ∴ ∠OPA=∠C=30° ∴ AC=AP=3

15. 证明：

（1）连接BM，∵B、C把OA三等分，∴1560°，



又∵OMBM，∴

2

1

53°02，

1

ABOAOM

2 又∵OA为⊙M直径，∴ABO90°，∴，360°，

∴13，DOMABO90°，

在△OMD和△BAO中，

13，

OMAB，

DOMABO.

∴△OMD≌△BAO（ASA）

（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份， 则直线l必过圆心M，

3)，1

60°，

∵D(0，

OM

∴

ODtan60°，

， ∴M

代入y

kxb得： 把 Mb0．

16. 证明：(1) ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=90°．

∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°， ∴ ∠PBA=∠ABC－∠PBC=30°，

∠PCD= ∠BCD－∠PCB=30°． ∴ ∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°．

B

∴ ∠PBA=∠PCQ=30°．

(2) ∵ AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC， ∴ △PAB≌△PQC， ∴ PA=PQ．

17. 证明：连接CO

P

D

Q

C

OD∥AC．CODACO，CAODOB

ACOCAO

CODDOB

又ODOD，OCOB．

△COD≌△BOD

OCDOBD90°

OCCD，即CD是⊙O的切线

18. （1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AEAD，ABAC，EADBAC60°．

又∵EABEADBAD，DACBACBAD， ∴EABDAC， ∴△AEB≌△ADC．

②法一：由①得△AEB≌△ADC， ∴ABEC60°． 又∵BACC60°， ∴ABEBAC， ∴EB∥GC． 又∵EG∥BC，

∴四边形BCGE是平行四边形． 法二：证出△AEG≌△ADB， 得EGABBC． 由①得△AEB≌△ADC． 得BECG．

∴四边形BCGE是平行四边形． （2）①②都成立．

B

A

D

C

（3）当CDCB（BD2CD或边形BCGE是菱形．

CD

1BD2或CAD30°或BAD90°或ADC30°）时，四

理由：法一：由①得△AEB≌△ADC， ∴BECD 又∵CDCB， ∴BECB．

由②得四边形BCGE是平行四边形， ∴四边形BCGE是菱形． 法二：由①得△AEB≌△ADC， ∴BECD．

又∵四边形BCGE是菱形， ∴BECB ∴CDCB．

法三：∵四边形BCGE是平行四边形， ∴BE∥CG，EG∥BC，

∴FBEBAC60°

，FABC60°∴FFBE60°， ∴△BEF是等边三角形．

又∵ABBC，四边形BCGE是菱形， ∴ABBEBF， ∴AE⊥FG ∴EAG30°， ∵EAD60°， ∴CAD30°． 19. 证明：AC∥DF，

ACEDFB，

ACBDFE．

又BFEC，

BFCFECCF，即BCEF．

A

C F

E

又AD，

△ABC≌△DEF． ABDE．

20. 证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC ∴∠BAC=∠EAD 在△ABC和△AED中



ABAEBACEAD 

ACAD

∴△ABC≌△AED(SAS) (2)由(1)知∠ABC=∠AED ∵AB=AE

∴∠ABE=∠AEB ∴∠OBE=∠OEB ∴OB=OE 21. 证明：（1）连结OD．

由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB． ∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD． ∴∠2=∠3．

而OD=OC，OE=OE ∴△OCE≌△ODE． ∴∠OCE=∠ODE． 又∠C=90°，故∠ODE =90°． ∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ODE中，由

OD

32，DE=2 得

OE

52

又∵O、E分别是CB、CA的中点

OE25

∴AB=2·25

∴所求AB的长是5cm．

22. 证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED=∠AFB=90°．

∵ABCD是正方形，DE⊥AG，

∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF =∠ADE．

又在正方形ABCD中，AB=AD．

在△ABF与△DAE 中，∠AFB =∠DEA=90°，∠BAF =∠ADE ，AB=DA， ∴△ABF≌△DAE．

B

A

D

F C

（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF． 又 AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB．

23. 解：（1）CD=BE．理由如下: ∵△ABC和△ADE为等边三角形 ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC， ∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD ∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点，

C A

C

11

BECDCN

2 ∴BM=2

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． D ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o ∴△AMN是等边三角形． 设AD=a，则AB=2a． ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE． ∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o， ∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴

． ∵N为DC中点，

DN

∴

AN． ，

∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

a2:(2a)2:(

727

a)1:4:4:16:724

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： 5分

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o ∴△AMN是等边三角形 7分

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a 易证BE⊥AC，∴BE=

AB2AE2(2a)2a23a

，

EM

∴

AMEM2AE2(a)2a2a22 ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

a2:(2a)2:(27a)1:4:4:16:724

24．证明：（1）如图1，连结AP，PEAB,PFAC, ∴∠AEP=∠AFP=90

又AE=AF，AP=AP，

∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF．

（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，

∴∠EAP=∠FAP，

∴AP是∠BAC的角平分线，

故点P在∠BAC的角平分线上

25. 解：(1) 在Rt△ACE和Rt△BDE中，

∵∠AEC与∠BED是对顶角，∴∠AEC=∠BED．

∵∠C=∠D=90°， AC=BD ．

∴Rt△ACE≌Rt△BDE，

∴AE=BE．

(2) ∵∠AEC=45°， ∠C=90°，

∴∠CAE=45°．

∴CE=AC=1．

第十一章：全等三角形

一、基础知识

1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义

能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13-2就是全等图形

图13-1

图13-2 （2）全等多边形的定义

两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图

图13-4

（

3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边

两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示

例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。 B B’

A’ A

C ’

E D

E’’

图13-5

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质

全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6）全等多边形的识别

多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别 （1）根据定义

若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS

如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS

如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别 （1）根据HL

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。

4.证明三角形全等的方法

证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。 判定方法的选择：

具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。

为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等

A

E D

B D

B 图13-6 图13-7

5.证明两个三角形全等如何入手

证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。

（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。

（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。

证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

二、经典例题

例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。

（2）在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求 ∠C。 [考点透视] （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理 [参考答案] 解：（1）设第三边为xcm，则

132x132 即11x15

周长L213x15x的范围是151115x1515 即27L30 又L为偶数 L28

L15x28 x13

即第三边长为13cm （2）AC2B

ABC(AC)B2BB3B180 B60

AC2B120 又CA80

AC120CA80 由

A20C100 得



C100



例2：已知，在△ABC中，AD是角平分线，B66，C54，DEAC于E，求：ADB和ADE

[考点透视] 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 [参考答案] 解：由三角形内角和定理，得



BAC180BC180(6654)60



又AD平分BAC

11

BAC603022



CADC305484 ADB

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

CAD

在RtADE中



903060（直角三角形的两个锐角互余） ADE90CAD

例3：已知：在ABC和A'B'C'中

AA'，BB'，CDAB于D，C'D'A'B'于D’，且CDC'D'

求证：ABCA'B'C'

’

D

B C B’ C’

[考点透视] 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。 [参考答案] 证明：在RtADC和RtA'D'C'中

AA'



A'D'C'90ADC

CDC'D' 

RtADCRtA'D'C'(AAS)

ACA'C'（全等三角形对应边相等） 在ABC和A'B'C'中

AA'



BB'

ACA'C'

ABCA'B'C'(AAS)

三．适时训练

（一）精心选一选

1．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（ ）

A. ∠C与∠F互余 B. ∠C与∠D互余

C. ∠B与∠F互余 D. ∠A与∠E互余

2．如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图中全等三角形共有（ ）

A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 3．如图，△ACD中，AB⊥CD且BD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰Rt△，下列结论① △ABC≌△DBE；② △ACB≌△ABD；③ △CBE≌△BED；④ △ACE≌△ADE；正确的是（ ）

A. ①②③ B. ① C. ①③④ D. ②③④

4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（ ）

A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°

5．下列命题正确的是（ ）

A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等

6. 在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（ ）

（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）垂直平分线已知

7. 下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是 （ ）

（A）∠A=∠D， ∠C=∠F， AC=DF

（B）AB=DE， BC=EF， ∠A=∠D

（C）∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F

（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长

（二）细心填一填

1．如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN=

2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2=

3．如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2=

4．如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过 （填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使△ABE变到△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是

5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是

图2-1 图2-2 图2-3

图2-4 图2-5 三、认真答一答

1．如图，AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。

2．如图，AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求证：AP⊥EF。

3. 已知：如图，C 为 BE上一点，点A 分别在BE 两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED. 求证:AC=CD.

B

E

4．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：AB=CD

D

6. 已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。

求证：DE=DF。

7．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE． 点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．

求证：CD＝CE．

8．如图，已知在△ABC中AB=AC，D为BC边的点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。 （1）求证：△BED≌△CFD;

（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形。

9．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． (1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．

11. 已知，如图AB//CD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上，求证：BCABCD

F C

12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点B，

A

F，C，D在同一条直线上．

（1）求证：AB⊥ED．

F

E

C E M

N

D

B

F C

（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

13．如图，在□ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.

14. 如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB．

（1）求证：DB为⊙O的切线．

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

A

C

D

15. 已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA分为三等份，连接MC并延长交y



3) 轴于点D(0，．

（1）求证：△OMD≌△BAO； （2）若直线l：ykxb把⊙

Mb0．

16. 如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ． P

D

C B

17. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BDAB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD． 求证：CD是⊙O的切线．

D

A

O

B

18. △ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE． （1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

≌△AD；C ①求证：△AEB

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

A A

D

图（a）

C

B

D

F

E

图（b）

G

19. 如图，C、F在BE上，AD，AC∥DF，BFEC． 求证：ABDE．

A

E

C

20. 如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

E

21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．

D

B C

O

22. 如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DEEFFB．

A

D

F

C

23. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

AEAF． 24. 如图9，P是∠BAC内的一点，PEAB，PFAC，垂足分别为点E，F，

求证：（1）PEPF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上．

25. ．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E． (1) 求证：AE=BE；

AB(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

E

C

参考答案

（一）精心选一选

1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A （二）细心填一填

1. 90° 2. 1:4 3. 20° 4. 旋转；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，∠C，80

8. ∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，AC=AD，BC=BD 9. 5厘米 10. 三角形的稳定性，不稳定性 （三）认真答一答 1. 相等，过A作AM⊥DC，AN⊥BE，证明△DAC≌△BAE，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN，所以∠BPF=∠CPF

2. 延长AM至N，使MN=AM，证明△AMC≌△NMB，所以AC=NB，再证明△EAF≌△ABN，得到∠E=∠BAN，因为∠BAN+∠EAP=90°，所以∠E+∠EAP=90°，所以AP⊥EF

3．证明：AB∥ED，BE． 在△ABC和△CED中，

ABCE，

BE，BCED，

△ABC≌△CED．

ACCD．

4、 证明：∵ OP是∠AOC和∠BOD的平分线， ∴ AOPCOP,BOPDOP ∴ AOBCO D 在AOB和COD中，

,OAOC



AOBCO,D

OBOD,

∴ AOBCO D

∴ ABCD

5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可 （2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE） 四边形DBCE是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.

证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点. ∵∠DCB=∠EBC= ∴△BGC≌△CFB

1

∠A，BC为公共边 2

∴BF=CG

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF≌△CEG ∴BD=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.

证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.

易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.

∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.

6．证法一：在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠OBF=∠ODE ∵O为BD的中点 ∴OB=OD 在△BOF和△DOE中



∠OBF∠ODEOBOD ∠BOF∠DOE

∴△BOF≌△DOE ∴OF=OE ∵EF⊥BD于点O ∴DE=DF 证法二：∵O为BD的中点 ∴BO=DO ∵EF⊥BD于点O ∴BF=DF ∴∠BFO=∠DFO ∵在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠BFO=∠DEO ∴∠DEO=∠DFO ∴DE=DF

7．证明：∵OA=OB AD=BE

∴OA-AD=OB-BE即OD=OE 在△ODC和△OEC中



ODOE

DOCEOC 

OCOC∴△ODC≌△OEC ∴CD=CE

8． （1）∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C,

∵D是BC的中点,

∴BD=CD

∴△BED≌△CFD.

（2）∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD=90° ∵∠A=90°

∴四边形DFAE为矩形 ∵△BED≌△CFD ∴DE=DF

∴四边形DFAE为正方形 9。（1）证明：∵△ABC为等边三角形

∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 在△ABE和△CAD中

AB=CA, ∠BAE=∠C, AE=CD ∴△ABE≌△CAD

（2）解 ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD 又∵△ABE≌△CAD

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

10．（1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以

11. AB//CD

ABCBCD180 又BE、CE平分ABC，ACD



11

ABC，ECBBCD22

11

EBCECB(ABCBCD)18090

22

EBC

BEC90（三角形内角和定理） 在BC上取BF＝BA，连结EF 在ABE和FBE中



ABFB



ABEFBEBEBE 

ABEFBE(SAS)

12（全等三角形对应角相等） 1BEC3180



13180BEC1809090 又2490，12 34（等量代换）





在CFE和CDE中

FCEDCE(角平分线定义)



CECE43

(ASA) CFECDE

CDCF（全等三角形对应边相等）

BCBFCFABCD

12. （1）由于△ABC与△DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以△ABC≌△DEF，所以∠A＝∠D，在△ANP和△DNC中，因为∠ANP＝∠DNC，所以∠APN＝∠DCN，又∠DCN＝90°，所以∠APN＝90°，故AB⊥ED．

（2）答案不唯一，如△ABC≌△DBP；△PEM≌△FBM；△ANP≌△DNC等等．以△ABC≌△DBP为例证明如下：在△ABC与△DBP中，因为∠A＝∠D，∠B＝∠B，PB＝BC，所以△ABC≌△DBP．

13. 例：△AOB≌△COD.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD.

14．（1）证明: 连结OD ∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90° ∵ OA=OB，DA=DB，DO=DO， ∴ΔOAD≌ΔOBD ∴ ∠OBD=∠OAD = 90°， ∴PA为⊙O的切线

（2）解：在RtΔOAP中， ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30° ∴ ∠POA=60°=2∠C ， ∴PD=2BD=2DA=2 ∴ ∠OPA=∠C=30° ∴ AC=AP=3

15. 证明：

（1）连接BM，∵B、C把OA三等分，∴1560°，



又∵OMBM，∴

2

1

53°02，

1

ABOAOM

2 又∵OA为⊙M直径，∴ABO90°，∴，360°，

∴13，DOMABO90°，

在△OMD和△BAO中，

13，

OMAB，

DOMABO.

∴△OMD≌△BAO（ASA）

（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份， 则直线l必过圆心M，

3)，1

60°，

∵D(0，

OM

∴

ODtan60°，

， ∴M

代入y

kxb得： 把 Mb0．

16. 证明：(1) ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=90°．

∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°， ∴ ∠PBA=∠ABC－∠PBC=30°，

∠PCD= ∠BCD－∠PCB=30°． ∴ ∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°．

B

∴ ∠PBA=∠PCQ=30°．

(2) ∵ AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC， ∴ △PAB≌△PQC， ∴ PA=PQ．

17. 证明：连接CO

P

D

Q

C

OD∥AC．CODACO，CAODOB

ACOCAO

CODDOB

又ODOD，OCOB．

△COD≌△BOD

OCDOBD90°

OCCD，即CD是⊙O的切线

18. （1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AEAD，ABAC，EADBAC60°．

又∵EABEADBAD，DACBACBAD， ∴EABDAC， ∴△AEB≌△ADC．

②法一：由①得△AEB≌△ADC， ∴ABEC60°． 又∵BACC60°， ∴ABEBAC， ∴EB∥GC． 又∵EG∥BC，

∴四边形BCGE是平行四边形． 法二：证出△AEG≌△ADB， 得EGABBC． 由①得△AEB≌△ADC． 得BECG．

∴四边形BCGE是平行四边形． （2）①②都成立．

B

A

D

C

（3）当CDCB（BD2CD或边形BCGE是菱形．

CD

1BD2或CAD30°或BAD90°或ADC30°）时，四

理由：法一：由①得△AEB≌△ADC， ∴BECD 又∵CDCB， ∴BECB．

由②得四边形BCGE是平行四边形， ∴四边形BCGE是菱形． 法二：由①得△AEB≌△ADC， ∴BECD．

又∵四边形BCGE是菱形， ∴BECB ∴CDCB．

法三：∵四边形BCGE是平行四边形， ∴BE∥CG，EG∥BC，

∴FBEBAC60°

，FABC60°∴FFBE60°， ∴△BEF是等边三角形．

又∵ABBC，四边形BCGE是菱形， ∴ABBEBF， ∴AE⊥FG ∴EAG30°， ∵EAD60°， ∴CAD30°． 19. 证明：AC∥DF，

ACEDFB，

ACBDFE．

又BFEC，

BFCFECCF，即BCEF．

A

C F

E

又AD，

△ABC≌△DEF． ABDE．

20. 证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC ∴∠BAC=∠EAD 在△ABC和△AED中



ABAEBACEAD 

ACAD

∴△ABC≌△AED(SAS) (2)由(1)知∠ABC=∠AED ∵AB=AE

∴∠ABE=∠AEB ∴∠OBE=∠OEB ∴OB=OE 21. 证明：（1）连结OD．

由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB． ∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD． ∴∠2=∠3．

而OD=OC，OE=OE ∴△OCE≌△ODE． ∴∠OCE=∠ODE． 又∠C=90°，故∠ODE =90°． ∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ODE中，由

OD

32，DE=2 得

OE

52

又∵O、E分别是CB、CA的中点

OE25

∴AB=2·25

∴所求AB的长是5cm．

22. 证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED=∠AFB=90°．

∵ABCD是正方形，DE⊥AG，

∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF =∠ADE．

又在正方形ABCD中，AB=AD．

在△ABF与△DAE 中，∠AFB =∠DEA=90°，∠BAF =∠ADE ，AB=DA， ∴△ABF≌△DAE．

B

A

D

F C

（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF． 又 AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB．

23. 解：（1）CD=BE．理由如下: ∵△ABC和△ADE为等边三角形 ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC， ∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD ∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点，

C A

C

11

BECDCN

2 ∴BM=2

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． D ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o ∴△AMN是等边三角形． 设AD=a，则AB=2a． ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE． ∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o， ∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴

． ∵N为DC中点，

DN

∴

AN． ，

∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

a2:(2a)2:(

727

a)1:4:4:16:724

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： 5分

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o ∴△AMN是等边三角形 7分

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a 易证BE⊥AC，∴BE=

AB2AE2(2a)2a23a

，

EM

∴

AMEM2AE2(a)2a2a22 ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

a2:(2a)2:(27a)1:4:4:16:724

24．证明：（1）如图1，连结AP，PEAB,PFAC, ∴∠AEP=∠AFP=90

又AE=AF，AP=AP，

∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF．

（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，

∴∠EAP=∠FAP，

∴AP是∠BAC的角平分线，

故点P在∠BAC的角平分线上

25. 解：(1) 在Rt△ACE和Rt△BDE中，

∵∠AEC与∠BED是对顶角，∴∠AEC=∠BED．

∵∠C=∠D=90°， AC=BD ．

∴Rt△ACE≌Rt△BDE，

∴AE=BE．

(2) ∵∠AEC=45°， ∠C=90°，

∴∠CAE=45°．

∴CE=AC=1．